Une toute petite question de MQ à propos de l'énergie

[Gwyddon]

Bonjour à tous,

Je me pose une toute petite question à propos de la situation suivante : prenons un électron qui est dans un puit de potentiel, au voisinage de sa position d'équilibre (donc d'énergie potentielle minimale). D'après le principe d'Heinsenberg, l'électron fluctue en permanence autour de cette position (sans cela on connaîtrait à la fois sa quantité de mouvement et sa position, chose prohibée).

Je me demandais si l'on pouvait dire qu'en moyenne ces fluctuations sont nulles ? (un peu comme dans le mouvement brownien où à chaque instant une particule a une vitesse non-nulle mais en moyenne son vecteur vitesse est nul).

Merci d'avance pour vos réponses
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[invite143758ee]

salut !
ce que je te propose, c'est que tu calcules l'écart quadratique moyen de l'opérateur X, dans l'état de plus basse énergie.
Comme du l'a proposé, on peut prende un puit de potentiel, pour ne pas prendre un potentiel harmonique, avec des fonctions d'onde assez compliqué en termes de polynome d'hermite, peut être pourrais tu juste prendre un puis infini carré, avec des fonctions d'onde qui seront alors juste sinusoidales. Alors, tu pourras faire le calcule de deltaX=<X^2>-<X>^2, et regardez un peu les fluctuations quantiques de la particule. Et ensuite la même chose avec P.
Et le résultat de deltaP.deltaX serait une bonne indication de la limitations pour ton système physique.
Peut être que le calcul des intégrales sera un peu plus difficile techniquement. Déjà si tu les mets, on pourra réfléchir à comment les évaluer. Et tu sauras, si en moyenne la variation de la position est nulle.
J'espère que tu auras la bonne volonté de faire les petits calculs, pour nous aussi, lecteurs du forum!

à moins qu'il y ait mieux à faire ?
enfin, voilà, ce que je proposais, pour répondre à ta question.

ps: l'interprétation ne peut venir qu'après de long, très, très long calculs....

[Gwyddon]

Euuuhh... Peut-être fallait-il préciser que je ne sais absolument pas calculer en méca quantique

En fait je suis en train de lire "The New Quantum Universe" qui permet d'introduire les concepts de la MQ avec quelques petits calculs derrière, et cette question m'était venue à l'esprit par comparaison avec l'état classique où la position d'équilibre stable implique un minimum d'Ep (donc une énergie nulle si on prend comme convention Ep=0 à ce minimum) et une position connue.

Bon en fait j'attend encore un peu (genre l'an prochain) et je pourrais répondre moi-même à ma question

Merci quand même d'avoir répondu

[invite143758ee]

j'ai regardé ton profil...si t'es pas trop occupé par les concours, ce sont des calculs très faciles, et en lisant le premier chapitre du cohen, tu es capable d'y répondre toi même !
enfin, sans faire de pub!

Mais, c'est vrai que physiquement, pour un puit de potentiel type hamonique, la valeur moyenne de la position doit être la position du minimum. Mais, il serait intéressant de regarder alors l'écart quadratique <X^2>, je crois que c'est traiter dans le cohen aussi !

Je t'encourge à lire juste le premier chapitre du cohen ! si tu as le temps, et tu sauras trouver les fonctions d'onde dans un puit de potentiel simple. et après <X>, c'est juste une intégrale, mais je ne sais pas si c'est analytique, je n'y ai pas réfléchi du tout !

ps: j'ai vu que dans un autre topic, on disait que le cohen est trop mathématique, mais justement, ça permet d'acquérir un savoir faire au service de l'interprétation physique. De faire plein de petits calculs, pour voir, essayer, répondre à nos questions sans à chaque fois bloquer sur les problèmes techniques, parce qu'ils sont abordés sans complexes, enfin dans les limites des stocks disponibles...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ok j'irai voir le Cohen (je ne sais pas trop quand mais je le ferai).

