6 questions sur la théorie quantique des champs

[emynoduesp]

j'ai quelques questions sur la théorie quantique des champs (TQC). Pour situer le contexte, je ne suis pas physicien mais j'ai eu des cours de mécanique quantique (il y a 15 ans!), et j'aimerais avoir plus de détails sur la TQC que ce qu'on peut lire dans les ouvrages de vulgarisation. Comme je m'intéresse plus aux principes fondamentaux et à la "justification" de la théorie qu'aux détails des équations, j'ai (tout juste) commencé à étudier le tome 1 de Weinberg (j'avais apprécié son livre sur la relativité générale)

1) je pensais au début qu'un champ, associant un opérateur et non plus un nombre à chaque point de l'espace-temps, était une généralisation d'une fonction d'onde pour les systèmes à plusieurs particules, et donc qu'un champ caractérisait *l'état* d'un système (à cause d'expressions du type "les états d'excitation d'un champ", "un champ peut être vu comme une collection de particules", etc). J'imaginais donc qu'un champ pouvait prendre plein de valeurs différentes, qu'on pouvait calculer à partir d'un champ une probabilité de présence, que les équations de champ généralisaient l'équation de Schrodinger, etc. D'après ma compréhension actuelle un champ n'est pas un état mais une densité d'opérateur de création/annihilation, et d'ailleurs les contraintes d'invariance de Lorentz de cette densité font qu'il n'existe que quelques champs seulement, parfaitement déterminés en tout point de l'espace-temps (Weinberg, Ch. 5). C'est correct?

2) la confusion venait peut-être du fait que les états peuvent aussi s'exprimer avec des opérateurs de création, appliqués à l'état du vide. L'espace des états est un "espace de Fock" construit à partir d'états à une particule. Ces états à une particule peuvent se décomposer sur une base d'états propres de l'opérateur impulsion P, et l'opérateur de création pour une impulsion p transforme l'état du vide en l'état propre de P de valeur propre p. J'ai l'impression que ca revient exactement au même qu'une (transformée de Fourier d'une) fonction d'onde. Est-ce exact?

3) l'intrication quantique conduit à des corrélations de résultats de mesure, même à grande distance, vérifiées expérimentalement. N'est ce pas en contradiction avec le "cluster decomposition principle" utilisé par Weinberg, qui ne serait donc pas "universel"? Ou bien ce problème n'intervient pas car la matrice S ne relie que des états 'in' et 'out' non intriqués?

4) que devient le problème de la mesure en TQC? J'ai l'impression qu'il se complique sérieusement, même sans parler des problèmes "philosophiques", comme par exemple de faire la différence entre observé et observateur dans une théorie censé décrire toutes les particules et leurs interactions. Par exemple, comment définir que la mesure se fait dans une certaine région de l'espace à un instant donné, et qu'elle va donc agir sur les particules dans cette zone, et non pas sur toutes les autres particules décrites dans l'état considéré?

5) le principe d'exclusion de Pauli m'a toujours paru mal défini en mécanique quantique, parce que je ne sais pas trop de quel état on parle quand on dit que 2 particules ne peuvent se trouver dans le même état (par exemple cet état doit distinguer l'atome dans lequel se trouve un électron pour justifier que le principe s'applique à 2 électrons d'un même atome, mais pas à 2 électrons dans 2 atomes différents). J'ai du mal à voir ce qu'il en est en TQC car je ne comprends pas comment sont représentés les états liés (cf question suivante)

6) si je comprend bien, une théorie TQC spécifique, comme le modèle standard, est la donnée d'un certain nombre de champs correspondants à différents types de particules élémentaires, ainsi que d'une interaction construite à partir de ces champs. Mais est-ce qu'une telle théorie est suffisante pour décrire aussi les états liés correspondants à des liaisons entre ces particules, en particulier les atomes? Ou bien est-ce qu'il faut ajouter à la théorie des champs spécifiques pour chaque assemblage possible de particules élémentaires? Par exemple, est-ce qu'il faut un champ spécifique pour les atomes d'hydrogène? Sinon, est-ce que la théorie prédit, au moins en principe, les propriétés des états liés, comme par exemple le défaut de masse d'un noyau atomique, ou la probabilité d'obtenir un atome d'hydrogène dans une collision proton-électron (en supposant protons et neutrons comme élémentaires)? et comment sont représentés les états liés dans l'espace de Hilbert en terme d'états de particules élémentaires?
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[Pyrrhon d'Élis]

Salut,

avant tout, un conseil de lecture :

http://www.amazon.com/Interpretive-I.../dp/0691016275

cela demande moins de courage que de s'attaquer au Weinberg directement

1) je pensais au début qu'un champ, associant un opérateur et non plus un nombre à chaque point de l'espace-temps, était une généralisation d'une fonction d'onde pour les systèmes à plusieurs particules, et donc qu'un champ caractérisait *l'état* d'un système

en fait, on a tendance à ne pas distinguer "seconde quantification" et "quantification d'un champs". Ta phrase décrit plûtot l'esprit de la "seconde quantification". Bien que mathématiquement c'est équivalent, on peut dire que la seconde quantification consiste à partir d'une "ontologie particulaire" (c'est à dire, le système physique que j'étudie est un ensemble de particules identiques), d'appliquer une première quantification (q et p deviennent des opérateurs, on pose l'équation d'onde de Schrodinger) puis d'opérer une seconde quantification (psi et son moment conjugué deviennent des opérateurs). On peut parler dans ce cas de "généralisation".

