Pendule simple (coordonnées polaires) (L1)

[invite489fa85d]

Bonjour a tous !
Je suis en licence Math Physique Info et j'ai actuellement un exercice sur le pendule simple.
L'objet de mon TD est d'étudier le théorème du moment cinétique, et c'est justement ce qui me pose problème, voici mon énoncé :
"Un pendule est constitué d'une masse m accrochée au point M à un fil de longueur l. Le fil est repéré par rapport a la verticale d'axe (Ox) par l'angle Theta orienté. Le mouvement s'effectue sans frottement dans un référentiel galiléen.
1) Etablir l'équation du mouvement en utilisant le théorème du moment cinétique.
2) Retrouver cette équation en appliquant le principe fondamental de la dynamique.
3) Résoudre cette équation pour les petits angles."

Déjà le systeme est m, la base est polaire (r,theta,z)
Bon alors le 1 j'ai commencé avec le théorème en calculé le moment de T la tension du fil par rapport a 0, moment qui est nul puisque T=-k(er) (avec (er) le vecteur unitaire selon r), mais alors pour P... je vois pas du tout comment faire.

Pour le 2, bon bah là je pense que ça doit être plus simple, je suis en train de rédiger ça mais bon, je dérive deux fois OM=l(er) et j'obtiendrai quelque chose, que je mettrai en systeme grace a Fext=ma.

Enfin la 3e bon là j'ai une idée, mais j'avoue que je suis tellement perturbé par la premiere question que je n'ai même pas encore fini de rédiger la seconde, mais vu qu'on nous parle de petits angles, je suppose qu'on utilise un développement limité en 0, et donc sin theta=theta.

Merci a ceux qui m'aideront, bonne soirée =)
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[invite489fa85d]

Rebonsoir, désolé mais j'ai émis une hypothèse pour pouvoir continuer :
P(r)=mgcos(theta)
P(theta)=-mgsin(theta)
Donc quand je fais calcul le moment de P par rapport a O et je trouve :
Mo(P)=-lmgsin(theta)(ez) (puisque la composante en er part avec le produit vectoriel et que OM=l)
De plus en calculant le moment cinétique j'obtient (en vecteur) Lo=l²m(theta)'(ez)
Donc je dérive cette expression et je trouve Lo'=l²m(theta)"(ez)
Avec le théorème du moment cinétique j'obtiens la relation :
l²m(theta)"(ez)=-lmgsin(theta)(ez) <=> l(theta)"=-gsin(theta)
Donc l(theta)"+gsin(theta)=0.
Je pense que c'est bon, puisqu'en me basant sur la même expression de P, je retrouve la même chose avec le PFD (je n'ai besoin que de la composante de a selon theta), et ça collerait avec la fin puisque pour les petit angles j'ai sin(theta)=theta donc l'équation donne
l(theta)"+gtheta=0
Chose que je devrais pouvoir résoudre avec quelque chose de la forme
theta=Ae^(x1)+Be^(x2)
Mais ça me parait un peu tordu, donc j'aimerai bien votre avis =)

[arrial]

bon bah là je pense que ça doit être plus simple

► En effet ‼




•1► On admet que le mouvement est plan.
σ↑ = m.r↑ ∧ V↑ est le moment cinétique.
Le théorème du moment cinétique s’énonce
d σ↑/dt = M↑ = r↑ ∧∑Fext↑
Le mouvement étant à rayon constant, et la tension est radiale ; cela se résume donc à
m.r.dV/dt = m.g.r.sin θ

r↑ = r.er↑
V↑ = r. θ’.eθ↑ → V = r. θ’
Γ↑ = -r. θ’².er↑ [la fameuse force centripète] + r. θ’’.eθ↑

► θ’’ – (g/r).sin θ = 0

•2► m.g↑ + T↑ = -m.r.θ’².er↑ + m.r. θ’’.eθ↑ = -m.g.sin θ.eθ↑ + m.g.cos θ.er↑ - T.er↑
La composante tangentielle donne :

► θ’’ – (g/r).sin θ = 0


•3► si θ << 1 radian, alors sin θ ≃ θ

► θ’’ – ω². θ = 0

Équation caractéristique de l’oscillateur harmonique simple, de pulsation ω = √(g/r), de période T = 2 π√(r/g), comme on a vu au lycée ‼



@+

[invite489fa85d]

Merci beaucoup c'est effectivement ce que j'avais trouvé, mis a part pour le 3 ou j'avais complêtement oublié cette équation ^^
@ + =)

[A voir en vidéo sur Futura]