Opérateurs de création et d'anihilation en théorie quantique des champs ??

[Ludwig]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait'il fournir des explications sur le rôle de ces opérateurs, ce à quoi ils correspondent ???

Cordialement

Louis
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[mariposa]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait'il fournir des explications sur le rôle de ces opérateurs, ce à quoi ils correspondent ???

Cordialement

Louis

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Je te propose des explications avec les mains/
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En MQ "ordinaire" le couplage par un opérateur "O" entre 2 états se represente par un élément de matrice. Supposons que les états soient blanc et noir.
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On dit que O.b> = n>
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Une écriture équivalente serait:

Cn.Db 1,0> = 0,1>

Dans le ket ...> le premier chiffre indique l'occupation ou non de b le deuxième chiffre l'occupation ou non de n.
Cn est l'opérateur destruction et Db l'opérateur construction.
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Ces 2 écritures sont équivalentes. l'avantage de la deuxième est d'être bien adaptée pour décrire la physique des particules identiques et en nombre variables, ce qui est le cas en théorie quantique des champs. On ne manipule que des nombres d'occupation et pas de fonctions d'ondes.
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En espérant t'avoir aidé.

[invitea7319a17]

Bonjour,

En fait les opérateurs de création et d"annihilation correspondent à la creation et à la destruction de particules.
Dans le cas de l'electromagnetisme, il creait un photon ou le detruise. On les note conventionnellement a* et a.

Pour leur origine, il existe une façon simple de les introduire ne necessitant que quelques notions de mecanique quantique et d'electromagnétisme.
En effet, si tu prends une cavité de volume arbitraire dans lequel regne une champs electrique E et magnetique B, tu obtiens une structure d'ondes stationnaires.
En manipulant un peu, l'énergie de ce champ (hamiltonien) tu aboutis à une analogie frappante entre l'oscillateur hamonique traité en méca q et l'energie dans la cavité. Il te reste alors a identifier certains de tes opérateurs aux opérateurs de creation et de destruction ... en gros, un champ peut admettre une decomposition de fourier : on parle de mode. Et on introduit pour chacun de ces modes des opérateur de creation et d'annihilation.

[mariposa]

Bonjour,

En fait les opérateurs de création et d"annihilation correspondent à la creation et à la destruction de particules.

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C'est justement une erreur de croire que les opérateurs de création et d"annihilation correspondent seulement à la creation et à la destruction de particules. Ils correspondent en toute généralité à la création et l"annihilation d'etats que les états soient a nombre de particules variable ou constant. En physique du solide on utilise ce langage bien que le nombre de particules soit constant. Il a comme avantage de ne pas écrire explicitement le caractère symétrique ou antisymétrique des fonctions d'onde.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7319a17]

Il s'agit bien évidemment du même type de confusion qui peut intervenir dans le cadre de la teleportation quantique où ce n'est pas la particule qui se teleporte mais son état quantique. Pour ce qui est des états de Fock, il s'agit en effet d'une representation commode permettant de s'affranchir des opérations de symetrisations ou d'anti symetrisation mais dans le cas d'un champ electromagnetique tel que je l'ai brievement exposé l'action de ces opérateurs correspond effectivement à la creation et à l'annihilation d'un photon. c'est le fond de commerce de toutes les experiences d'optique quantique plus particulièrement de l'electrodynamique en cavité...

[Lévesque]

Mathématiquement, l'opérateur de création fait passer un oscillateur harmonique d'un mode donné à un mode supérieur, tandis que l'opérateur de destruction fait passer l'oscillateur d'un mode donné à un mode inférieur.
Faisant l'analogie "particule" -> "mode d'excitation d'un champ", alors appliquer un opérateur de création sur l'état du champ change son mode d'oscillation et donc le nombre de particule (à l'inverse pour l'op. de destruction).

Simon

[Ludwig]

Mathématiquement, l'opérateur de création fait passer un oscillateur harmonique d'un mode donné à un mode supérieur, tandis que l'opérateur de destruction fait passer l'oscillateur d'un mode donné à un mode inférieur.
Faisant l'analogie "particule" -> "mode d'excitation d'un champ", alors appliquer un opérateur de création sur l'état du champ change son mode d'oscillation et donc le nombre de particule (à l'inverse pour l'op. de destruction).

Simon

J'ai donc bien compris ce que j'ai lu.

On shifte les pôles, vers + = création, vers - = destruction,
C'est en parfait accord, c'est même trés clair.
Merci

Cordialement

Louis

[philou21]

J'ai donc bien compris ce que j'ai lu.