Au contraire, la quantification d'un champ consiste à partir d'une ontologie de champs, auxquels on applique directement les procédés de quantification (les amplitudes de champs et leur moment conjugué deviennent des opérateurs obéissant à des règles de commutations canoniques (ou anti-commutation pour les champs de Fermions). Il n'y a donc de ce point de vue pas de "seconde quantification" ; les particules se ramènent à des excitations du champs et sont donc des choses dérivées et non pas premières.

J'imaginais donc qu'un champ pouvait prendre plein de valeurs différentes, qu'on pouvait calculer à partir d'un champ une probabilité de présence, que les équations de champ généralisaient l'équation de Schrodinger, etc. D'après ma compréhension actuelle un champ n'est pas un état mais une densité d'opérateur de création/annihilation, et d'ailleurs les contraintes d'invariance de Lorentz de cette densité font qu'il n'existe que quelques champs seulement, parfaitement déterminés en tout point de l'espace-temps (Weinberg, Ch. 5). C'est correct?

A partir du formalisme d'une théorie des champs, on peut toujours retrouver les calculs de la mécanique quantique ordinaire, dans le cas où l'on sait que les états accessibles du système se résument à des états dans lesquels il n'y a qu'une particule dont les valeurs d'énergies possibles sont très voisines de son énergie de masse (cas non relativiste).

2) la confusion venait peut-être du fait que les états peuvent aussi s'exprimer avec des opérateurs de création, appliqués à l'état du vide. L'espace des états est un "espace de Fock" construit à partir d'états à une particule. Ces états à une particule peuvent se décomposer sur une base d'états propres de l'opérateur impulsion P, et l'opérateur de création pour une impulsion p transforme l'état du vide en l'état propre de P de valeur propre p. J'ai l'impression que ca revient exactement au même qu'une (transformée de Fourier d'une) fonction d'onde. Est-ce exact?

Oui !

il y a les mêmes relations entre |x> et |p> qu'entre A⁺_x et A⁺_p. Dans le cas à une particule, l'espace de Hilbert engendré par les vecteurs A⁺_p|0> est équivalent à l'espace de Hilbert engendré par les vecteurs |p>

3) l'intrication quantique conduit à des corrélations de résultats de mesure, même à grande distance, vérifiées expérimentalement. N'est ce pas en contradiction avec le "cluster decomposition principle" utilisé par Weinberg, qui ne serait donc pas "universel"? Ou bien ce problème n'intervient pas car la matrice S ne relie que des états 'in' et 'out' non intriqués?

Désolé, je ne connais pas le "cluster decomposition principle" en question.

4) que devient le problème de la mesure en TQC? J'ai l'impression qu'il se complique sérieusement, même sans parler des problèmes "philosophiques", comme par exemple de faire la différence entre observé et observateur dans une théorie censé décrire toutes les particules et leurs interactions. Par exemple, comment définir que la mesure se fait dans une certaine région de l'espace à un instant donné, et qu'elle va donc agir sur les particules dans cette zone, et non pas sur toutes les autres particules décrites dans l'état considéré?

Il est essentiellement le même. Dans tout les cas, il faut faire à un endroit ou à un autre une séparation conventionnelle entre le système observé et l'ensemble "appareillage de mesure + observateur). Cela (entre autres) fait par exemple dire à d'Espagnat que la mécanique quantique est une théorie à objectivité seulement faible, car elle donne dans l'énoncé même de ses principes une place fondamentale à l'observateur.

5) le principe d'exclusion de Pauli m'a toujours paru mal défini en mécanique quantique, parce que je ne sais pas trop de quel état on parle quand on dit que 2 particules ne peuvent se trouver dans le même état (par exemple cet état doit distinguer l'atome dans lequel se trouve un électron pour justifier que le principe s'applique à 2 électrons d'un même atome, mais pas à 2 électrons dans 2 atomes différents). J'ai du mal à voir ce qu'il en est en TQC car je ne comprends pas comment sont représentés les états liés (cf question suivante)

Quand tu écris l'équation de Schrodinger pour déterminer l'état d'un atome, tu l'écris pour un seul atome, donc, il n'y a pas d'ambiguïté. Lorsqu'il y a deux atomes, ta fonction d'onde totale est le produit tensoriel des deux fonctions d'ondes de chaque atome, disons |r>|k>. Si les atomes ont un spin total entier, alors l'état |r>|r> est possible ; s'ils ont un spin total demi-entier, alors c'est impossible. Précisions : r désigne non seulement l'état interne de l'atome (à quel niveau d'énergie se trouvent les électrons) mais également l'état "externe" (impulsion etc.).

