Opérateurs de création et d'anihilation en théorie quantique des champs ??

[invite8ef93ceb]

Je continue seulement parce que je suis très intéressé de comprendre, je néglige mon étude pour les exams là!

Donc un mode c'est une solution (parmi d'autres) d'une équation aux dérivées partielles

Alors, si je comprends bien, chaque solution de l'équation de Schrödinger est un mode?

Si j'ai un système décrit par une solution propre de l'énergie avec valeur propre , alors je peux dire qu'il est dans un mode donné, que j'appelle m1?

Si j'ai un système décrit par une solution propre de l'énergie avec valeur propre , alors je peux dire que le système est dans un mode donné m2?

Si j'ai un état , et que suite à l'application de l'opérateur de création, je passe à un état , alors avant l'application de l'opérateur l'état est dans le mode m1, tandis qu'après l'application il est dans le mode m2?

Pour faire tout simple, et dire ces trois derniers paragraphes en une phrase, pourrais-je dire

Mathématiquement, l'opérateur de création fait passer un oscillateur harmonique d'un mode donné à un mode supérieur[?]

Par contre, je sais maintenant que je ne peux pas dire

Faisant l'analogie "particule" -> "mode d'excitation d'un champ"

c'était, très humblement, une erreur de language de ma part.
Y a-t-il autres chose que je n'ai pas compris? Chip, je ne comprends toujours pas ce que tu voulais dire par

[l'opérateur de création] le fait passer à son niveau d'énergie supérieur, on ne peut pas dire que cela "change son mode d'oscillation

Dans mes demandes d'explication, j'ai fait plusieurs erreurs, désolé. Si j'appelle un "mode" une solution donné de l'équation de Schrödinger, tu retires ta remarque?


Salutations, et merci, aussi à mariposa pour sa contribution.

Simon
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[Makalu]

Bonjour,

Alors, si je comprends bien, chaque solution de l'équation de Schrödinger est un mode?

Non pas exactement. Comme l'équation de Schrödinger est linéaire, cela veut dire que si et sont des solutions alors n'importe quelle combinaison linéaire de et sera aussi une solution.

Pour un problème donné, il existe un (ou plusieurs) ensemble de fonctions qui sont chacunes solutions de l'équation de Schrödinger et qui forment une base de l'espace des états (en fait on le postule plus ou moins). Autrement dit n'importe quelle solution de l'équation peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces fonctions de bases. Mathématiquement cela revient à diagonaliser la matrice de l'Hamiltonien.

Chaque fonction de base est appelé un mode propre. Un état quelconque du système correspond en général à une superposition de ces modes propres. L'énergie associée est alors simplement la somme des énergies des modes propres.

[Makalu]

Bonjour,

En physique du solide on utilise ce langage bien que le nombre de particules soit constant.

J'imagine que tu penses aux électrons? Mais même dans ce cas il est parfois commode de ne pas fixer le nombre de particules, comme par exemple dans la théorie BCS de la supraconductivité.

[invite8ef93ceb]

Décidemment, le mot mode est à la mode (mode normaux, mode d'oscillation, mode propre etc.. etc..)

Ça confuse...

[invite0bbfd30c]

Je continue seulement parce que je suis très intéressé de comprendre, je néglige mon étude pour les exams là!

Retourne travailler!!

Alors, si je comprends bien, chaque solution de l'équation de Schrödinger est un mode?

(tu veux dire de l'équation de Schrödinger indépendante de temps j'imagine) Non, pas exactement, à un mode correspond une famille de solutions stationnaires (selon le nombre d'excitations peuplant le mode - ceci dit il n'y a bien sûr pas que ces états nombres qui sont possibles) puisqu'il est décrit par un hamiltonien semblable à celui d'un oscillateur harmonique (qui a une infinité d'états propres d'énergies régulièrement espacées). Regarde le message de Mariposa...

Si j'ai un état , et que suite à l'application de l'opérateur de création, je passe à un état , alors avant l'application de l'opérateur l'état est dans le mode m1, tandis qu'après l'application il est dans le mode m2?

