Gravité

[mc222]

Salut à tous, vien de découvrir un truk curieux,

avec un intégration toute bête j'ai écrit l'équation de la vitesse d'un objet tombant sur un corps céleste, en fonction de la distance parcouru et de la distance initiale les séparant.

J'ai tracé sur un logiciel cette équation et j'ai trouvé un point d'inflexion, j'ai donc dérivé 2 fois l'éxpression et j'en suis arrivé a cette conclusion:

Si on lache un objet d'une distante L d'un coprs céléste, la vitesse augmente significativement au dela du quart de la distance L.

Ya t'il quelque chose qui cloche, merci
-----

[invite60be3959]

hum, vaudrait voir précisément ce que tu as posé comme calculs...

[Eurole]

Salut à tous, vien de découvrir un truk curieux,

avec un intégration toute bête j'ai écrit l'équation de la vitesse d'un objet tombant sur un corps céleste, en fonction de la distance parcouru et de la distance initiale les séparant.

J'ai tracé sur un logiciel cette équation et j'ai trouvé un point d'inflexion, j'ai donc dérivé 2 fois l'éxpression et j'en suis arrivé a cette conclusion:

Si on lache un objet d'une distante L d'un coprs céléste, la vitesse augmente significativement au dela du quart de la distance L.

Ya t'il quelque chose qui cloche, merci

Bonjour.

La terre est un corps céleste au sens large.

Que donne l'équation ?



.

[mc222]

Ok, comme je vois que ca vous intrigue, je résume vite fait mon résonnement:

On sait que :



Avec D la distance entre les centre de gravité de deux corps (dont un bien plus massif que l'autre, exemple , astéroide Terre)

Si on dit que la distance D est la distance initial entre les deux coprs, et x la distance parcouru par le petit corps on obtient:







On concidère que le corps est laché sans vitesse initiale, et que le travail fourni par la force de gravité est entièrment transformé en énergie cinétique pour le petit objet et non au gros.



On arrive à:



En tracant cette équation sur un logiciel, j'ai trouvé un point d'inflexion, tien tien:

J'ai dérivé deux fois l'expression pour obtenir ca:



Et bien vous m'croyez vous m'croyez pas, elle s'annule en D/4 , elle ne dépend même pas de la masse de l'objet, ou de G, juste le quart de la distance.

Je trouve ca abérrant.

Bon apres, il faut bien prendre en compt qu'il s'agit de la dérivé seconde de la vitesse par rapport à l'espace donc même pas la pein de parler d'accélération mais on peu tout de même dire qu'avant 1/4 de la distance initiale, la vitesse tend à baisser et qu'au dela de 1/4 elle augmente jusqu'à l'infini ( mécanique classique)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

Bonjour.

La terre est un corps céleste au sens large.

Que donne l'équation ?



.

L'équation donne que si vous sautez d'un vaisseau spacial à 100 000 km de la Terre, à partir de 25 000 km parcouru , votre vitesse s'emballera jusqu'à la collision, avant cette distance, votre vitesse augmentait de moins en moins avec la distance parcouru, après, c'est le contraire.

[invite60be3959]

Attention, la fonction v est de la forme k*u où u est une fonction de x, donc v'= k*u', et v'' = k*u''. La dérivée seconde dépendra donc toujours de racine(2GM). Sinon les calculs sont bons.

On observe en effet un point d'inflexion, mais cela n'a rien de surprenant. C'est typique d'une loi d'attraction en 1/rⁿ, n>0. Si par contre tu prends une loi en rⁿ, n>0, tu ne trouveras plus de point d'inflexion (et la vitesse ne tendra plus vers l'infini en x=D).
Pour comprendre un peu plus précisément ce qui se passe, il faut étudier les 2 régimes x<<D et x~D. Dans le 1er cas on a une fonction (pour la vitesse) en et donc une croissance lente. Pour le 2ème cas, on trouve une fonction en , qui a une croissance très rapide pour x~D. Il y aura donc forcément entre ces 2 régimes extrèmes une transition qui se traduit par un point d'inflexion. Après on ne peut pas dire grand chose de plus, à part que "la nature est ainsi faite" ! (dans l'approximation newtonienne).
Maintenant, tu peux peut-être t'attaquer à un problème plus réaliste. Dans un premier temps tu peux considérer que l'astre a une certaine extension spatiale, ce qui aura pour effet de supprimer la divergence de la vitesse en x=D (car x ne sera jamais égale à D). Dans un 2ème temps, on sait qu'aucun astre n'est immobile, et donc un objet laché avec vitesse initiale ou pas n'aura dans ce cas plus une trajectoire rectiligne comme dans ton modèle. On entre alors dans ce que l'on appel le problème de Kepler dont tu trouveras bon nombre de référence sur internet.