Pour la TQC, le principe d'expulsion vient du fait que, dans le cas des fermions, les opérateurs N ont pour valeurs propres uniquement 0 et 1 (cela dérivant directement des règles d'anticommutations). Il n'y a donc tout simplement pas de vecteurs |2>, |3>, |4> qui soient engendrées par les opérateurs de création de Fermion.

6) si je comprend bien, une théorie TQC spécifique, comme le modèle standard, est la donnée d'un certain nombre de champs correspondants à différents types de particules élémentaires, ainsi que d'une interaction construite à partir de ces champs. Mais est-ce qu'une telle théorie est suffisante pour décrire aussi les états liés correspondants à des liaisons entre ces particules, en particulier les atomes? Ou bien est-ce qu'il faut ajouter à la théorie des champs spécifiques pour chaque assemblage possible de particules élémentaires? Par exemple, est-ce qu'il faut un champ spécifique pour les atomes d'hydrogène? Sinon, est-ce que la théorie prédit, au moins en principe, les propriétés des états liés, comme par exemple le défaut de masse d'un noyau atomique, ou la probabilité d'obtenir un atome d'hydrogène dans une collision proton-électron (en supposant protons et neutrons comme élémentaires)? et comment sont représentés les états liés dans l'espace de Hilbert en terme d'états de particules élémentaires?

La représentation en terme d'espace de Fock n'est pas du tout adapté à la représentation d'états liés, mais je pense qu'on doit bien pouvoir en principe justifier les calculs de la mécanique quantique traditionnelle appliquées à ce genre de systèmes à partir de la TQC.

[emynoduesp]

Salut,

avant tout, un conseil de lecture :

http://www.amazon.com/Interpretive-I.../dp/0691016275

cela demande moins de courage que de s'attaquer au Weinberg directement

merci pour cette réponse rapide et pour le conseil!

en fait, on a tendance à ne pas distinguer "seconde quantification" et "quantification d'un champs". Ta phrase décrit plûtot l'esprit de la "seconde quantification". Bien que mathématiquement c'est équivalent, on peut dire que la seconde quantification consiste à partir d'une "ontologie particulaire" (c'est à dire, le système physique que j'étudie est un ensemble de particules identiques), d'appliquer une première quantification (q et p deviennent des opérateurs, on pose l'équation d'onde de Schrodinger) puis d'opérer une seconde quantification (psi et son moment conjugué deviennent des opérateurs). On peut parler dans ce cas de "généralisation".

la fonction d'onde psi devient un opérateur? pourtant d'après ma question 2) j'avais l'impression que les fonctions d'ondes restaient valables en TQC

Au contraire, la quantification d'un champ consiste à partir d'une ontologie de champs, auxquels on applique directement les procédés de quantification (les amplitudes de champs et leur moment conjugué deviennent des opérateurs obéissant à des règles de commutations canoniques (ou anti-commutation pour les champs de Fermions). Il n'y a donc de ce point de vue pas de "seconde quantification" ; les particules se ramènent à des excitations du champs et sont donc des choses dérivées et non pas premières.

j'ai l'impression que mon problème vient en partie du vocabulaire, c'est à dire qu'on continue d'appeler "champ" l'opérateur obtenu par quantification des "amplitudes de champ" (je dis "on" mais je ne sais pas si c'est général - en tout cas Weinberg utilise clairement le mot champ uniquement dans le sens "opérateur"). On devrait donc en toute rigueur distinguer champ et "opérateur de champ", de même qu'on distingue bien "impulsion" et "opérateur d'impulsion"?

Si je reformule ma question, je pensais au début à "champ" dans le premier sens (pouvant avoir une amplitude arbitraire en chaque point), puis j'ai cru me tromper, que le vrai sens était en fait "l'opérateur de champ" (qui lui est déterminé de façon unique en chaque point). La solution serait que les 2 sens sont vrais, le même mot désignant les 2 selon le contexte?

Un "champ" en tant qu'état ne serait alors qu'un autre mot pour désigner un état dans l'espace de Fock? Et une "excitation d'un champ", un état de la base de cet espace (base des états propres de P)? Du coup "l'opérateur de champ" agit sur un "champ", ce qui est plutôt "confusionnant" si on utilise le même mot pour les 2.

[Pyrrhon d'Élis]

merci pour cette réponse rapide et pour le conseil!

