Equation des ondes (Helmholtz) : diffusion & propagation

[invite8bab06c8]

Bonjour à tous,

J'ai un problème d'interprétation physique de l'équation de Helmholtz où .

Lorsque le terme domine (conductivité électrique faible ou fréquence élevée), on est en régime propagatif et on a une vitesse de phase .
Inversement, lorsque le terme domine (approximation en régime quasi-stationnaire ARQS), on est en régime diffusif et on a une vitesse de phase (milieu dispersif en mode diffusif). En plus, apparait la profondeur de peau .

Seulement, je ne saisis pas la différence entre ces deux modes d'un point de vue physique. Que ce passe-t-il "concrétement" dans chacun de ces cas ?

En régime propagatif, je crois comprendre que l'onde est en quelque sorte transmise à chaque point du milieu (ou du vide) de proche en proche à la vitesse comme pour n'importe quelle équation d'onde, mais je ne vois pas en quoi la fréquence intervient, ni la conductivité d'ailleurs... qui est en fait aussi une notion assez floue pour moi à l'échelle particulaire ! En quoi ces deux paramètres provoquent un changement de "régime" ?
En régime diffusif, c'est simple : je n'arrive carrément pas à me représenter ce qui se passe... et mes notions de base sur la diffusivité de la chaleur ne m'aide pas !

Je rajoute, tant que j'y suis, une question sur la notion de milieu dispersif : dans un tel milieu, la vitesse dépend de la fréquence, ok. Mais cette définition ne traduit pas du tout le phénomène physique sous-jacent. Pourquoi la vitesse dépend-elle de la fréquence ? Est-ce la longueur d'onde qui varie avec la fréquence dans le milieu et donc la vitesse ? Ou est-ce vraiment la vitesse qui varie (je ne vois pas pourquoi) avec la fréquence, et la longueur d'onde qui "s'ajuste" ?

J'aimerais donc que vous m'éclairiez un peu sur ces notions car même si cela n'empêche pas de faire tous les calculs, j'ai horreur de ne pas comprendre de quoi on parle !

Merci par avance !
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Si on regarde de près comment interagit une onde EM avec la matière, on constate que c'est presque explosivement le champ électrique de l'onde qui polarise les atomes ou les molécules de la matière, s'il s'agit d'un diélectrique. S'il s'agit d'un conducteur, il fait osciller les électrons libres.
La polarisation alternée des atomes ou molécules à la fréquence de l'onde incidente, leur fait émettre une onde secondaire de même fréquence mais déphasée, c'est l'addition de ces ondes émisse par les atomes et molécules qui s'additionne avec l'onde incidente et qui donne une onde en retard de phase qui est vue macroscopiquement comme l'onde originale qui se déplace plus lentement. On modélise ça mathématiquement avec l'indice de réfraction.
Comme la réponse au champ électrique de l'onde dépend de la fréquence, les ondes réémises aussi, et l'indice de réfraction aussi. Cela faut que tous les diélectriques soient plus ou moins dispersifs.

Dans le cas des conducteurs, ce sont les électrons qui prédominent. Mais leur réponse en fréquence est similaire à celle d'on oscillateur avec sa fréquence propre. Pour le gaz électronique et les plasmas cette fréquence est la "fréquence de plasma" qui dépend surtout de la concentration électronique. Les électrons répondent bien au camp de l'onde en dessous de la fréquence de plasma et peu au delà de cette fréquence. La substance (ou le plasma) se comporte comme un conducteur en dessous et comme un diélectrique au dessus. C'est le cas pour l'ionosphère et pour les métaux. Le potassium dévient transparent pour l'ultraviolet proche et l'ionosphère réfléchit les ondes radio de basse fréquence (quelques MHz).

À ce tableau il faut ajouter les pertes des électrons avec le réseau et l'absorption moléculaire des solides ou liquides, qui donnent des dispersions anomales et des vitesses de phase et de groupe vraiment anomales.
Dans les métaux, au delà de la fréquence de plasma, l'indice de réfraction devient légèrement inférieur à 1 et la vitesse de phase de la lumière (rayons X ici) est plus grande que 'c'.

Donc, en résumé, au niveau microscopique c'est l'émission d'une onde secondaire synchrone par les atomes, molécules et électrons qui donne l'indice de réfraction et la dispersion des substances.

Tout ceci est nettement mieux expliqué (mais dans des paragraphes dispersés) dans le Feynman.
Au revoir.

[invite8bab06c8]

Merci pour toutes ces précisions mais il me reste pas mal de zones d'ombre...

Notamment sur ce point :

Cela faut que tous les diélectriques soient plus ou moins dispersifs.

D'après les considérations sur l'équation de Helmholtz, c'est pour le mode diffusif (le second cas) que le milieu est dispersif. Or, cela correspond aussi à une conductivité forte (ou une basse fréquence), cf. la partie imaginaire de , donc pas un diélectrique. En revanche, le premier cas devrait être valable pour un diélectrique en raison de la faible conductivité (ou haute fréquence) mais là, la vitesse de phase est indépendante de la fréquence, donc on est en milieu non-dispersif !

