Exercice de DM

[invitef1cbbd1a]

Bonjour à tous! voilà j'ai un DM de maths à faire et je bloque sur le dernier exercice. Si quelqu'un pourrait m'aider, merci.
Voici l'ennoncé:

u est la suite définie pour tout entier naturel n>1 par: 1/n(n+1).
1) Montrer que cette suite décroît et qu'elle converge.
2) a) Résoudre dans ]0;+infini[ l'inéquetion 1/x(x+1)<1/100.
b) En déduire à partir de quel entier n on a Un<0.01.
3) On note Sn la somme des n premiers termes de la suite u. Calculer S5, S6, et S7.
Conjecturer l'expression de Sn en fonction de n.
4) Calculer Un-1/n puis en déduire une écriture de Un sous la forme Un= a/n + b/n+1.
Déterminer alors l'expression de Sn en fonction de n et valider ainsi la conjecture du 3).
5) Déterminer la limite de la suite (Sn).

Voilà. Merci d'avance.
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[invited63d3707]

1)
Un-Un-1=-2/[n*(n-1)*(n+1)] donc Un<Un-1 donc suite décroissante
Un>0 donc suite decroissante majorée donc convergente

2)a)
0<1/(x*x+1)<1/100 donc x²+x-100>0

tu considère l'equation du second degrés x²+x-100=0
qui est positive pour x>(-1+sqrt(401))/2

2)b)
(-1+sqrt(401))/2 environ égal a 9.51 donc n>9 (ou superieur ou egal a 10)

3)
Sn=Sn-1+Un
U1=S1=1/2
U2=1/6 donc S2=2/3
U3=1/12 donc S3=3/4
U4=1/20 donc S4=4/5
U5=1/30 donc S5=5/6
U6=1/42 donc S6=6/7
U7=1/56 donc S7=7/8

On conjecture donc Sn=n/(n+1)

4)
Un-1/n=(1/n)*((1/n+1)-1)=-1/(n+1)

donc Un=1/n -1/(n+1) cela fait a=1 et b=-1

on considere Un=1/n -1/(n+1)
en faisant la somme (telescopique) tous les terme s'annule deux a deux
sauf le premier et le dernier
soit Sn=1-1/(n+1)
Sn=n/(n+1) donc conjecture validée

5)
Sn=n/(n+1) donc lim(n->+infini) de Sn=1

[invitef1cbbd1a]

Merci beaucoup!