De rien. Le livre en question a l'avantage de ne pas être trop poussé au niveau des mathématiques (les mathématiques de base de la MQ suffisent) et se concentre vraiment sur la compréhension conceptuelle de la TQC

la fonction d'onde psi devient un opérateur? pourtant d'après ma question 2) j'avais l'impression que les fonctions d'ondes restaient valables en TQC

Pour être précis, le Ψ de Schrodinger (ou celui de Dirac) qui fait office de fonction d'onde en "mécanique ondulatoire à une particule" devient un opérateur (cela correspond à la procédure de seconde quantification). Après, ce qui fait office de "fonction d'onde" (dans le sens : représentation de l'état du système) devient les vecteurs de l'espace de Fock

j'ai l'impression que mon problème vient en partie du vocabulaire, c'est à dire qu'on continue d'appeler "champ" l'opérateur obtenu par quantification des "amplitudes de champ" (je dis "on" mais je ne sais pas si c'est général - en tout cas Weinberg utilise clairement le mot champ uniquement dans le sens "opérateur"). On devrait donc en toute rigueur distinguer champ et "opérateur de champ", de même qu'on distingue bien "impulsion" et "opérateur d'impulsion"?

Oui, en gros, de la même manière que la quantification d'un système de particules consiste à transformer les variables canoniques (q, p) en opérateurs (q_op, p_op) on transforme les amplitudes de champs φ(x) et leur moment conjugué π(x) en opérateur.
C'est facile à voir si on part de la formulation Lagrangienne ou Hamiltonienne d'une théorie classique : le procédé de quantification est analogue, qu'il s'agisse d'une théorie de particule ou une théorie de champs :
H(q,p) -> H_op(q_op , p_op) ; avec [q_op, p_op]=ih

H(φ(q,t), π(q,t) ) ->H_op(φ_op(q,t), π_op(q,t) ) ; [φ_op(q), π_op(q') ]=ihδ(q-q')

Si je reformule ma question, je pensais au début à "champ" dans le premier sens (pouvant avoir une amplitude arbitraire en chaque point), puis j'ai cru me tromper, que le vrai sens était en fait "l'opérateur de champ" (qui lui est déterminé de façon unique en chaque point). La solution serait que les 2 sens sont vrais, le même mot désignant les 2 selon le contexte?

Je pense que ce qui précède répond à la question : il s'agit d'un champs classique (une amplitude associée à chaque point de l'espace) qui se "transforme" en champ d'opérateur (un opérateur associé à chaque point de l'espace) après quantification

Un "champ" en tant qu'état ne serait alors qu'un autre mot pour désigner un état dans l'espace de Fock? Et une "excitation d'un champ", un état de la base de cet espace (base des états propres de P)? Du coup "l'opérateur de champ" agit sur un "champ", ce qui est plutôt "confusionnant" si on utilise le même mot pour les 2.

Heu... dit comme ça...

Remettons tout à plat :
-La fonction d'onde de Schrodinger Ψ(x), en mécanique quantique traditionnelle (ou plûtot en mécanique ondulatoire) a mathématiquement toutes les propriétés d'un champs, mais n'a pas le statut d'être une variable dynamique d'un système. Sa fonction est équivalente à celle d'un vecteur d'état. Il faut mieux donc éviter de parler de "champ" à son sujet, pour éviter toute confusion.
-Pour retomber sur la TQC, soit on "second-quantifie", soit, ce qui revient exactement au même, on réinterprète complètement le statut de la fonction d'onde Ψ(x) qui perd, dès lors, son statut de représentation de l'état du système pour acquérir le statut de variables dynamiques du système (de champs). Quant au rôle de représentation de l'état du système, il est joué par les vecteurs de l'espace de Fock (qui sont les vecteurs propres du Hamiltonien des champs libres, et qui sont engendrés par les applications successifs des opérateurs de créations sur l'état de vide [0>.

[A voir en vidéo sur Futura]

[emynoduesp]

Pour être précis, le Ψ de Schrodinger (ou celui de Dirac) qui fait office de fonction d'onde en "mécanique ondulatoire à une particule" devient un opérateur (cela correspond à la procédure de seconde quantification). Après, ce qui fait office de "fonction d'onde" (dans le sens : représentation de l'état du système) devient les vecteurs de l'espace de Fock

mais je ne vois toujours pas la différence, pour une seule particule, entre une représentation de son état par une fonction d'onde Ψ de Schrodinger ou par un vecteur de l'espace de Fock. Un vecteur de l'espace de Fock peut-être décrit par ses composantes dans la base des vecteurs propres de l'opérateur P, d'impulsion bien définie. Ψ associe une amplitude à chaque position, ou ce qui revient au même à chaque impulsion (par transformée de Fourier). On peut donc voir Ψ comme une somme de fonctions d'ondes propres de l'opérateur P, exactement comme un état de l'espace de Fock. Je me trompe?

D'où mon étonnement quand on dit que la fonction d'onde disparait et devient un opérateur. J'ai l'impression qu'elle est toujours là, avec le même rôle, mais sous un autre nom.