Le truc c'est que je ne sais pas quoi calculer (logique, je n'ai jamais fait de méca quantique de façon sérieuse), c'est pourquoi je t'ai répondu que je ne savais pas calculer en méca quantique

[invite143758ee]

ok, bon ben je vais faire les calculs que j'ai dit !
alors, j'ai juste pris un puis définit par :V(x)=0 si 0<x<a, et infini sinon.
Dans le cas très simple des solutions stationnaires de l'équation de schro, on trouve que les fonctions d'ondes sont:

Une fois qu'on a ces fonctions d'onde, le travail est en grande partie accompli pour une grande classe de problème, en chimie quantique, en physique atomique, moléculaire, mais on a souvent besoin d'approximations, dès l'atome d'hélium ça commence... ou il est bon d'utiliser d'autre méthode plus algébrique comme la théorie des groupes, la seconde quantification, la théorie des champs, pour calculer les valeurs moyennes de certaines quantitées physiques.
Et ta question était que savoir si la valeur moyenne <X> est nul. Bon, je peux répondre dans ce cas. Cette valeur moyenne, c'est

qui représente la valeur moyenne de la position dans un état indexé par l'indice discret n, cet indice entier discrétise l'énergie, l'énergie est quantifiée, elle est égale à
.
Voilà, je te laisse calculer l'intégrale !
et l'autre intégrale, c'est

.
PS: les intégrales sont à faire sur [0,a]...je n'arrive pas à les faire sortir joliement ? j'écris: \int\limits_{0}^{a} mais ça sort mal ?!
PS (bis): si tu mets n=0, la fonction d'onde est 0! c'est une solution triviale, pas intéressante du tout...à oublier, bien entendu,et tu vois que le fondamental, c'est pour n=1. Le problème dans ce potentiel, c'est que la particule est au fondamental sur toute la largeur du puit ! Et la particule devrait pouvoir se placer n'importe où sur cet intervalle ! Mais, le calcul nous donnera exactement cette position, est-ce a/2, pour tout n ?
quel sont les fluctuations autour de cette valeurs ?

intéressant est ce calcul. Le faire tu dois !

[invite143758ee]

oups, c'est des sinus au carré ! dans les intégrales !

[Sephi]

Ce qui m'amène à lancer une petite taquinerie : 09Jul85, comprends-tu ce qui est écrit dans ta signature ?

[Gwyddon]

Salut dupo,

en fait pendant que tu écrivais tout ça (merci) j'étais en train de le faire (résoudre Schrödinger, etc..)

Je fais le calcul, je vous informe du résultat

Ce qui m'amène à lancer une petite taquinerie : 09Jul85, comprends-tu ce qui est écrit dans ta signature ?

Oui oui ; bon malheureusement elle est tronquée, elle commençait par (à peu près) : "Autrefois, les journaux disaient que douze hommes seulement comprenaient la théorie de la relativité. Je doute que cela ait jamais été le cas. Peut-être à une certaine époque un homme seulement la comprenait, car il était le seul à savoir, avant la publication de son article. Mais, après avoir lu cet article, beaucoup de gens ont compris la théorie de la relativité, en tout cas bien plus que douze. Par contre, je pense pouvoir affirmer sans craindre d'être contredit que personne ne comprend la mécanique quantique."

Je comprend la citation ainsi : on a les équations de la théorie, elles fonctionnent parfaitement, mais on ne sait pas encore de manière parfaite sur quoi elles reposent, ou dit autrement comment formuler de manière rigoureuse les principes fondateurs de la mécanique quantique. D'ailleurs, les débats sur l'interprétation de la mécanique quantique montre à quel point c'est encore une source prolifique de découvertes et d'inventivité de la part de nos chercheurs

Julien

[Meumeul]

SAlut,

la position moyenne n'est pas a priori necessairement au dessus du minimum de ton puits.

En effet, si tu prends un puits dissymetrique :
[IMG]attachment.php?attachmentid=16 19&amp;stc=1[/IMG]

ta fonction d'onde sera tres proche de celles sans le petit 'trou' dans le puits, donc tu auras une position moyenne proche du milieu de ton puits, qui n'est pas le minimum d'energie.

Apres, en ce qui concerne la largeur de la distribution, elle est effectivement non-nulle sinon comme tu l'as dit Heisenberg n'est pas content !

[Gwyddon]

Ok, désolé pour le retard, j'avais des problèmes administratifs à régler.

Alors pour le calcul, j'ai

et

[petit HS : au fait dupo on fait /int_{}^{} pour les intégrales ]

Donc en gros, .