Pour la suite de l'explication, j'ai aussi un peu de mal à saisir...

Les électrons répondent bien au camp de l'onde en dessous de la fréquence de plasma et peu au delà de cette fréquence. La substance (ou le plasma) se comporte comme un conducteur en dessous et comme un diélectrique au dessus

Si je comprends bien, un conducteur traversé par une onde basse fréquence sera effectivement vu comme un conducteur (électrons libres oscillent). Mais alors, pourquoi dans le cas basse fréquence/forte conductivité, y a-t-il un phénomène de dispersion puisqu'on n'est pas dans un milieu diélectrique ou vu comme tel ?

J'ai peut-être du mal à être vraiment clair (tout simplement parce que ça ne l'est pas dans ma tête ), mais en résumé, les questions que je me pose à présent sont :
1) A faible conductivité ou haute fréquence, on est soit dans un diélectrique, soit dans un conducteur perçu comme un diélectrique (ce qui revient au même) à cause de la haute fréquence. D'après l'équation de Helmholtz, cela correspond à un régime propagatif SANS dispersion. Est-ce exact ?
2) A forte conductivité ou basse fréquence, on va dire pour simplifier qu'on est dans un conducteur qui est bien perçu comme tel en raison de la basse fréquence. D'après l'équation de Helmholtz, cela correspond à un régime diffusif AVEC dispersion. Encore une fois, est-ce exact ?
3) Si les deux affirmations précédentes sont correctes, elles sont en contradiction, au moins en partie, avec l'explication donnée par LPFR. Le fait qu'un milieu soit dispersif n'est-il donc pas plutôt lié à une forte conductivité comme l'indique l'équation de Helmholtz ?

J'insiste, mais j'aimerais vraiment comprendre...

[invite6dffde4c]

Re.
Je n'ai pas le temps de vous répondre aujourd'hui.
J'ai l'impression que vous pensez qu'un milieu diélectrique n'est pas dispersif. En fait oui. Tous les milieux sont dispersifs (la vitesse de phase dépend de la fréquence). À ma connaissance le seul "milieu" qui serait non dispersif serait le vide absolu. Car, même l'espace intergalactique avec ses 1000 électrons au m3 est dispersif et les signaux des pulsars arrivent décalés suivant la fréquence que vous utilisez.
Quand au verre ou à l'eau, vous connaissez ce que font les prismes et les goûtes de l'arc en ciel.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bab06c8]

Je n'ai pas le temps de vous répondre aujourd'hui.

Ce n'est pas un problème, merci déjà pour votre aide !

Je me rends compte - comme souvent - que le sujet est très (trop ?) vaste pour être clairement compris avec les quelques questions que je me pose... Je n'ai malheureusement pas trop le temps non plus de creuser vraiment en profondeur en ce moment mais je vais poursuivre mes recherches progressivement...

@+

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je crois qu'il est sage de revenir aux sources. Et pour les sources, les équations de base sont celles de Maxwell et non l'équation de Helmholtz. On déduit l'équation d'onde (Helmholtz) à partir des équations de Maxwell.
Puis il y a les solutions de l'équation. Si on veut comprendre la physique des ondes EM, ce n'est pas à travers les maths. Le coefficient k² dont vous parlez n'est, pour Helmholtz, que la constante de séparation (en faisant l'hypothèse que les variables sont séparables). Alors que 'k' est physiquement le "nombre d'onde". Pour ce qui est de la partie imaginaire de k (ou de k²) elle n'est encore qu'un artifice mathématique pour la séparation, alors que physiquement, c'est la façon d'introduire l'atténuation d'amplitude due aux pertes ou à la réflexion.

Je pense que le cours que vous suivez est plus un cours de maths qu'un cours de physique. C'est peut-être ce qu'il vous faut pour passer vos concours ou vos examens. Mais si vous voulez, comme vous dites, comprendre l'aspect physique des choses, je vous conseille de lire le Feynman. Vous y prendrez du plaisir.
Au revoir.

[invite8bab06c8]

Bonjour,

Je prends note de votre conseil pour les cours de Feynman, cela faisait déjà quelques temps que je voulais y jeter un oeil...
Sinon, pour l'aspect très mathématiques de mes cours, paradoxalement, ça ne devrait pas vraiment être le cas mais le fait est que si ! Beaucoup de démonstrations et calculs mais pas toujours assez d'explication physique "avec les mains" à mon goût. J'adore les mathématiques "non-appliquées" des mathématiciens mais je n'aime pas quand les maths se substituent à la physique ou disciplines associées... Après, comme il est nécessaire de maitriser les équations, il faut bien que le cours avance...

En tout cas, merci pour vos réponses et conseil,
Au revoir