C'est facile à voir si on part de la formulation Lagrangienne ou Hamiltonienne d'une théorie classique : le procédé de quantification est analogue, qu'il s'agisse d'une théorie de particule ou une théorie de champs :
H(q,p) -> H_op(q_op , p_op) ; avec [q_op, p_op]=ih

H(φ(q,t), π(q,t) ) ->H_op(φ_op(q,t), π_op(q,t) ) ; [φ_op(q), π_op(q') ]=ihδ(q-q')

pour être précis: ma confusion venait du fait que pour moi, "champ" signifiait "fonction définie sur l'espace(-temps)" (que ce soit à valeurs réeles, complexes, vectorielles, de type opérateur, etc) et, implicitement, pouvant prendre des valeurs arbitraires en chaque point (i.e. ayant un nombre infini de degrés de liberté - modulo certaines contraintes éventuelles de régularité, d'intégrabilité, etc). Or Weinberg parle de "champ" pour les fonctions (à valeur de type opérateur) φ(x) qui sont combinées entre elles dans le Hamiltonien pour décrire les interactions, alors que ces fonctions n'ont aucun degré de liberté. Par exemple le φ(x) pour le "champ scalaire causal" est "essentiellement unique" et donné par (Weinberg, p 204):



d'où mon incompréhension quand on parle ensuite "d'état d'excitation du champ", "d'amplitude de champ", etc, toutes ces expressions supposant implicitement des degrés de liberté pour le champ. J'en déduit que dans ces expressions, on parle d'autres "champs" que les champs tels que celui défini par l'équation précédente.

-Pour retomber sur la TQC, soit on "second-quantifie", soit, ce qui revient exactement au même, on réinterprète complètement le statut de la fonction d'onde Ψ(x) qui perd, dès lors, son statut de représentation de l'état du système pour acquérir le statut de variables dynamiques du système (de champs). Quant au rôle de représentation de l'état du système, il est joué par les vecteurs de l'espace de Fock (qui sont les vecteurs propres du Hamiltonien des champs libres, et qui sont engendrés par les applications successifs des opérateurs de créations sur l'état de vide [0>.

même remarque qu'au début, j'ai l'impression que la fonction d'onde est toujours là, dans le même rôle, mais qu'elle a simplement changé de nom (ie "vecteur de l'espace de Fock")

[Pyrrhon d'Élis]

mais je ne vois toujours pas la différence, pour une seule particule, entre une représentation de son état par une fonction d'onde Ψ de Schrodinger ou par un vecteur de l'espace de Fock. Un vecteur de l'espace de Fock peut-être décrit par ses composantes dans la base des vecteurs propres de l'opérateur P, d'impulsion bien définie. Ψ associe une amplitude à chaque position, ou ce qui revient au même à chaque impulsion (par transformée de Fourier). On peut donc voir Ψ comme une somme de fonctions d'ondes propres de l'opérateur P, exactement comme un état de l'espace de Fock. Je me trompe?

Dans la représentation de Fock, l'équivalent de |p> est a(p)⁺|0>, l'équivalent de |x> est Ψ⁺_op(x)|0> ; donc s'il y a une seule particule ayant une impulsion p, on a sa fonction d'onde de Schrodinger qui sera :

Ψ(x)=<x|p>=<0|a Ψ⁺_op(x)|0>

Voilà donc le lien entre les deux "langages".

D'où mon étonnement quand on dit que la fonction d'onde disparait et devient un opérateur. J'ai l'impression qu'elle est toujours là, avec le même rôle, mais sous un autre nom.

Non,non : Ψ(x) devient un opérateur d'annihilation, détruisant une particule au point x. Pour retrouver le langage des amplitudes, il faut faire les produits scalaires entre vecteurs de l'espace de Fock (comme je t'ai montré ci-dessus).

pour être précis: ma confusion venait du fait que pour moi, "champ" signifiait "fonction définie sur l'espace(-temps)" (que ce soit à valeurs réeles, complexes, vectorielles, de type opérateur, etc) et, implicitement, pouvant prendre des valeurs arbitraires en chaque point

Un champ quantique est plûtot un "objet mathématique" définit en tout point de l'espace. Par contre, ce n'est pas une fonction, car un opérateur possède plusieurs vecteurs propres (cela n'a pas de sens de parler de valeurs déterminées pour un opérateur : c'est seulement lorsque l'on met dans une certaine représentation matricielle que l'on peut en tirer des valeurs ( <| Op(x)|> peut avoir une valeur définie maos pas Op tout seul)

(i.e. ayant un nombre infini de degrés de liberté - modulo certaines contraintes éventuelles de régularité, d'intégrabilité, etc). Or Weinberg parle de "champ" pour les fonctions (à valeur de type opérateur) φ(x) qui sont combinées entre elles dans le Hamiltonien pour décrire les interactions, alors que ces fonctions n'ont aucun degré de liberté. Par exemple le φ(x) pour le "champ scalaire causal" est "essentiellement unique" et donné par (Weinberg, p 204):



d'où mon incompréhension quand on parle ensuite "d'état d'excitation du champ", "d'amplitude de champ", etc, toutes ces expressions supposant implicitement des degrés de liberté pour le champ. J'en déduit que dans ces expressions, on parle d'autres "champs" que les champs tels que celui défini par l'équation précédente.

