Six mouches initialement situées sur les sommets d’un hexagone volent à vitesse constante. Chacune d'elles poursuit la suivante. Esquissez la trajectoire de chacune des mouches. »
1. Quelle figure l’ensemble des trajectoires forme-t-elle?
2. Quelles sont les phénomènes naturels qui constituent une application de ce problème.
De façon intuitive, la forme de la trajectoire sera une spirale (genre un tourbillon vu de dessus), les mouches vont finir au centre de la figure. J'ai également l'impression que cela est généralisable à tous les polygones régulier inscrit dans un cercle (triangle, carré ...).
Je vais essayer réfléchir pour une démo.
J'ai un début de réponse, tu discrétises le problème avec des intervalles de temps dt égaux. Pendant un intervalle de temps dt, les mouchent avancent en ligne droite. Tu peux mesurer la distance d(i,i+1,t) qui est la distance entre les mouches i et i+1 à l'instant t. Ce n'est pas très difficile de se convaincre (on peux même faire le calcul explicite mais je n'ai pas trop le temps là) que cette distance décroit avec le temps. Donc les mouches se rapprochent toutes les unes des autres. (tu peux ensuite passer à la limite dt -> 0 si tu veux).
Par des arguments de symétrie (les conditions initiales sont invariantes par rotation), le point de rencontre ne peut-être que le centre de l'hexagone.
Cela ne justifie pas la forme de la figure en revanche. Trouver l'équation exacte me semble relativement compliquer, il serait peut-être judicieux de commencer la démo avec un triangle ou un carré (moins de mouches !).
Bon courage.
Bonjour,
je pense que par raison de symetrie, toutes les mouches se trouvent en permanence sur un cercle (on sent bien venir l'expression du probleme en coordonnées polaires)
et qu'elles se trouvent aussi en permanence sur l'hexagone inscrit dans ce cercle.
l'hexagone permet de connaitre la direction de la mouche à chaque instant (elle va droit sur la mouche suivante)
la direction de la mouche est donc toujours à 30 ° de la tangente au cercle en ce point
pour moi, tu peux trouver facilement le dr/dteta, il ne reste plus qu'a integrer
fred
On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !
effectivement !
Merci.
bonjour,
on peut aprés generaliser facilement à n'importe quel polygone regulier
fred
On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !
MErci pour vos réponses, finalement les mouches vont se retrouver au centre de l'héxagone?
