Problème de MQ

[Olorin]

Bonjour tout le monde !

Voilà , je n'arrive pas a répondre à une question posée dans un sujet de mécanique quantique :

On donne le hamiltonien H d'un système dont la matrice le représentant est :

E ; E.Sqrt(3) ; 0
E.Sqrt(3) ; - E ; 0
0 ; 0 ; 2E

On a donc : H |1> = E |1> + E.Sqrt(3) |2>
H |2> = E.Sqrt(3) |1> - E|2>
H|3> = 2E|3>

La question est : Déterminer les états stationnaires du systèmes que l'on notera {| u i > } et donner leur développements normalisé sur les états de base { |i > } où i = 1,2,3

Merci d'avance pour toute aide éventuelle !
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[invite8c514936]

Il faut que tu trouves les états propres de H, c'est-à-dire la combinaison des états de base qui sont inchangés (à un facyeur multiplicatif près) par action de H. Pour ça, il faut diagonaliser la matrice de H, ce qui se fait quasiment de tête dans le cas que tu présentes.

J'imagine que tu as eu un cours là-dessus si tu fais cet exo, ça m'étonnerait très fort qu'une réponse plus détaillée n'y figure pas !

[invitebc0573e9]

Salut!!
Bon j'ai essayer de faire des calculs (j'ai du ressortir mon cerveau que j'avais planqué sous mon bureau pour les vacances! )
Donc je crois que les vap sont 2E (avec (0,0,1)et (1,sqrt(3),0) comme vep) et -2E avec (-sqrt(3),1,0)comme vecteur propre.
Bon ben ensuite tu résoud l'équation de Schrödinger avec la méthode de séparation des variables...
Je continuerai l'exo si personne l'a fini entretemps!
Ce fût un plaisir!

[Olorin]

Tout d'abord , merci pour vos réponses .

J'arrive a retrouver les valeurs propres de l 'opérateur H , mais pas les vecteurs propres , je me suis peut etre tromper de méthode , voilà comment je ferai :

det ( H - vap.I ) = 0
ce qui conduit a : ( 2E - vap ) ( vap^2 - 4E^2 ) = 0

donc on a bien vap = +/- 2E

mais je n'arrive pas a retrouver formellement les vep , quels sont les étapes détaillés du raisonement et des calculs ??
Merci beaucoup !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c514936]

Pour chaque valeur propre a, tu écris que Hv=a.v, ce qui te donne un système (singulier) de trois équations à trois inconnues pour les coordonnées x, y et z de v. Tu peux exprimer x et y en fonction de z, par exemple, et donc tu as v comme z fois un vecteur, qui est un vecteur propre. Il faut ensuite le normer proprement.

[Olorin]

Ouais , je connaissais cette méthode Deep , mais j'ai été surpris de découvrir des solutions arbitraires pour certaines composantes . Par exemple pour la valeur propre + 2E , on doit résoudre :

-E ; E.Sqrt(3) ; 0

E.Sqrt(3) ; - 3E ; 0

0 ; 0 ; 0

que l'on multiplie par le vecteur colonne

x1
y1
z1


Ce qui donne :

-E .x1 + E.Sqrt(3).y1 = 0

E.Sqrt(3). x1 - 3E.y2 = 0

et z1 peut être quelconque , son choix est arbitraire

donc x1 = Sqrt(3) . y1 et z1 quelconque . Est ce que le fait d'avoir un choix arbitraire pour l'une des composantes signifie qu'il existe des niveaux de dégenerescence pour l'énergie 2E ?

Parce que on peut choisir |u2E,1>= ( x1 = 0 , y1 = 0 , z1 = 1 ) comme état propre normé de la valeur propre 2 E ou bien par exemple
| u2E,2> = ( Sqrt(3) / 2 , 1/2 , 0 ) qui est aussi un état propre normé . Le degré de dégenerescence serait donc ici égal à deux .

pour la vap -2E je trouve l'état propre ,normé
|u(-2E) > = ( 1/2 , - Sqrt(3)/2 , 0 )

les valeurs propres +/- 2E sont elles les 2 seules valeurs possibles que peut prendre l'énergie ? Si oui , quelle est la probabilité de mesurer chacune d' entre elle ( sachant que la valeur 2 E est dégeneréé ) ?

