Pendule simple et référentiel non galiléen

[invite34719d7e]

Bonjour,

j'ai quelques questions concernant un problème de mécanique.

Le pendule est lié à un référentiel R1 qui se déplace en translation rectiligne suivant l'horizontale (non uniforme, donc R1 n'est pas galiléen) par rapport à R (référentiel galiléen).

Lors de l'étude dans le référentiel R, je trouve l'équation du mouvement suivante, en fonction de l'angle entre la verticale et le fil du pendule :

d²(θ)/dt² + (g sinθ)/l = 0

ce qui est correct, il me semble. Par contre, en étudiant le mouvement dans R1, je retrouve la même équation, avec la LFD, et en prenant en compte la force d'inertie d'entraînement. Est-ce normal ?

Je pose cette question car en étudiant le mouvement dans R1 à partir du théorème du moment cinétique, je trouve une relation différente :

d(θ)/dt + (g sinθ)/l + (a cosθ)/l = 0

Je pense m'être trompé avec la seconde méthode, mais je n'arrive pas à savoir pourquoi.

Merci,
Cordialement
-----

[Seirios]

Bonjour,

Pourrais-tu détailler ce que tu as fait pour que l'on puisse te dire où est le problème ?

[Jeanpaul]

C'est quand même étonnant que ton équation ne contienne pas la position du point d'accroche, l'expérience commune montre qu'elle joue un rôle important.

[invite34719d7e]

Bonjour, et merci beaucoup de bien vouloir m'aider. Je joins un petit schéma avec ce post.



Il faut que j'étudie le mouvement de la masselote, représentée par un point matériel A, en utilisant plusieurs méthodes.

J'ai commencé par utiliser le principe fondamental de la dynamique, en référentiel non galiléen :

On me dit : R1, d'origine 01, lié au pendule, par rapport auquel on étudie le mouvement est en translation rectiligne par rapport à R (galiléen), suivant l'axe des x avec pour accélération a₀ suivant x.

J'en déduis que puisque R1 est lié au pendule, alors le pendule est en translation rectiligne par rapport à R, un peu comme s'il était accroché au plafond d'un wagon de train.

"R1 étant en translation rectiligne par rapport à R, le long de l'axe des x, avec une accélération a_(O1/R) = a₀ e_x

- la force d'inertie de Coriolis est nulle (pas de rotation de R1)
- l'accélération d'entraînement a pour terme unique a_01/R = a₀e_x

Donc il existe bel et bien une force d'inertie d'entraînement, la translation n'étant pas uniforme : F_ie = -ma₀e_x

Une base cylindrique est définie au point H (le point d'attache du pendule) et a pour vecteurs unitaires e_ρ e_θ et -e_y. (Je précise que l'axe y est orienté vers l'arrière du plan du mouvement)

Ayant exprimé toutes mes forces dans cette base, j'écris :
F_ie = -ma₀sinθe_ρ -ma₀cosθe_θ

Maintenant j'utilise la LFD dans R1

ma_A/R1 = Somme des Forces
3 forces : le poids, la tension du fil et la force d'entraînement.
Du coup je retombe sur d²θ/dt² +(g/l)sinθ =0.
Pour de petites oscillations sinθ ~ θ

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Deuxième méthode : j'utilise le théorème du moment cinétique, comme demandé. Pour cela je calcule le moment des forces par rapport au point H. Celui de la tension du fil est nul.

Pour le poids je trouve M_P/H = mglsinθ e_y
(Dans la base cylindrique, comme -e_y est le troisième axe)

Pour la force d'inertie d'entraînement :
M_Fie/H = ma₀lcosθe_y

Et c'est pour le calcul du moment cinétique que je suis beaucoup moins sûr de mon coup : je le calcule dans le référentiel R₁, puisque je dois étudier le mouvement dans R₁ :

