Exercice MQ

[jrgreg]

Bonjour j'ai un exo a soumettre que j'essaye de faire mais il n'ya pas de correction alors voila :

On considère un système physique dont l'espace des états, qui est à trois dimensions, est rapporté à la base
orthonormée formée par les trois kets |u1> |u2> |u3>,

Dans la base de ces trois vecteurs, l'opérateur
hamiltonien et deux observables A et B s'écrivent :

H = hbar ω0 100
020
002

A = a 100
001
010

B=b 010
100
001
où ω0, a et b sont des constantes réelles positives

Le système physique est à l'instant t = 0 dans l'état |Ψ(0)> = 1/rac(2)|u1> + 1/2 |u2> +1/2|u3>

On mesure, à t = 0, l'énergie du système.
• Quelles valeurs peut-on trouver, et avec quelles probabilités ?

Alors je propose je calcul les valeur propr de H qui sont
Pour H vp = 1 et 2
donc vecteur propre pour vp=1 (1 0 0)
vp=2 1/rac(2) (0 1 1 )

Pour A vp = 0 et 1
Vecteur propre pour vp = 0 ( 0 0 0)
vp =1 1/rac(2) (0 1 1)

Pour B vp= 0 1 et 1
Vect propre pour vp = 0 (0 0 0)
vp =1 (1 0 0) et vp=1 (1 0 0)

J'ai trouvé le sujet ici exercice III http://adkg.free.fr/downloads/klausu...e_TD6_2003.pdf

donc je dirais P(2) = rac(2)/4 ( coef de |u2> + |u3> au carré * (1/rac(2)) )
P(0) =0
P(1) =coef de |u1> au carré + 1/rac(2) ( [u2>+|u3> coef au carré )+ 2* coef de |u1> au carré ( car deux vecteurs propre de 1 )

Je fais n'importe quoi ou il faut le faire pour chaque grandeur physique H , A et B indépendemment car la je fais un peu tout en meme temps non ? je ne sais pas je ne comprends pas trop MERCI

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[Thwarn]

Je reponds rapidement, mais il y a plusieurs grosses erreurs.
Le vecteur nul (0,0,0) ne peut pas etre vecteur propre (par definition).

Tu dois calculer les valeurs propres comme on te l'a appris en math. Une simple verification te dis que les determinants de A et B sont egaux à -1, donc ils ne peuvent avoir de valeurs propres nulles.
Tu devrais aussi t'entrainer à calculer les vecteurs propres de A et B.

Un point plus subtile dans le cas de H. H a des valeurs propres dégénérées, donc on peut choisir n'importe quelle combinaison de deux vecteurs propres orthogonaux de H avec meme valeur propre pour obtenir une nouvelle base de ce sous-espace dégénéré.
Dans le cas present, le plus simple et de garder les deux vecteurs propres donnés (car H est diagonal dans la base u1,u2,u3), à savoir u2 et u3.

Fais attention à tes math, on verra la physique ensuite

[jrgreg]

si c'est une matrice diagonale ca veut bien dire que les chiffres qui sont sur la diagonale sont des valeurs propre de cette matrice . enfin je vias trouver ces vecteurs propre pour ces 3 matrice je les redonnerais mais a part a c'est cette méthode qu'il faut ulilser mais avec de bon vecteur propre ( merci thwarn pour tes efforts pour m'expliquer j'apprécie j'ai mon examen lundi tu vois je ne suis pas au point a ce niveau j'ai des lacune :s je pense ca vient des matrices c'est ce langage de base et tout qui me perturbe je vais voir ca )

[Thwarn]

Attention, une matrice est diagonale si elle a tous ses nombres hors diagonals nuls (je pense que tu les sais, mais ton message était pas clair, donc vaut mieux preciser pour rien ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[jrgreg]

oui ce que je pensais mais merci comme meme

alors 1ere matrice valeur propre 1 2 et 2
vecteur propre pour vp 1 : ( 1 0 0)
vp 2 : ( 0 1 1 ) 1/rac(2) je l'ai 2x
2eme matrice vp 1,1-1
vect propre pour vp =1 ( 1 1 1) 1/(rac(3) et (0 1 1)1/rac(2)
j'ai bien les equations x=x z=y et y=z ca colle normalement

Pour vp = -1 ( 0 1 1) 1/rac(2)
ca colle j'ai bien x=-x z=-y et y=-z ca marche comme meme...

Pour la 3eme matrice vp 1 j'hésite avec 1 1 1 car matrice 3x3
j'ai bien y=x x=y z=z
j'ai donc comme vect propre ( 1 1 1)1/rac(3) et (1 1 0) 1/rac(2)
Je ne comprends pas si c'est pas ca :s car ca résoud bien les ptites equations mes vecteur propres ... :s:s j'ai toujours l'impression de me tromper la dedans et je t'assure je me suis entrainé avant de te répondre certains j'ai eu juste 75% de ce que j'ai fait ... Merci encore de l'aide

[jrgreg]

apres la méthode est a peu pres celle que j'ai décrit .. ou pas :s

[Thwarn]

oui ce que je pensais mais merci comme meme

alors 1ere matrice valeur propre 1 2 et 2
vecteur propre pour vp 1 : ( 1 0 0)
vp 2 : ( 0 1 1 ) 1/rac(2) je l'ai 2x
2eme matrice vp 1,1-1
vect propre pour vp =1 ( 1 1 1) 1/(rac(3) et (0 1 1)1/rac(2)
j'ai bien les equations x=x z=y et y=z ca colle normalement

Pour vp = -1 ( 0 1 1) 1/rac(2)
ca colle j'ai bien x=-x z=-y et y=-z ca marche comme meme...