On shifte les pôles, vers + = création, vers - = destruction,
C'est en parfait accord, c'est même trés clair.
Merci

Cordialement

Louis

Bonjour
c'est quoi ces pôles ?

[Chip]

Mathématiquement, l'opérateur de création fait passer un oscillateur harmonique d'un mode donné à un mode supérieur

attention, pas à un "mode supérieur", mais au niveau supérieur

Faisant l'analogie "particule" -> "mode d'excitation d'un champ"

non; l'analogie la plus simple c'est "particule" <-> "un quantum d'excitation d'un mode du champ"

alors appliquer un opérateur de création sur l'état du champ change son mode d'oscillation

non, cela le fait passer à son niveau d'énergie supérieur, on ne peut pas dire que cela "change son mode d'oscillation".

[Lévesque]

Désolé, j'utilisais "mode" et "niveau d'énergie" comme si c'était des synonymes.

Un mode, c'est pas (par analogie) le nombre de noeud dans une corde en état stationnaire?
Donc, si n est le mode, n est proportionnel à la fréquence donc, n est proportionnel à l'énergie. Changer de mode = changer de niveau?

Tu peux m'expliquer la subtilité qui m'échappe?

Simon

[Ludwig]

attention, pas à un "mode supérieur", mais au niveau supérieur
non; l'analogie la plus simple c'est "particule" <-> "un quantum d'excitation d'un mode du champ"
non, cela le fait passer à son niveau d'énergie supérieur, on ne peut pas dire que cela "change son mode d'oscillation".

Bonjour,

J'avais cru comprendre, mais suite à la lecture de ton post, j'ai des doutes.
Pourrais-tu décrires ce que tu entends par la notion de mode.

Si j'essai d'interprèter ceci,

non, cela le fait passer à son niveau d'énergie supérieur, on ne peut pas dire que cela "change son mode d'oscillation"

J'aurai tandence à comprendre que c'est une amplitude qui change et pas une pulsation




Cordialement,

Louis

[Lévesque]

Ludwig: Pour que ce soit bien clair, je te réfère au notes de cours de John Bell. Regarde la section Interprétation en termes de particules (p.11). C'est vraiment tout simple (et ça évite un débat sur les mots).

Simon

[Chip]

Un mode, c'est pas (par analogie) le nombre de noeud dans une corde en état stationnaire?

oui (la "formulation" n'est peut-être pas très propre mais en tout cas il n'y a pas de confusion sur ce point)

Donc, si n est le mode, n est proportionnel à la fréquence donc, n est proportionnel à l'énergie. Changer de mode = changer de niveau?

Non, lorsque tu quantifies l'état (déplacement transverse) de ta corde, tu décris chaque mode comme un oscillateur harmonique. L'énergie de chacun de ces modes est quantifiée. Rajouter une excitation à un de ces modes ne le fait pas "changer de mode", on a juste un "phonon de plus" dans ce mode (là c'est des états de Fock, mais bien sûr ca n'est pas limité à ca...). La confusion vient sans doute du fait que tu as en tête les fonctions d'onde des différents niveaux d'un oscillateur harmonique, qui ont aussi des ventres et des noeuds... Remarque que les énergies des quanta d'excitation des différents modes (ou, classiquement, les fréquences des modes tout simplement) peuvent avoir des valeurs non régulièrement espacées... dans ce cas tu ne peux pas faire cette erreur!

Petite remarque : quand je parle de quantifier le déplacement transverse de la corde, il faut savoir qu'expérimentalement on n'est effectivement plus très loin d'observer directement cette quantification (phonons uniques) dans des nanoobjets!

[Ludwig]

Ludwig: Pour que ce soit bien clair, je te réfère au notes de cours de John Bell. Regarde la section Interprétation en termes de particules (p.11). C'est vraiment tout simple (et ça évite un débat sur les mots).

Simon

Merci c'est extraordinairement bien fait.

Je viens de lire en diagonale, si j'ai bien compris, les opérateurs de création et d'anihilation se comportent comme des oscillateurs harmoniques simples indépendants les uns des autres.

Cordialement

Louis

[Ludwig]

L'énergie de chacun de ces modes est quantifiée. Rajouter une excitation à un de ces modes ne le fait pas "changer de mode", on a juste un "phonon de plus" dans ce mode (là c'est des états de Fock, mais bien sûr ca n'est pas limité à ca...).

