Dérivée particulaire, mécanique des fluides

[invitead88f3c2]

Bonsoir,

Je ne comprend pas bien le fondement de la dérivée particulaire utilisé en mécanique des fluides. Mon cours suit le raisonnement suivant:
On se place dans le cadre de la méthode d'Euler, c'est à dire qu'on regarde l'évolution au cours du temps d'une grandeur physique Q en chaque point x,y,z de l'espace.

(*) La particule fluide au temps t+dt sera donc à la position x +vx dt, y + vy dt, z + vz dt

La variation de Q sera donc égale à dQ=Q(x+ vx dt, y + vy dt, z + vz dt, t+dt)- Q(x,y,z,t)

Je ne comprend pas, à partir de (*) pour moi là on est plus dans le cas de la méthode d'Euler puisque c'est comme si on suivait une particule de fluide (méthode de lagrange). dQ/dt devrait représenter l'évolution d'une grande physique en un point x,y,z de l'espace, donc pourquoi ajouter les termes vxdt, vy dt et vz dt ? Pour moi dans le cadre d'Euler ça devrait être dQ = Q(x,y,z,t+dt) - Q(x,y,z,t) .

merci
-----

[invite60be3959]

Bonsoir,

Je ne comprend pas bien le fondement de la dérivée particulaire utilisé en mécanique des fluides. Mon cours suit le raisonnement suivant:
On se place dans le cadre de la méthode d'Euler, c'est à dire qu'on regarde l'évolution au cours du temps d'une grandeur physique Q en chaque point x,y,z de l'espace.

(*) La particule fluide au temps t+dt sera donc à la position x +vx dt, y + vy dt, z + vz dt

La variation de Q sera donc égale à dQ=Q(x+ vx dt, y + vy dt, z + vz dt, t+dt)- Q(x,y,z,t)

Je ne comprend pas, à partir de (*) pour moi là on est plus dans le cas de la méthode d'Euler puisque c'est comme si on suivait une particule de fluide (méthode de lagrange). dQ/dt devrait représenter l'évolution d'une grande physique en un point x,y,z de l'espace, donc pourquoi ajouter les termes vxdt, vy dt et vz dt ? Pour moi dans le cadre d'Euler ça devrait être dQ = Q(x,y,z,t+dt) - Q(x,y,z,t) .

merci

au cours du temps la position de la particule Q change. Il faut donc en tenir compte dans le calcul de sa différentielle. Ce que tu as écris en dernier signifirait que la particule de bouge pas au cours du temps.

[dunaz]

Bsr

J'ai toujours pas compris.

On nous dit que v représente la vitesse eulerienne de la particule de fluide et après on dit que que v_xdt représente la distance parcourue par cette même particule( donc en utilisant la description lagrangienne) alors qu'on sait qu'à x + dx il s'agit en général d'une autre particule de fluide !!
Merci de m'éclairer.

[velosiraptor]

Salut.
Lorsque tu écris : dQ=Q(x+ vx dt, y + vy dt, z + vz dt, t+dt)- Q(x,y,z,t) alors d'un point de vue eulérien, tu exprimes la variation de la grandeur Q entre les points où la particule se trouve à "t" (x, y, z) et au point où se trouve la particule à "t + dt" (x + vx.dt, y + vy.dt, ...).
Il s'agit d'une analyse de la grandeur Q (ou plutôt de sa variation) entre les deux points de l'espace sur une même ligne de courant, pas le long de la trajectoire de la particule, ce qui change tout.

Du point de vue lagrangien, la variation serait telle que tu l'as décrite, le long de la trajectoire de la particule ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

La variation temporelle en représentation d'Euler de Q(x,y,z,t) est bien dQ=Q(x, y, z, t+dt)- Q(x,y,z,t). Mathématiquement parlant, c'est la dérivée partielle de Q.
Le problème est que, physiquement, on ne peut rien dire de cette variation puisqu'on compare deux particules de fluide différentes : si on applique le
principe fondamental de la dynamique par exemple, la différence entre la vitesse de la particule A (celle en M à l'instant t) et B (... t+dt) ne peut être
interprétée comme une accélération.
Il faut donc revenir à la représentation de Lagrange, la seule avec laquelle on puisse écrire des lois physiques, d'où le dQ=Q(x+ vx dt, y + vy dt, z + vz dt, t+dt)- Q(x,y,z,t)
(mathématiquement parlant, c'est la dérivé totale de Q) qui est bien une expression lagrangienne (on suit la particule), mais exprimée à l'aide de la grandeur eulérienne Q.

Autrement dit le fondement de la dérivée particulaire est que la représentation eulérienne est la plus pratique, mais qu'on ne peut écrire des lois physiques qu'en représentation
lagrangienne ; la dérivée particulaire permet de faire le lien entre les deux.

[dunaz]

Merci à tous les deux

Dans le dunod pc/pc* page 252 fig 8.5 ils montrent la particule à deux endroits successifs sur une ligne en pointillés : ligne de courant ou trajectoire ?

[gts2]

Si ils parlent de LA particule, cela veut dire que c'est la même particule et donc c'est une trajectoire.
Ceci étant, si c'est entre t et t+dt, en n'oubliant pas que dt est un infiniment petit, c'est aussi bien une trajectoire qu'une ligne de courant : la trajectoire est en tout point tangent à la ligne de courant à l'instant t.

[dunaz]

ben oui je suis d'accord mais alors que penser de la remarque de velosiraptor ?

Il s'agit d'une analyse de la grandeur Q (ou plutôt de sa variation) entre les deux points de l'espace sur une même ligne de courant, pas le long de la trajectoire de la particule, ce qui change tout.

[gts2]

ben oui je suis d'accord mais alors que penser de la remarque de velosiraptor ?

A lui de préciser où il voulait en venir, mais pour que, par exemple, v(t+dt)-v(t) (v=vitesse) puisse être interprétée comme a.dt (a=accélération), il faut bien que cela concerne la même particule, et c'est donc bien une trajectoire.