[mc222]

Attention, la fonction v est de la forme k*u où u est une fonction de x, donc v'= k*u', et v'' = k*u''. La dérivée seconde dépendra donc toujours de racine(2GM). Sinon les calculs sont bons.

On observe en effet un point d'inflexion, mais cela n'a rien de surprenant. C'est typique d'une loi d'attraction en 1/rⁿ, n>0. Si par contre tu prends une loi en rⁿ, n>0, tu ne trouveras plus de point d'inflexion (et la vitesse ne tendra plus vers l'infini en x=D).
Pour comprendre un peu plus précisément ce qui se passe, il faut étudier les 2 régimes x<<D et x~D. Dans le 1er cas on a une fonction (pour la vitesse) en et donc une croissance lente. Pour le 2ème cas, on trouve une fonction en , qui a une croissance très rapide pour x~D. Il y aura donc forcément entre ces 2 régimes extrèmes une transition qui se traduit par un point d'inflexion. Après on ne peut pas dire grand chose de plus, à part que "la nature est ainsi faite" ! (dans l'approximation newtonienne).
Maintenant, tu peux peut-être t'attaquer à un problème plus réaliste. Dans un premier temps tu peux considérer que l'astre a une certaine extension spatiale, ce qui aura pour effet de supprimer la divergence de la vitesse en x=D (car x ne sera jamais égale à D). Dans un 2ème temps, on sait qu'aucun astre n'est immobile, et donc un objet laché avec vitesse initiale ou pas n'aura dans ce cas plus une trajectoire rectiligne comme dans ton modèle. On entre alors dans ce que l'on appel le problème de Kepler dont tu trouveras bon nombre de référence sur internet.

Je tien tout d'abort à vous remercier pour l'interet que vous portez à mes interrogations, ensuite;

Vous avez raison j'avais faut à une constante pres, racine de 2Gm, pour l'expression de v''(x) mais je soutient que la postion du point d'inflexion ne dépend pas de cette constante, car elle se simplifie lors qu'on pose v''(x)=0, qu'est que vous en pensez ?

Ensuite, quand vous parlez d'extension spacial, vous parlez de volume?
A quel moment mon model montre t-il ses limites si on considère que l'objet à une extention spaciale?

merci

[invite60be3959]

Vous avez raison j'avais faut à une constante pres, racine de 2Gm, pour l'expression de v''(x) mais je soutient que la postion du point d'inflexion ne dépend pas de cette constante, car elle se simplifie lors qu'on pose v''(x)=0, qu'est que vous en pensez ?

Oui bien sûr, je te faisais juste remarquer cette légère erreur.

Ensuite, quand vous parlez d'extension spacial, vous parlez de volume?
A quel moment mon model montre t-il ses limites si on considère que l'objet à une extention spaciale?

merci

Quand je disais extension spatiale, je parlais d'un rayon r non-nul par exemple pour un astre à répartition sphérique de masse. Lorsque x sera égal à D-r l'objet en chute libre s'écrasera sur l'astre tout simplement.

[mc222]

Oui bien sûr, je te faisais juste remarquer cette légère erreur.

simplement.

Enfait j'l'avais oublier parce qu'elle n'influ pas mes résusltat quand j'ai tester ma formule ^^ c'est apres qu'je me suis rendu compt, bref,

Je potasse wiki sur le problème de kepler et à deux corps...