Il y quelque temps j'avais posté ceci:

Premier mode:



Ka-ièmme mode



Je me suis fais éjecter comme un malpropre,
Qu'en pensez-vous aujourd'hui ???



Cordialement

Louis

[Ludwig]

Bonjour
c'est quoi ces pôles ?

La solution qui annule le dénominateur de l'expression ci-dessus.

C'est également ce qui caractérise ton oscillateur
Tu peux représenter tout les oscillateurs harmoniques de cette façon.


Cordialement

Louis

[Lévesque]

lorsque tu quantifies l'état (déplacement transverse) de ta corde, tu décris chaque mode comme un oscillateur harmonique. L'énergie de chacun de ces modes est quantifiée. Rajouter une excitation à un de ces modes ne le fait pas "changer de mode", on a juste un "phonon de plus" dans ce mode

Peut-être que je me trompe, mais j'avais dans l'idée qu'un mode correspondait à un phonon. Dans un cristal, s'il y a un phonon, alors celui-ci vibre selon un mode, chaque atome vibrant avec la même fréquence.

Si j'ajoute de l'énergie, j'ajoute un phonon : les atomes de mon cristal vibrent avec une plus grande fréquence.

Peut-être que je me trompe, mais j'avais dans l'idée que si les atomes d'un crystal vibrent tous à une certaine fréquence f, alors ils vibraient selon un mode m(f). Si je change leur fréquence (en ajoutant un phonon), je change de mode.

Je pense que tu utilises "mode" seulement pour "phonon", alors que j'utilise mode aussi pour parler du mouvement de l'"ensemble des atomes".

Ce serait bien que je comprenne si je suis dans l'erreur, étant donné que j'ai terminé depuis assez longtemps mon cours de physique de l'état solide, et que j'ai vu les espaces de Fock il n'y a pas très longtemps dans un cours de QFT, que je suis présentement.

Merci pour les explications Chip,

Cordialement,

Simon

[philou21]

En vibration moléculaire on appelle un mode un oscillateur caractérisé par une valeur de . Ce mode peut avoir bien sur une fréquence fondamentale et toutes les harmoniques que l'on veut.

[Chip]

Peut-être que je me trompe, mais j'avais dans l'idée qu'un mode correspondait à un phonon.

Ben non, c'est l'erreur que tu as faite au-dessus. Un phonon c'est une excitation élémentaire d'un mode de vibration donné (comme pour un photon mais dans un autre contexte). Tu peux avoir plusieurs phonons qui "peuplent" un mode.

Si j'ajoute de l'énergie, j'ajoute un phonon : les atomes de mon cristal vibrent avec une plus grande fréquence.

Non, tu as juste rajouté un quantum d'excitation à ton mode de vibration (qui est décrit par une (ou des) fréquence spatiale et une fréquence temporelle données, fixes).

Merci pour les explications Chip

De rien...

[Chip]

Il y quelque temps j'avais posté ceci: Premier mode: Ka-ièmme mode

Ben écoute, moi je ne vois pas ce que tu veux dire, mais si tu expliques clairement ce que ça veut dire et ce que ça apporte, ça pourrait éventuellement être intéressant... Une remarque : personnellement je suis fortement allergique aux discours du genre "je suis un génie incompris, tout ce que vous racontez je le retrouve avec deux équations, toute la mécanique quantique repose sur une erreur de signe, etc.". J'ai tendance à passer rapidement sur ce genre de message...

Je me suis fais éjecter comme un malpropre, Qu'en pensez-vous aujourd'hui ???

Euh... je ne pense pas que tu te sois fait éjecter comme un malpropre, puisque tu écris tes équations sans en expliquer l'intérêt ni la signification dans pas mal de discussions, non?

[mariposa]

Ben écoute, moi je ne vois pas ce que tu veux dire, mais si tu expliques clairement ce que ça veut dire et ce que ça apporte, ça pourrait éventuellement être intéressant... Une remarque : personnellement je suis fortement allergique aux discours du genre "je suis un génie incompris, tout ce que vous racontez je le retrouve avec deux équations, toute la mécanique quantique repose sur une erreur de signe, etc.". J'ai tendance à passer rapidement sur ce genre de message...Euh... je ne pense pas que tu te sois fait éjecter comme un malpropre, puisque tu écris tes équations sans en expliquer l'intérêt ni la signification dans pas mal de discussions, non?