Maintenant il ne me reste plus qu'à faire de même avec la quantité de mouvement, et puis l'énergie tant que l'on y est

[Floris]

ok, bon ben je vais faire les calculs que j'ai dit !
alors, j'ai juste pris un puis définit par :V(x)=0 si 0<x<a, et infini sinon.
Dans le cas très simple des solutions stationnaires de l'équation de schro, on trouve que les fonctions d'ondes sont:

Une fois qu'on a ces fonctions d'onde, le travail est en grande partie accompli pour une grande classe de problème, en chimie quantique, en physique atomique, moléculaire, mais on a souvent besoin d'approximations, dès l'atome d'hélium ça commence... ou il est bon d'utiliser d'autre méthode plus algébrique comme la théorie des groupes, la seconde quantification, la théorie des champs, pour calculer les valeurs moyennes de certaines quantitées physiques.
Et ta question était que savoir si la valeur moyenne <X> est nul. Bon, je peux répondre dans ce cas. Cette valeur moyenne, c'est

qui représente la valeur moyenne de la position dans un état indexé par l'indice discret n, cet indice entier discrétise l'énergie, l'énergie est quantifiée, elle est égale à
.
Voilà, je te laisse calculer l'intégrale !
et l'autre intégrale, c'est

.
PS: les intégrales sont à faire sur [0,a]...je n'arrive pas à les faire sortir joliement ? j'écris: \int\limits_{0}^{a} mais ça sort mal ?!
PS (bis): si tu mets n=0, la fonction d'onde est 0! c'est une solution triviale, pas intéressante du tout...à oublier, bien entendu,et tu vois que le fondamental, c'est pour n=1. Le problème dans ce potentiel, c'est que la particule est au fondamental sur toute la largeur du puit ! Et la particule devrait pouvoir se placer n'importe où sur cet intervalle ! Mais, le calcul nous donnera exactement cette position, est-ce a/2, pour tout n ?
quel sont les fluctuations autour de cette valeurs ?

intéressant est ce calcul. Le faire tu dois !

Bonjour dupo, si je comprend bien, chose qui est mois sure, c'est comme cela que l'on peut déterminer l'énergie des orbitales d'un atome non? Ne fait t'on pas le même genre de démarche, ne faison t'on pas un calcule de cette valeur moyenne?

merci et désolé sir je suis à milles lieux.
Flo

[Meumeul]

PS (bis): si tu mets n=0, la fonction d'onde est 0! c'est une solution triviale, pas intéressante du tout...à oublier, bien entendu

a oublier certes, mais la raison en est que la fonction d'onde n'est pas normée ! ce n'est donc pas une fonction d'onde

'est comme cela que l'on peut déterminer l'énergie des orbitales d'un atome non? Ne fait t'on pas le même genre de démarche, ne faison t'on pas un calcule de cette valeur moyenne?

L'energie des OA ne vient pas d'une valeur moyenne, c'est vraiment une valeur tres precises (sans quoi, pas d'horloges atomiques....). En fait, la quantification vient toujours de la meme chose (si on considere une approche par Schroedinger :

• une solution physique est de carre integrable (ce qui permet de normer <=> module au carre = densite de probabilite de presence)
• et la fonction doit etre solution de Schroedinger

et la d'un point de vue PUREMENT MATHEMATIQUE tu vois que les fonctions ne sont de carre integrable que pour des valeurs precises de E, on a la quantification.
Ensuite, les valeurs moyennes portent uniquement sur les positions, impulsions....mesures dont on n'obtient qu'une probabilite.

PS : on admettra que l'interpretation de Coppenhage est la bonne

[Floris]

Bonsoir Meumeul, merci pour ton message. Hum, concernant l'interprétation de Coppenhage, peut tu m'éclaircire mes idées?
Bien amicalement
flo

[invite143758ee]

comme quoi le carré de la fonction d'onde donne une densité de probabilité pour calculer les valeurs moyennes ou une probabilité tout court de trouver un état donné.
Mais, moi et les noms historiques, ça fait 2, donc, c'est une réponse à se mettre sous la dent, pour ce soir, si t'es encore debout....

[Meumeul]

En resume c'est exactement ca : densite de probabilite de l'etat = carre du module de la fonction d'onde.

Dans le detail, je dois avouer que je saurais pas vraiment le dire
En tout cas, c'est la seule interpretation qui soit acceptée d'à peu pres tout le monde.