Opérateurs création/ann. et hamiltonien

[invite5dfdea03]

Bonjour,

Après avoir jeté un coup d'oeil à différents sites/postes/bouquins j'ai à peu près compris comment on fait apparaître les opérateurs de création/annihilation dans un hamiltonien. Ce que je ne comprends pas vraiment par contre, c'est l'interprétation qu'on peut en faire. Je m'explique : prenons le cas d'un électron. Qu'on puisse écrire
avec l'énergie de l'électron à l'état k, l'opérateur de création et celui d'annihilation
ne me choque pas, mais comment peut on interpréter ? On détruit puis on crée l'électron ?

Et sinon, une autre question en passant : j'ai trouvé dans un article la description de l'hamiltonien pour un électron dans l'îlot centrale d'un transistor à un électron comme étant :
avec V le potentiel auquel est soumis l'îlot
La première partie ne me dérange pas, mais la deuxième (à partir de e²/2C), je ne la comprend pas vraiment. Comment se fait-il qu'on se retrouve avec l'énergie de charge de l'îlot (e²/2C) fois ?

Désolé si je ne suis pas très clair, mais bon, comme on dit, si j'arrivais à bien poser la question, j'aurais sûrement déjà compris.

Merci et bonne soirée
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[invite9e7457ce]

Bonjour,

Après avoir jeté un coup d'oeil à différents sites/postes/bouquins j'ai à peu près compris comment on fait apparaître les opérateurs de création/annihilation dans un hamiltonien. Ce que je ne comprends pas vraiment par contre, c'est l'interprétation qu'on peut en faire. Je m'explique : prenons le cas d'un électron. Qu'on puisse écrire
avec l'énergie de l'électron à l'état k, l'opérateur de création et celui d'annihilation
ne me choque pas, mais comment peut on interpréter ? On détruit puis on crée l'électron ?

Salut,

tu as fait les 3/4 du chemin de la compréhension si tu étudie l'oscillateur harmonique quantique. Il y a ici une différence du fait que l'électron est un fermion, et qu'à la différence des bosons pour lesquels le formalisme de l'oscillateur harmonique s'applique directement, il faut ici remplacer les relations de commutations par des relations d'anticommutations, ce qui a pour conséquence que les vecteurs propres de a*a sont uniquement |0> ou|1> (c'est ce que traduit bien-sur le principe d'exclusion de Pauli).

En gros, l'idée c'est que l'on peut déduire des relations d'anti-commutations des a* et a que l'opérateur N=a*a (appelé "opérateur nombre") possède des vecteurs propres |1> et |0> associés à des valeurs propres 1 et 0. |0> représente alors l'état de vide (aucun électron présent) alors que |1> représente un état où un électron est présent. Autrement dit, les valeurs propres de N=a_k*a_k sont les nombres possibles d'électrons présents dans l'état d'énergie e_k. a* est appelé "opérateur de création" car a*|0> est colinéaire à |1> et a est appelé "opérateur annihilation" car a|1> est colinéaire à |0>.


Je laisse d'autres répondre à ta seconde question.

[invite5dfdea03]

Tout d'abord, merci pour cette réponse rapide.
Ensuite, c'est justement cet opérateur N qui m'intéresse (en particulier son sens physique). Pour vérifier si j'ai bien compris ce que tu dis, il ne peut y avoir que 0 ou 1 électron dans l'état d'énergie ek ? Je croyais que le principe d'exclusion de Pauli interdisait à deux électrons identiques d'être au même endroit, mais que l'énergie n'était qu'un paramètre parmis d'autres (le spin permettant par exemple de faire la différence).
Et enfin, as-tu une manière intuitive de comprendre pourquoi a*a donne le nombre d'électrons ?

Oh, et juste un détail : quant tu parles d'anticommutation, ça veut dire [a*,a] = -1 ?

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Après avoir jeté un coup d'oeil à différents sites/postes/bouquins j'ai à peu près compris comment on fait apparaître les opérateurs de création/annihilation dans un hamiltonien. Ce que je ne comprends pas vraiment par contre, c'est l'interprétation qu'on peut en faire. Je m'explique : prenons le cas d'un électron. Qu'on puisse écrire
avec l'énergie de l'électron à l'état k, l'opérateur de création et celui d'annihilation
ne me choque pas, mais comment peut on interpréter ? On détruit puis on crée l'électron ?

Et sinon, une autre question en passant : j'ai trouvé dans un article la description de l'hamiltonien pour un électron dans l'îlot centrale d'un transistor à un électron comme étant :
avec V le potentiel auquel est soumis l'îlot
La première partie ne me dérange pas, mais la deuxième (à partir de e²/2C), je ne la comprend pas vraiment. Comment se fait-il qu'on se retrouve avec l'énergie de charge de l'îlot (e²/2C) fois ?

Désolé si je ne suis pas très clair, mais bon, comme on dit, si j'arrivais à bien poser la question, j'aurais sûrement déjà compris.