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Je crois que Ludwig a du mal à se faire comprendre, car il pense théorie des systèmes, c'est sa culture, alors qu'il se trouve sur un forum de physiciens. en fait ce qu'écrit Ludwig en termes de transformée de Laplace se traduit dans le contexte de la physique en termes de fonction de Green.
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Je sugère à Ludwig d'apprendre à résoudre l'équation de Shrodinger dans des cas simples (en prenant des livres et sans réinventer l'eau tiède). Après quoi il pourrait étudier à quoi sert les méthodes de fonctions de Green pour résoudre l'équation de Shrodinger. il verra de lui-même les points communs et les différences. c'est un excellent exercice physico-mathématique.

[Lévesque]

Peut-être que je me trompe, mais j'avais dans l'idée qu'un mode correspondait à un phonon

Ben non, c'est l'erreur que tu as faite au-dessus. Un phonon c'est une excitation élémentaire d'un mode de vibration donné

Each of the vibrational normal modes of the crystal is characterized by a wave vector k and an angular frequency . In solid state physics, the energy quantum associated with a mode is called a "phonon". The phonons can be considered to be particles of energy and momentum .

T'es d'accord avec Cohen?

[Chip]

Ben oui, il dit exactement la même chose... encore un "plagiat par anticipation"!

[Lévesque]

Le mode de vibration est caractérisé par une fréquence f. Un phonon est caractérisé par la même fréquence f.

Je ne comprends pas pourquoi tu n'est pas d'accord avec

j'avais dans l'idée qu'un mode correspondait à un phonon

en y répondant

Ben non, c'est l'erreur que tu as faite au-dessus. Un phonon c'est une excitation élémentaire d'un mode de vibration donné

alors que le phonon a la même fréquence qu'un mode.

Tu peux m'expliquer? Je ne comprends pas ce que tu dis...

En fait, tu t'opposais à "appliquer l'opérateur de création change le mode". Je te reformule ma compréhension, peut-être identifieras-tu rapidement ce qui cloche.

1. un mode est caractérisé par k et S(k).
2. on applique l'opérateur de création, on change k et donc S.
3. après l'application de l'opérateur de création, puisque S est différent, on a un autre mode.
4. Je conclue qu'appliquer l'op. de créa. change le mode.

Merci encore de ton temps,

Simon

PS: Je me casse la tête dans le 2e chapitre de Kato entre chaque message, alors désolé si je comprends pas vite, j'ai le cerveau en compote.

[mariposa]

Avant de discuter opérateur d'annhilation ou de creation je donne une petite explication sur ce qu'est un mode normal en physique (quelquesoit le domaine).
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La plupart du temps les phénomènes physiques sont décrits par une équation linéaire aux dérivées partielles par rapport aux variables d'espace et de temps (avec des conditions aux limites).
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Les solutions de ces équations s'appellent des modes normaux. pour simplifier il sont le produit d'une composante spatiale (qui peut-être être compliquée) par une fonction périodique du temps.
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Donc un mode c'est une solution (parmi d'autres) d'une équation aux dérivées partielles (ou d'un ensemble couplé d'équations aux dérivées partielles) qui se caractérise par une fonction spatiale.
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Dans les cas ou il y beaucoup de symétrie (invariance géométrique), par exemple dans le cas de l'invariance par translation les modes s'écrivent tout simplement:
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....A.exp(-i.k.r). exp(-i.omega.t)

avec la relation dite de dispersion omega (k) qui provient de la résolution de l'équation aux dérivées partielles.

Passage à la MQ
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On écrit l'Hamiltonien du système physique relativement aux modes normaux. Cela revient à dire que l'on a diagonaliser l'hamiltonien associé à l'équation aux dérivées partielles.
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Dans ce cas l'hamiltonien totale est la somme d'hamiltoniens indépendants. Autrement dit un mode à lui tout seul est l'équivalent d'un hamiltonien à 1 électron.
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De plus l'hamiltonien se présente sous une forme de deux termes quadratiques. Après quantification on trouve des niveaux régulièrement espacés d'une énergie hb.oméga où oméga est la pulsation du mode considéré.
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On appelera suivant le problème physique photon, phonon, exciton, magnon, polariton la différence d'énergie entre 2 niveaux. Autrement dit un photon c'est une différence d'énergie et non pas une particule. Le terme appropriée est excitation élémentaire.
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Donc un mode déterminé pourra être dans l'etat d'excitation numéro 14, un autre mode dans l'état 345...
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On peut fabriquer des systèmes physiques ou il exsite un nombre limité de modes voire un seul. il suffit que le dimension du volume soit égal à la longueur d'onde.