Ce qui précède répond déjà en partie à ta question. Lorsque l'on dit que le champ est excité, on se réfère au fait que l'état n'est pas représenté par le vecteur |0>. On peut également définir une amplitude de champ dans un certains état en écrivant sa valeur moyenne : par exemple, la valeur moyenne du champ dans le premier état d'excitation est <1|Ψ(x)|1> (qui sera égale à 0).


PS : plus tu me poses des questions et plus je pense que le livre que je t'ai indiqué est fait pour toi, car c'est vraiment le type de chose qui est y expliqué

[Pyrrhon d'Élis]

J'ai dû posté vite sans relire, du coup, j'ai écrit des conneries :

Ψ(x)=<x|p>=<0|a Ψ⁺_op(x)|0>

Voilà donc le lien entre les deux "langages".

N'importe quoi !

c'est Ψ(x)=<x|p>=<0|Ψ(x)_op(x)a⁺(p)|0>

(ce que j'ai écrit avant était juste).

Ce qui précède répond déjà en partie à ta question. Lorsque l'on dit que le champ est excité, on se réfère au fait que l'état n'est pas représenté par le vecteur |0>.

Je suis allé un peu vite.
En gros, on peut montrer que le Hamiltonien d'un champ libre peut se mettre sous la forme d'une somme (ou une intégrale) d'Hamiltonien d'oscillateurs harmoniques (chacun représentant chaque mode de Fourier du champs), dont les valeurs propres seront hv(n+1/2) ou v est la fréquence du mode. On parle d'excitation quand certains modes du champs ne sont pas dans leur état n=0 (en fait, si tu comprends ce que l'on entend par "excitation" pour un oscillateur harmonique, c'est exactement la même chose ici).

[Thwarn]

3) l'intrication quantique conduit à des corrélations de résultats de mesure, même à grande distance, vérifiées expérimentalement. N'est ce pas en contradiction avec le "cluster decomposition principle" utilisé par Weinberg, qui ne serait donc pas "universel"? Ou bien ce problème n'intervient pas car la matrice S ne relie que des états 'in' et 'out' non intriqués?

La matrice S doit etre vu comme un operateur d'évolution, qui ne s'interesse donc pas aux états que tu feras "entrer" dedans.
Ensuite, c'est en fonction des états que tu vas envoyer lors des experiences qui te feront voir ou non de l'intrication. Mais il est vrai qu'elle est rarement discuter en theorie des champs, soit qu'elle n'existe pas (theorie statistique classique), soit qu'elle soit négligeable (theorie statistique quantique, ou l'état est representé par une matrice densité grand canonique, dont toute l'intrication a disparu) ou qu'on ne s'y interesse pas vu la faible durée de vie des particules intriquées (dans ton accelerateur, les particules crées lors d'une collision sont intriqués de maniere spatiale et temporelle, mais une fois que tu as stoqué tes anti-protons, le sors (et la mesure) des neutrino, pions etc crées avec ne t'interesse pas. Cela est surement different pour la recherche de nouvelle particule, détectable par des correlation entre les detections. Mais les gens ne font certainement pas de mesure d'intrication comme en optique quantique, les systeme sont beaucoup trop sale pour ça).

6) si je comprend bien, une théorie TQC spécifique, comme le modèle standard, est la donnée d'un certain nombre de champs correspondants à différents types de particules élémentaires, ainsi que d'une interaction construite à partir de ces champs. Mais est-ce qu'une telle théorie est suffisante pour décrire aussi les états liés correspondants à des liaisons entre ces particules, en particulier les atomes? Ou bien est-ce qu'il faut ajouter à la théorie des champs spécifiques pour chaque assemblage possible de particules élémentaires? Par exemple, est-ce qu'il faut un champ spécifique pour les atomes d'hydrogène? Sinon, est-ce que la théorie prédit, au moins en principe, les propriétés des états liés, comme par exemple le défaut de masse d'un noyau atomique, ou la probabilité d'obtenir un atome d'hydrogène dans une collision proton-électron (en supposant protons et neutrons comme élémentaires)? et comment sont représentés les états liés dans l'espace de Hilbert en terme d'états de particules élémentaires?

La recherche des états liés est compliqué en TQC, disons qu'en tout cas, ce n'est pas le genre de calculs qui sortent tout cuit sans qu'on les cherches
Une des façons de les trouver est d'utiliser les poles des fonctions de correlations (voir aussi resolvante), meme si cela implique de savoir les calculer exactement, ou en tout cas, savoir ou chercher, et quelles approximations faire pour trouver les états liés.