Merci et bonne soirée

Bonjour,


Philosophie de la seconde quantification.

Le langage de seconde quantification est une technique pour écrire les interactions entre particules identiques en tenant compte automatiquement soit de la symétrie de permutation pour les bosons identiques soient de l'antisymétrie de permutations pour les fermions.

Opérateurs à 1 corps et opérateurs à 2 corps.

il y a 2 sortes d'opérateurs: les opérateurs à 1 corps et les opérateurs à 2 corps.

Ton hamiltonien H1 est un opérateur à 1 corps.

Ton hamiltonien H2 est la somme d'un opérateur à 1 corps et d' un opérateur à 2 corps.

Je ne vais pas te faire un cours complet sue la seconde quantification et je ne sais pas me servir de Latex. Aussi je te donne un coup de pouce pour bien démarrer.

Opérateur à 1 corps

Supposons, pour commencer que ton hamiltonien à 1 corps ne possède qu'un seul terme:


hk =

Avec H1 =

où k prend une valeur particulière parmi l'ensemble des vecteurs de base {|k>}

Calculons les éléments de matrice de H1 dans la base des {|k>}

Prenons la valeur k

On a:

< k |h1|k> =

On a:



De même:




d'où < k|h1|k> =

Ainsi l'élement de matrice diagonale vaut tout simplement



Si tu avais fait le calcul d'un élement de matrice quelconque tu aurais trouver:

<k1|h1|k2> = 0

En effet:



Sauf si k1 = k2

Ceci était en prenant dans ton hamiltonien H1 un seul terme hk.

Il est facile de comprendre que L'énergie a N particules sera:

< T|H1|T> =

où

est le nombre d'occupation de l'état |k>

Tu es dans un système de fermions et ce nombre vaut O où 1

Opérateur à 2 corps


Je ne continu pas mais c'est la même idée:

Il faut calculer les éléments de matrices de la forme:

< k1.k2 |O12 |k3.k4>

où O12 est typiquement un opérateur à 2 corps dont le prototype est l'interaction électrostatique.

Il apparait évident qu'un opérateur à 2 corps dans le langage de la seconde quantification sera le produit de 4 opérateurs.

Il est facile de comprendre l'origine du carré de la charge électrique liée à l'interaction coulombienne entre 2 charges.

PS: Si tu pouvais reprendre le texte et l'écrire correctement en latex, çà pourra me servir et surtout aux autres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e7457ce]

Ensuite, c'est justement cet opérateur N qui m'intéresse (en particulier son sens physique). Pour vérifier si j'ai bien compris ce que tu dis, il ne peut y avoir que 0 ou 1 électron dans l'état d'énergie ek ? Je croyais que le principe d'exclusion de Pauli interdisait à deux électrons identiques d'être au même endroit, mais que l'énergie n'était qu'un paramètre parmis d'autres (le spin permettant par exemple de faire la différence).

Le principe d'exclusion interdit à deux électrons d'être dans le même état quantique. Cet état quantique peut être décrit dans la base des |x, y, z, spin (oz)> ou dans la base des |px, py, pz, spin (oz)> (cette dernière base correspond pour un électron libre à la base des états d'énergies bien définies). Dans les deux cas, il y a dégénérescence respectivement des états de position bien définie et des états d'énergie bien définie à cause des deux valeurs possibles du spin selon l'axe oz. Tu as raison de le signaler (je ne l'ai pas mentionné pour aller plus vite dans l'explication). Pour être un peu plus rigoureux, il faudrait donc écrire N_pk,mz=a*_pk,mza_pk,mz. (Où mz désigne la projection du spin selon l'axe oz)

Et enfin, as-tu une manière intuitive de comprendre pourquoi a*a donne le nombre d'électrons ?

Voir réponse de Mariposa. Le mieux pour en avoir une idée précise, c'est de commencer par étudier l'oscillateur harmonique quantique. Le hamiltonien d'un champ de bosons peut se mettre sous la forme d'une somme d'hamiltoniens d'oscillateurs harmoniques. Pour passer à un champ de fermions (et donc d'électrons), il n'y a rien de conceptuellement très différent (en gros, une fois que tu sais déduire , à partir des relations de commutation des a* et a le spectre de N pour un oscillateur harmonique, tu n'auras pas trop de mal à déduire le spectre de Nk pour un champ de fermion à partir des relations d'anit-commutations, la logique de la démonstration étant à peu près la même).

Oh, et juste un détail : quant tu parles d'anticommutation, ça veut dire [a*,a] = -1 ?

commutateur : AB-BA.
anticommutateur : AB+BA

Les relations d'anticummutations sont aa*+a*a= 1

[invite5dfdea03]

Pfiou, ça fait beaucoup de choses à lire pour bien comprendre (d'où le retard dans ma réponse).

Bref, merci beaucoup à tous les deux, et quant à moi, je retourne dans mes bouquins pour essayer de voire comment fonctionne les opérateurs à 2 corps.