L_H/R1 = HA ^ mv_A/R1 = -ml²(dθ/dt)e_y

avec V_A/R1 = l(dθ/dt)e_θ

En appliquant le théorème, j'obtiens :

mglsinθ+ma₀lcosθ = -ml²(d²θ/dt²)

d'où : d²θ/dt² + (g/l)sinθ + (a₀/l)cosθ = 0

Je trouve donc deux résultats différents. Il me semble pourtant que je devrais retrouver le résultat de la LFD, puisque le mouvement est étudié dans R1. Et je ne vois pas du tout où est l'erreur...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Ayant exprimé toutes mes forces dans cette base, j'écris :
F_ie = -ma₀sinθe_ρ -ma₀cosθe_θ

Maintenant j'utilise la LFD dans R1

ma_A/R1 = Somme des Forces
3 forces : le poids, la tension du fil et la force d'entraînement.
Du coup je retombe sur d²θ/dt² +(g/l)sinθ =0.
Pour de petites oscillations sinθ ~ θ
.

Et le terme m a0, il est passé où ?

[invite34719d7e]

Voilà ce que j'ai fait, mais il y a peut-être une erreur de signe, (je suis en train de la chercher) :

ma_A/R1 = P + T + F_ie

Ce qui me donne en projetant sur e_θ :

ml(d²θ/dt²) - ma₀cosθ = -mgsinθ - ma₀cosθ

Les deux termes avec le a0 se simplifient, d'où mon résultat.

Pour trouver l'accélération dans R1 j'ai fait la soustraction suivante :

(Accélération de A dans R) - (Accéleration d'entraînement)

[Jeanpaul]

Je ne vois pas d'où vient le terme m a0 de gauche.

[invite34719d7e]

Il vient de l'expression de l'accélération d'entraînement.

Comme la loi de composition des accélérations dit que l'accélération dans R est la somme (dans ce cas) de l'accélération dans R1 et de l'accélération d'entraînement, j'en déduis que l'accélération dans R1 est égale à l'accélération dans R moins l'accélération d'entraînement.

Y a-t-il une erreur dans mon raisonnement ?

[invite34719d7e]

Désolé pour le double post. Je me suis repenché sur mon exercice et en effet, je m'aperçois que ce terme en a0 n'a rien à faire dans mon expression ! Merci de m'avoir aidé à y voir un peu plus clair.

Mateus.

[invite6e7a0072]

Bilan, avec les deux méthodes, je trouve aocosthéta-gsinthéta=lthéta"
avec l la longueur du fil.
C'est ça ou pas?

[Paul1]

Bonjour,

RFD en non galiléen:

m*accélération du point M par rapport au référentiel non galiléen= somme des forces + les forces d'inertie.

Les forces sont le poids plus la tension du fil. La force d'inertie est ici -mao selon x.

On projette le tout sur utheta est on obtient:

mld²theta/dt²=-mgsin(theta)-maocos(theta)

Ce qui est le même résultat qu'avec la méthode du moment cinétique que tu as décrite. Les deux méthodes conduisent au même résultats

(au passage on peut trouver la position d'équilibre en posant d²theta/dt²=0 et calculer ao en mesurant l'angle entre le pendule est la verticale)

[invite6e7a0072]

Bonjour,

RFD en non galiléen:

m*accélération du point M par rapport au référentiel non galiléen= somme des forces + les forces d'inertie.

Les forces sont le poids plus la tension du fil. La force d'inertie est ici -mao selon x.

On projette le tout sur utheta est on obtient:

mld²theta/dt²=-mgsin(theta)-maocos(theta)

Ce qui est le même résultat qu'avec la méthode du moment cinétique que tu as décrite. Les deux méthodes conduisent au même résultats

(au passage on peut trouver la position d'équilibre en posant d²theta/dt²=0 et calculer ao en mesurant l'angle entre le pendule est la verticale)

alors pourquoi j'ai un "-" en trop??

[Paul1]

Je ne sais pas où est votre "-" en trop.

Vous avez du faire une erreur de signe en projetant. Je vous ai montré que l'on obtient le même résultat. Cherchez un peu !

[invite6e7a0072]

Ok, je vais donc m'y remettre, merci ^^