Quand les gens calculent les corrections de QED sur l'atome d'hydrogene, c'est souvent avec des methodes mixtes en la TQC et la MQ.

Enfin, quand on s'interesse à la physique des états liés (atome ou pion, par exemple), on utilise des theories effectives (on utilisera des operateurs création d'atome, etc...). Un des buts est de chercher les coefficients (masses, interaction, ...) de ces theories effectives à partir des theories plus fondamental (QED ou QCD).

[emynoduesp]

PS : plus tu me poses des questions et plus je pense que le livre que je t'ai indiqué est fait pour toi, car c'est vraiment le type de chose qui est y expliqué

ca y est, je me suis procuré ce livre! Je l'ai juste parcouru pour l'instant, mais ce que j'ai lu confirme ce que je pensais: ce qu'on appelle "champ" en TQC n'a que peu à voir avec le sens classique du mot, mais le terme est parfois employé dans ce sens, ce qui introduit une certaine confusion.

Pour résumer ce que j'ai déjà dit dans les précédents messages, pour moi un champ au sens classique
a) est une fonction définie sur l'espace-temps (pour répondre à ta remarque, pour moi "fonction" a un sens très large, ses "valeurs" pouvant être n'importe quel objet mathématique, comme un vecteur ou un opérateur)
b) et ses valeurs en chaque point définissent l'état du système, qui peut être arbitraire (par exemple un champ éléctrique peut être quasiment quelconque, selon la configuration de charges qui lui donne naissance).

Un champ quantique est bien un champ au sens a) (avec "valeurs" de type opérateur), mais pas au sens b): il ne définit pas un état, et ses "valeurs" (des opérateurs) sont uniques (par exemple, il n'existe qu'un seul champ quantique scalaire comme je le disais plus haut).

Teller confirme bien cela au chapitre 5, et donne même une analogie (p 102): pour lui un champ quantique est plutôt l'analogue de la solution générale d'une équation de champ (qui permet de construire toutes les solutions - comme les fonctions de Green), que l'analogue d'une solution particuliaire résultant de conditions initiales et de conditions aux limites (par exemple une distribution de charges donnant un champ électrique spécifique). Ce qui "explique" pourquoi il n'y a qu'un seul champ scalaire par exemple (formule 4.49 p 79).

Ce qui précède répond déjà en partie à ta question. Lorsque l'on dit que le champ est excité, on se réfère au fait que l'état n'est pas représenté par le vecteur |0>. On peut également définir une amplitude de champ dans un certains état en écrivant sa valeur moyenne : par exemple, la valeur moyenne du champ dans le premier état d'excitation est <1|Ψ(x)|1> (qui sera égale à 0).

ceci illustre bien ce que je disais au début: puisqu'on appelle Ψ le champ, parler de "l'état du champ" (par exemple d'un "champ excité") impliquait pour moi qu'on parle de l'état de Ψ, autrement dit que Ψ était un champ au sens b), pouvant avoir plusieurs configurations, plusieurs états possibles. Mais c'est faux, il n'y a qu'un seul "champ" et "l'état" du champ Ψ est en fait un objet séparé de Ψ, en fait un vecteur de l'espace de Fock (ce qui apparait clairement dans ta remarque). D'où les confusions qui peuvent se produire, mentionnées par Teller p 103, et qui sont exactement celles que j'ai eu. Et finalement, pour moi, le mot "champ", au sens le plus important pour moi d'état, serait plus approprié pour désigner les vecteurs de l'espace de Fock que pour désigner Ψ.

Dans la représentation de Fock, l'équivalent de |p> est a(p)⁺|0>, l'équivalent de |x> est Ψ⁺_op(x)|0> ; donc s'il y a une seule particule ayant une impulsion p, on a sa fonction d'onde de Schrodinger

cette correspondance ne fait que confirmer que, selon moi, un état de l'espace de Fock à une particule n'est autre qu'une fonction d'onde.

[Thwarn]

Teller confirme bien cela au chapitre 5, et donne même une analogie (p 102): pour lui un champ quantique est plutôt l'analogue de la solution générale d'une équation de champ (qui permet de construire toutes les solutions - comme les fonctions de Green), que l'analogue d'une solution particuliaire résultant de conditions initiales et de conditions aux limites (par exemple une distribution de charges donnant un champ électrique spécifique). Ce qui "explique" pourquoi il n'y a qu'un seul champ scalaire par exemple (formule 4.49 p 79).

Il faut quand meme nuancé ces propos, car dans la variante integrale de chemin de la TQC, les champs ne sont plus des operateurs (au pire, des grassman si on a à faire à des fermions), et on integre sur toutes les configurations des champs, sans que l'on sache tres bien ce qu'une configuration donnée représente.

cette correspondance ne fait que confirmer que, selon moi, un état de l'espace de Fock à une particule n'est autre qu'une fonction d'onde.