Merci !!

[Olorin]

ah oui , j' oubliai , j'ai une autre tite question :

comment diagonaliser proprement l'opérateur H pour faire apparaitre ses valeurs propres dans son expression matricielle ?

[invite8c514936]

Ouais , je connaissais cette méthode Deep , mais j'ai été surpris de découvrir des solutions arbitraires pour certaines composantes .

Il ne faut pas être surpris, c'est forcément le cas. La valeur propre est précisément la valeur qui va rendre indéterminé le système d'équations. D'ailleurs ce n'était pas le cas, tu aurais un système linéaire de 3 équations à trois inconnues sans second membre, la seule solution serait x=y=z=0 !

Or donc, tu trouves que z est arbitraire, et tu trouve que x=az et y=bz où a et b sont des nombres. Ca veut dire que le vecteur (x,y,z) est égal à z fois le vecteur (a,b,1). Ce n'est pas étonnant : si (a,b,1) est vecteur propre, alors un vecteur obtenu en le multipliant par un nombre arbitraire l'est aussi. L'arbitraire multiplicatif, tu le retrouves dans le fait que z peut être quelconque.

[Olorin]

Ok , merci !

La suite du problème est plus intérressante :

On considère qu'a l'instant t= 0 , le système est dans l'état :

|Psi0 > = 1/2 ( |1> + i.Sqrt(2) |2> - |3> )

on mesure simultanement les grandeurs physiques associés à H et à A , A étant l'opérateur representé par :

a , 0 , 0
0 , a , 0
0 , 0 , -a

Quels sont les résultats possibles de cette mesure ? Quelles sont les probas associées à chacun des résultats ?

je sais que si le commutateur [A,H] est nul , alors A et H forment un ensemble complet d'observables qui commutent , on peut construire une base orthonormée constituée de vecteurs propres communs à A et à H , donc il est bien possible de mesurer simultanément les deux grandeurs , mais je ne sais pas retrouver les états possibles ni leur probabilités dans le cadre de cet exercice .....

A l' aide !

[invite8c514936]

Juste pour cibler un peu le tir, tu as eu un cours sur tout ça ? Parce que si c'est le cas, c'est en général ce qui est raconté dans la première heure...

[Olorin]

C'est des sujets d'exams dont je n'ai pas la correction et où je rencontre quelques difficultés , et c 'est pour cela que je demande un peu d'aide sur des points que je ne maitrise pas totalement , pour être bien sur que ma demarche soit la bonne.

[invite8c514936]

Ben excuse-moi d'insister, mais tu l'as vu en cours ou pas ? C'est un exam de quel niveau ? Et toi tu as quel niveau ?

[Olorin]

Bon , c'est pas grave , je vais essayer de me debrouiller , mais merci beaucoup quand meme pour ton aide !

[invite8c514936]

J'ai un peu du mal à comprendre ce qui se passe, là... J'espère que tu ne prends pas mal le fait que je te demande ton niveau, c'est juste que ça permet de cibler celui de la réponse...

[Olorin]

Salut !

J'ai poursuivi l'exo et je me demande si j'ai bon :

L' opérateur H diagonalisé vaut :

2E , 0 , 0
0 , 2E , 0
0 , 0 , -2E

la base formée des vecteurs propres de H est aussi la base des vecteurs propres de A : on a donc formée une base des vecteurs propres communs a H et à A dans l'espace des états . Si l'on veut mesurer simultanément les grandeurs associées a A et à H , on doit considerer l'action de AH sur le ket d'état |Psi0> , ce qui donne :

AH |Psi0> = HA |Psi0 > ( puisque A et H commutent )

donc si |Psi0> = 1/2 ( |1> + i.Sqrt(2).|2> - |3> )

Or AH n'a qu'une valeur propre , à savoir 2Ea , donc on doit mesurer 2Ea avec certitude . Est ce la bonne réponse ?