Pour la 3eme matrice vp 1 j'hésite avec 1 1 1 car matrice 3x3
j'ai bien y=x x=y z=z
j'ai donc comme vect propre ( 1 1 1)1/rac(3) et (1 1 0) 1/rac(2)
Je ne comprends pas si c'est pas ca :s car ca résoud bien les ptites equations mes vecteur propres ... :s:s j'ai toujours l'impression de me tromper la dedans et je t'assure je me suis entrainé avant de te répondre certains j'ai eu juste 75% de ce que j'ai fait ... Merci encore de l'aide

Tu ne peux pas avoir deux fois le meme vecteur propre (comme tu le dis pour la premiere matrice), il t'en faut autant que la dimension du sous espace dégénéré.

[jrgreg]

( quand je disais je l'ai 2x je ne voulais pas dire multiplié par 2 ) alors mais le reste est juste ? ... j'espere si t me dis rien c'est que ca doit etre bon ( J'espere tu as passé de bonne fete )

[Thwarn]

J'ai bien compris que ce n'etait pas la multiplication par deux, et cela n'empeche que c'est faux, car il te faut deux vecteurs propres othogonaux, un pour chaque valeur propre degeneré.

Pour la premiere matrice, (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) sont trois vecteurs propres de valeur propre respective 1,2 et 2.
Mais les vecteurs propres (1,0,0),(0,1,1) et (0,1,-1) ont aussi les valeurs propres 1,2 et2.

Tu vois ou je veux en venir?

[jrgreg]

ok donc quand j'ai deux valeurs propres je trouve un vecteur propre sachant qu"il m'en faut 2 vu que j'ai 2 valeurs proprs je change 1 coordonnée soit le 1 en 0 ou un 1 en -1 peu importe laquelle. Ok je ne savais pas merci

Pour les vecteurs propre de la 3eme matrice j'ai pas le ( 1 1 1) mais juste ( 1 1 0 ) non ? sinon c'est juste ?

[Thwarn]

ok donc quand j'ai deux valeurs propres je trouve un vecteur propre sachant qu"il m'en faut 2 vu que j'ai 2 valeurs proprs je change 1 coordonnée soit le 1 en 0 ou un 1 en -1 peu importe laquelle. Ok je ne savais pas merci

Pour les vecteurs propre de la 3eme matrice j'ai pas le ( 1 1 1) mais juste ( 1 1 0 ) non ? sinon c'est juste ?

Attention, ce n'est pas une recette de cuisine que je te donne!
J'aurais pu choisir encore d'autre vecteurs propres (une infinité en fait).

Il faut bien comprendre que les vecteurs propres forment une base de l'espace sur lequel agit ta matrice.
Si toutes les valeurs propres sont differentes, à une normalisation fixée, tu n'as pas le choix pour ecrire les vecteurs propres. Par contre, si il y a un sous-espace dégénéré, alors tu peux changer la base de ce sous-espace à volonté (à normalisation toujours fixée).
Dans le cas present (sous-espace de dimension 2), n'importe quelle rotation des vecteurs propres de sous-espace est encore une base. Un peu comme les coordonnés dans le plan, tu peux tourner les axes, tu decris quand meme tout le plan avec les directions (x,y) ou (x',y').

[jrgreg]

D'accord mais dans ce cas comment faits-tu en mecanique quantique car en général dans les exos il faut bien choisir un vecteur propre et tu dis qu'on peut changer la base du sous espace donc les vecteurs propre ok mais apres comment tu procèdes pour savoir lequel faut prendre physiquement parlant car selon lequel je choisis ca va changer des choses par exemple ici pour determiner la probabilité.

j'aurais par exemple la probabilité d'avoir 2 qui vaut norme de u1 + u3 ds le cas des vecteur propre ( 0 1 0) et ( 0 0 1) ou 2x la norme du u2 + norme de u3 - norme de u3 dans le cas (0 1 1) et (0 1 -1) toujours pour les vecteurs propre de la valeur propre 2.( j'ai juste pas tenu compte de la normailsation la mais je sais que je dois la metttre )

Tu vois mon problème ?

[Thwarn]

D'accord mais dans ce cas comment faits-tu en mecanique quantique car en général dans les exos il faut bien choisir un vecteur propre et tu dis qu'on peut changer la base du sous espace donc les vecteurs propre ok mais apres comment tu procèdes pour savoir lequel faut prendre physiquement parlant car selon lequel je choisis ca va changer des choses par exemple ici pour determiner la probabilité.

La plupart du temps, quand il y a des valeurs propres dégénérées, on utilise d'autres observables pour enlever l'ambiguité. Sinon, comme il n'y a aucune difference, n'importe quelle combinaison fait l'affaire.

j'aurais par exemple la probabilité d'avoir 2 qui vaut norme de u1 + u3 ds le cas des vecteur propre ( 0 1 0) et ( 0 0 1) ou 2x la norme du u2 + norme de u3 - norme de u3 dans le cas (0 1 1) et (0 1 -1) toujours pour les vecteurs propre de la valeur propre 2.( j'ai juste pas tenu compte de la normailsation la mais je sais que je dois la metttre )

Justement, si tu prends compte de la normalisation et que tu fais proprement le calcul pour un état donné, tu verras que la probabilité ne depend pas du choix de la base du sous-espace.

[jrgreg]

ok mercii donc pour H probabilité d'avoir 1 c'est 1/2 et d'avoir 2 c'est 1/2 aussi j'ai pris comme vecteur propre (100) (010) et (001) jz vois un peu le reste si soucis je te le dis si tu veux bien merci