Oui, une fonction d'onde n'est que l'etat |Ψ> ecrit dans la base des |r>, c'est les composantes du vecteur.

[Pyrrhon d'Élis]

Pour résumer ce que j'ai déjà dit dans les précédents messages, pour moi un champ au sens classique
a) est une fonction définie sur l'espace-temps (pour répondre à ta remarque, pour moi "fonction" a un sens très large, ses "valeurs" pouvant être n'importe quel objet mathématique, comme un vecteur ou un opérateur)
b) et ses valeurs en chaque point définissent l'état du système, qui peut être arbitraire (par exemple un champ éléctrique peut être quasiment quelconque, selon la configuration de charges qui lui donne naissance).

Un champ quantique est bien un champ au sens a) (avec "valeurs" de type opérateur), mais pas au sens b): il ne définit pas un état, et ses "valeurs" (des opérateurs) sont uniques (par exemple, il n'existe qu'un seul champ quantique scalaire comme je le disais plus haut).


ceci illustre bien ce que je disais au début: puisqu'on appelle Ψ le champ, parler de "l'état du champ" (par exemple d'un "champ excité") impliquait pour moi qu'on parle de l'état de Ψ, autrement dit que Ψ était un champ au sens b), pouvant avoir plusieurs configurations, plusieurs états possibles. Mais c'est faux, il n'y a qu'un seul "champ" et "l'état" du champ Ψ est en fait un objet séparé de Ψ, en fait un vecteur de l'espace de Fock (ce qui apparait clairement dans ta remarque). D'où les confusions qui peuvent se produire, mentionnées par Teller p 103, et qui sont exactement celles que j'ai eu. Et finalement, pour moi, le mot "champ", au sens le plus important pour moi d'état, serait plus approprié pour désigner les vecteurs de l'espace de Fock que pour désigner Ψ.

Salut,

une petite remarque de terminologie : je trouve personnellement assez commode de faire la distinction entre 2 emploies du terme "champ" : le premier réfère surtout à un objet mathématique (une objet mathématique définie en tout point de l'espace) et le 2ème réfère à un système physique. Un exemple : le champ électromagnétique classique, en tant que système physique peut être décrit mathématiquement de plusieurs manières (par l'intermédiaire des champs mathématiques E et B, ou des champs potentiels A et V etc..), exactement de la même manière qu'un oscillateur harmonique classique (par exemple) peut décrit par plusieurs jeux de variables.
La confusion qui peut s'introduire, c'est qu'en théorie des champs, comparativement avec la théorie d'un oscillateur, le terme "champ" est tour à tour employé dans le sens "oscillateur harmonique" (c'est à dire, le nom du système physique que l'on étudie) puis employé dans le sens "variables dynamique".
En gros on a ce schéma de correspondance là :

champ (système physique) <----> Oscillateur harmonique (système physique)

champs (variables dynamiques) A(x,t), V(x,t) <--------> q(t), p(t) (variables dynamiques)

Une fois la correspondance entre les deux systèmes physique fait en physique classique, on peut l'étendre en physique quantique : dans les deux cas, les variables dynamiques (dont la valeur donnait l'état du système) deviennent des opérateurs, et l'état du système est donné par des vecteurs.

[Pyrrhon d'Élis]

ca y est, je me suis procuré ce livre! Je l'ai juste parcouru pour l'instant, mais ce que j'ai lu confirme ce que je pensais: ce qu'on appelle "champ" en TQC n'a que peu à voir avec le sens classique du mot, mais le terme est parfois employé dans ce sens, ce qui introduit une certaine confusion.

Autre remarque : à mon avis (et je crois me souvenir que Teller disait ça aussi), l'emploie du terme "champ" est bien commode pour des raisons de continuité entre la physique classique et la physique quantique. Étant donné qu'historiquement, on a souvent commencé par disposer d'une théorie classique bien formulé dans un langage Hamiltonien avant de la quantifier (c'est le cas de l'atome d'hydrogène, de l'oscillateur harmonique ou...du champ électromagnétique), on continue, après quantification d'employer les mêmes noms pour désigner les systèmes physiques.

[mariposa]

champ (système physique) <----> Oscillateur harmonique (système physique)

champs (variables dynamiques) A(x,t), V(x,t) <--------> q(t), p(t) (variables dynamiques)

Bonjour,

juste une remarque de pure pédagogie.

J'aurais écrit:

champs (variables dynamiques) E(x,t), B(x,t) <--------> x(t), p(t) (variables dynamiques).

Qui montre que la position x passe du statut de variable dynamique à celui de pure indice pour numéroter les composantes d'un vecteur (qui devient une variable dynamique multicomposantes) appartenant à un espace de dimension infini