[Chip]

1. un mode est caractérisé par k et S(k).
2. on applique l'opérateur de création, on change k et donc S.
3. après l'application de l'opérateur de création, puisque S est différent, on a un autre mode.
4. Je conclue qu'appliquer l'op. de créa. change le mode.

1. un mode est caractérisé par k et omega (éventuellement encore d'autres paramètres)
2. l'opérateur de création (= de création d'excitations élémentaires de ce mode) ne modifie ni k ni omega (ça n'a pas de sens), il se contente de créer des excitations (une excitation) de ce mode. Il y a un opérateur de création pour chaque mode
3. tu n'as pas un autre mode, tu as un mode peuplé d'une excitation élémentaire de plus (dans le cas où ce mode était dans un état de Fock au départ)
4. bé non... enfin ça dépend ce que tu appelles "changer le mode". Le mode n'est plus occupé de la même façon, mais il s'agit bien du "même" mode (mêmes k et omega). Tu es sûr que tu as bien regardé dans le #13 le passage sur la possible confusion?

[mariposa]

un mode est caractérisé par k et omega (éventuellement encore d'autres paramètres)

.
.
Comme je l'ai indiqué précedemment un mode peut-être indicé par k pour les seuls systèmes en translation (et par extension aux solides dans la mesure ou l'invariance par translation discrète) est conservée. En cas d'abscence de symétrie reste a donner un numéro d'ordre aux modes.

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2. L'opérateur de création (= de création d'excitations élémentaires de ce mode) ne modifie ni k ni omega (ça n'a pas de sens), il se contente de créer des excitations (une excitation) de ce mode. Il y a un opérateur de création pour chaque mode

.
Comme je l'ai indiqué dans mon premier fil les opérateurs annhilation et création ne sont pas liés a la creation de particules. Ils representent des éléments de matrice, même en théorie quantique des champs.
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Par exemple une particule se déplace de (x1,t1) à (x2,t2) se dira que la particule est détruite en x1 et crée en x2. autrement dit il s'agit d'un élément de matrice non diagonal en représentation {r} Dans les salon on dira qu'il s'agit d'un propagateur de Feymann

[Chip]

Comme je l'ai indiqué dans mon premier fil les opérateurs annhilation et création ne sont pas liés a la creation de particules. Ils representent des éléments de matrice, même en théorie quantique des champs

Si tu veux... mais mon message s'adressait à Lévesque dont le problème de compréhension n'a vraisemblablement rien à voir avec cet aspect (d'ailleurs dans ce que tu cites je n'ai pas employé le terme "particule", mais "excitation élémentaire", alors bon, on va pas chipoter pour rien...)

[mariposa]

Si tu veux... mais mon message s'adressait à Lévesque dont le problème de compréhension n'a vraisemblablement rien à voir avec cet aspect (d'ailleurs dans ce que tu cites je n'ai pas employé le terme "particule", mais "excitation élémentaire", alors bon, on va pas chipoter pour rien...)

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J'ai écrit ça non pas pour te contredire mais t'appuyer en mettant en garde sur certaines erreurs souvent commises.
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Pour ce qui concerne Lévesque, c'est vrai, comme beaucoup d'autres, il confond des choses différentes. La solution c'est prendre un cas de figure concret ou il n'y a qu'un seul mode et là tout doit s'éclaircir.

[Lévesque]

Pour ceux qui s'intéresse au sujet, voici un extrait (pas parfaitement fidèle, si stupidités il y a elle sont surement de moi) des notes de Bel:

Étant donné l'équation de Schrödinger , supposons possible d'en trouver des solutions particulières dont la dépendance temporelle soit tout simplement exponentielle: . On a alors

.

Étant donné n'importe quel état propre de l'énergie, les opérateurs et permettent immédiatement d'en construire d'autres. On a que

,

d'où :

.

Si est un état propre de l'énergie avec la valeur propre E, alors et sont des états propres avec les valeurs propres respectivement.

Supposons qu'existe une valeur propre minimale de l'énergie, dont le vecteur correspondant est . On a alors

pour tout . On appelle le vide.

Ensuite, on peut construire les états

par l'application d'un nombre quelconque d'opérateurs sur le vide, qui sont des états propres de l'énergie avec des valeurs propres .

On interprète l'état résultant de l'application de sur le vide comme un état à une particule d'impulsion k. De même, appliquer N fois sur le vide donne un état qui est interprété comme un état à N particules, chacune ayant une impulsion , .

Il pourra toujours être utile pour la suite de la discussion.

Simon