Non, tu ne peux pas faire passer une particule (ou excitation) d'un mode à un autre juste avec l'opérateur de création correspondant à ton mode d'"arrivée", il faut aussi utiliser l'opérateur d'annihilation du mode de départ...

pourrais-je dire : Mathématiquement, l'opérateur de création fait passer un oscillateur harmonique d'un mode donné à un mode supérieur[?]

non : il te fait passer au niveau immédiatement supérieur (à supposer que tu es dans un niveau bien déterminé au départ et non dans une superposition). Ca n'a pas de sens de dire "changer de mode" lorsque tu considères un unique oscillateur harmonique! Lorsque tu as différents modes, ils sont décrits par des oscillateurs harmoniques indépendants.

[invite8ef93ceb]

Ca n'a pas de sens de dire "changer de mode" lorsque tu considères un unique oscillateur harmonique!

La confusion vient sans doute du fait que tu as en tête les fonctions d'onde des différents niveaux d'un oscillateur harmonique, qui ont aussi des ventres et des noeuds...

Je pense que je ne comprends pas ce que veux dire "mode". Je ne l'utilise plus jamais tant que j'ai pas compris.

Remarque que les énergies des quanta d'excitation des différents modes (ou, classiquement, les fréquences des modes tout simplement) peuvent avoir des valeurs non régulièrement espacées... dans ce cas tu ne peux pas faire cette erreur!

En gros, un oscillateur harmonique a des niveaux d'énergies espacés régulièrement, tandis qu'un mode de vibration (d'un champ?, ou d'un crystal?) peut avoir des valeurs non régulièrement espacés?

Un mode, c'est absolument une superposition d'oscillateurs harmonique?

Ce qui m'empêche de comprendre, je crois, c'est que pour moi, un oscillateur harmonique, lorsqu'il est dans un niveau donné, vibre à une certaine fréquence. Je sais pas pourquoi j'ai envie d'appeler ça "mode". Ensuite, s'il change de niveau d'énergie, mon cerveau me fait croire qu'alors cet oscillateur harmonique change de mode.

Dernière petite question: Si un oscillateur harmonique change de niveau d'énergie, on peut interpréter comme l'absorption ou l'émission d'une particule? (dans ce cas, seulement un niveau d'énergie est changé sur seulement un oscillateur.)

Mais aussi, si j'ai un système traité comme une collection d'oscillateurs, je change quoi (quelle quantité physique) "à ce système tout entier" si je change le niveau d'énergie d'UN seul oscillateur?

Est-ce que cela a du sens de demander si on peut ajouter "un oscillateur tout entier" au système déjà considéré comme une collection d'oscillateurs?

Merci encore, je retourne étudier!

Simon

[invite7399a8aa]

Bonjour,

Equation (1) Quatrième Publication

(1)

Equation (3) Quatrième publication
(3)

Ceci est je crois l’équation d’un oscillateur harmonique.
Que l’on peut je crois encore écrire de la façon suivante :



Que l’on pourra toujours mettre en relation avec l’équation de l’oscillateur harmonique lié aux opérateurs de création et d’anihilation de la théorie quantique des champs.

On peut éliminer E entre (1) et (3) après dérivation et l’on obtient l’équation suivante, que nous écrivons symboliquement mais dont le sens est parfaitement clair :

(4)

On peut également écrire (4) comme suit :



Et on découvre que les choses sont extrêmement claire, E. Schrödinger a mis à notre disposition une boite vide dans laquelle on peut insérer une particule de masse m. Il nous impose même l’endroit ou il faut la mettre c.a.d. ici ,afin que ce terme prenne également la dimension d’une pulsation. Puisque n’a pas la dimension d’une pulsation, alors que est bien une pulsation. En clair, on localise dans l’espace un oscillateur harmonique 3D et rien d’autre.


Cordialement

Ludwig

PS j'allais dire une densité d'oscillations

[inviteb836950d]

Je pense que je ne comprends pas ce que veux dire "mode". Je ne l'utilise plus jamais tant que j'ai pas compris.
En gros, un oscillateur harmonique a des niveaux d'énergies espacés régulièrement, tandis qu'un mode de vibration (d'un champ?, ou d'un crystal?) peut avoir des valeurs non régulièrement espacés?

Un mode, c'est absolument une superposition d'oscillateurs harmonique?

Si ça peut aider à la discussion : en vibration moléculaire un mode est UN oscillateur harmonique dont la variable est une coordonnée normale. Réciproquement, à une coordonnée normale correspond un oscillateur donc un mode.
Il existe toutefois une petite exception : si deux ou plus oscillateurs sont dégénérés on parlera d’UN mode dégénéré de dimension 2 ou 3 par exemple, peut être est-ce un abus de langage ?
Maintenant un mode peut donc avoir une fréquence fondamentale et autant d’harmoniques que l’on veut (dans l’approximation harmonique bien sûr).

Dernière petite question: Si un oscillateur harmonique change de niveau d'énergie, on peut interpréter comme l'absorption ou l'émission d'une particule? (dans ce cas, seulement un niveau d'énergie est changé sur seulement un oscillateur.)

oui...

Mais aussi, si j'ai un système traité comme une collection d'oscillateurs, je change quoi (quelle quantité physique) "à ce système tout entier" si je change le niveau d'énergie d'UN seul oscillateur?

Par exemple l'amplitude d'un oscillateur...

Est-ce que cela a du sens de demander si on peut ajouter "un oscillateur tout entier" au système déjà considéré comme une collection d'oscillateurs?

D'après moi non.
Cordialement

[invite7399a8aa]

Bonjour

Dernière petite question: Si un oscillateur harmonique change de niveau d'énergie, on peut interpréter comme l'absorption ou l'émission d'une particule? (dans ce cas, seulement un niveau d'énergie est changé sur seulement un oscillateur.)

Réponse

Par exemple l'amplitude d'un oscillateur...

En fait, Lévesque pose la vraie question.


En vertu de la relation suivante, on ne peut pas considérer un changement d’amplitude, mais bel et bien un changement de pulsation.
S’il y a absorption, on se trouve localement dans une situation « générateur » par rapport à l’environnement. Cette variation de pulsation ne peut pas faire autre chose que « diffuser » vers cet environnement afin de chercher à recréer l’équilibre.

Ceci me fait rappeler au passage qu’au travers de l’oscillateur harmonique nous ne décrivons qu’un régime stationnaire idéal, pas de générateur, pas de récepteur, rien qui circule, or dans la réalité c’est tout sauf ça.

Cordialement

Ludwig

[invite8ef93ceb]

Petite erreur je crois Ludwig, ma question et la réponse de philou21 ne vont pas ensemble... c'est possible?


Salut!

[invite7399a8aa]

Petite erreur je crois Ludwig, ma question et la réponse de philou21 ne vont pas ensemble... c'est possible?


Salut!

J’ai essayé de comprendre ce que voulait dire Philou21, par le mot amplitude. Je dois avouer que je ne vois pas bien.

En spéculant, voici ce qui m’est venu à l’esprit.
On pourrait imaginer qu’un jet de photons par exemple, de longueur d’onde strictement identique, puisse être regroupé et représenté par un seul photon que je nommerais un équivalent photon de longueur d’onde identique avec comme amplitude la somme des amplitudes des composants. A l’arrivée, ce photon équivalent serai à nouveau divisé en ses composants élémentaires afin que ceux puissent interagir selon le schéma standard.
Dans ces conditions on pourrait parler d’amplitude, celle-ci permettrait également de donner l’image d’un courant qui, par définition représente une quantité qui circule. Dans ces conditions, on retrouverait une loi d’Ohm généralisée, parfaitement connue dans le monde macroscopique.
Evidement tout ceci n’est que pure spéculation de ma part. Néanmoins, je crois avoir lu chez Louis de Broglie une vision tout à fait analogue à celle que je viens de citer.

Cordialement

Ludwig

[invite7399a8aa]

Suite du post #37

Equation (1’) quatrième publication

(1’)

Pour éliminer le paramètre d’énergie de l’équation des ondes, il n’est nullement nécessaire de la transformer en une équation du quatrième ordre. Pour que (1’) soit valable devrai dépendre du temps suivant la loi (3) qu’on peut écrire tout aussi bien, si l’on veut, sous la forme :

(3’)

(4’’)

« Nous admettrons que la fonction d’onde complexe psi doit satisfaire à l’une de ces deux équations. »

Je suppose que tout le monde à bien lu. Il n’a jamais été question d’abandonner une des deux solutions complexes conjuguée possible au profit de l'autre.
Surtout pas si par après on traine dans toute la théorie la fonction psi et son complexe conjugué, le Hamiltonien et son complexe conjugué, etc.… etc.…

Cordialement,

Ludwig