Concours général 2000 de Physique

[invite2b14cd41]

Salut, je rencontre beaucoup de difficultés dans la question 2.9.
Que veulent-ils dire par "la forme de la surface libre des océans est donnée par V=cte" ?
Personellement, je pense qu'ils voulaient dire que tout point de la surface situé à la même "hauteur" avait le même potentiel de pesanteur. Je ne suis pas sur de ma réponse, et je ne vois pas comment "en déduire l'expression de la différence de hauteur h".

En calculant "la différence de potentiel de pesanteur" entre une marée haute ( =0 ou = ) et une marée basse (=+ou-/2):
V(M.H)-V(M.B)=-G*m_T/(r+h) - G*m_L*(r+h)²/D³ + G*m_T/r - G*m_L*r²/2*D³

Je ne sais pas si c'est bon calcul, en tout cas, ça ne me donne pas la hauteur ... Dois-je diviser par l'expression de g, pour avoir des grandeurs homogènes à une longueur (une hauteur) ?
Je ne sais plus trop comment continuer
Merci d'avance , pol .
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[Seirios]

Pour moi, la surface de l'océan à un potentiel constant quelque soit la position de la Lune, donc la différence de potentiels que tu écris est nulle, et tu peux donc en déduire h en faisant quelques approximations.

[invite2b14cd41]

Bon, d'accord, après de longs et fastidieux calculs, en utilisant quelques approximations affines, j'aboutis finalement , si mes calculs sont justes, à:
h=(r⁴/2 * m_L)/(D³*m_T - m_L*r³)

Ce qui donne: h=3.06 m
c. Que pensez-vous de ce résultat ?
Je ne sais pas quoi répondre, cela m'a l'air "logique" ? Ou bien est-ce un peu bas pour une marée haute , il faudrait donc ajouter l'effet du soleil ???

Mais, surtout, ce que je comprends moins, c'est pourquoi le potentiel est le même quelque soit le point de l'océan ? Je veux dire, comment expliquer cela au niveau physique ? Puisqu'en électricité, on compare souvent la ddp électrique à une hauteur
Merci d'avance, pol.

[invite2b14cd41]

2.10. En appliquant la même formule pour les "marées solaires" (donc en remplaçant D par la distance Terre-Soleil et m_L par la masse du soleil), j'obtiens h'=0.083 m , ce qui m'a l'air bien faible..

2.11. Pour les marées de "vives eaux", le soleil et la lune sont "alignés" avec la terre, pour les marées de mortes eaux, les 3 astres forment un angle droit.
La hauteur des marées de vives eaux est h+h'=3.143m
Celles de mortes eaux: h-h'=2.977 m
Pour les périodes, entre chaque marée de vive ou morte eau, la lune fait "un demi-tour" autour de la Terre, d'ou:
_Lune=
2*t/27.3 =
T=13.65 jours

[invite2b14cd41]

Salut, j'espère que je ne me suis pas trop trompé jusqu'à présent, la suite est probablement fausse:

3.1. Il y a ici plusieurs approches, il me semble
On peut considérer simplement , que comme D>>r₁ et D>>r₂:
F_1+2/P = G*m_P*m₂/r₂³ . PO₂ + G*m_P*m₁/D³ .PO₁

Ou bien, si l'on ne veut pas négliger le rayon du satellite:
F_1+2/P = G*m_P*m₂/r₂³ . PO₂ + G*m_P*m₁/(D-r₂)³ .PO₁ (cas ou le point P est le "plus proche" de O₁)
ou
F_1+2/P = G*m_P*m₂/r₂³ . PO₂ + G*m_P*m₁/(D+r₂)³ .PO₁ (cas ou le point P est le "plus éloigné" de O₁)

Quelle est la réponse la plus correcte ?

3.2. g(P) doit pointer vers O₂, pour assurer la cohésion du satellite.

3.3. Suffit-il de calculer le "point de Lagrange" du point P, ou bien faut-il suivre la même approche que Roche, cad considérer notre satellite comme un ensemble de 2 sphères (moins logique, car en 3.4 ils nous ont demandé d'utiliser le résultat corrigé par l'approche de Roche)?
En tout cas, calculer le "point de Lagrange" ne me semble pas être la bonne solution, puisqu'il faut exprimer la limite de roche en fonction de _{1 (planète)} , _{2 (satellite)} et r_1(planète)... or je ne parviens à éliminer le r_2(satellite) ...
Par exemple, en utilisant l'approche du point P le plus proche de O₁, méthode qui me semble "la plus logique", j'obtiens:
m₂/r₂²=m₁/(D_m-r₂)²
Et j'ai beau utilisé maintes approximations, le r₂ ne veut pas partir ...

Toute aide serait bien appréciée
Merci d'avance, pol.

[invite2b14cd41]

Bon, oubliez cette histoire de point de Lagrange, je pense avoir trouvé la solution, en utilisant l'expression de g(M) calculée 2.3.
En effet, on a:
g(P)=G*m₂/r₂³ .PO₂ + G*m₁/(D-r₂)³ .PO₁ + G*m₁/D³ .O₁O₂
Donc, pour que le satellite n'explose pas sous l'effet des forces de marées : g(P) doit pointer vers O₂
Donc: G*m₂/r₂²+G*m₁/D² > G*m₁/(D-r₂)²

Ce qui me donne, après développement et approximation:
D > r₁*racine cubique(2₁/₂)

Je suis enfin parvenu à éliminer ce r₂, et je pense que le résultat est correct

[Seirios]

Bon, d'accord, après de longs et fastidieux calculs, en utilisant quelques approximations affines, j'aboutis finalement , si mes calculs sont justes, à:
h=(r⁴/2 * m_L)/(D³*m_T - m_L*r³)

Ce qui donne: h=3.06 m

Tu pourrais détailler un peu plus tes calculs ? Parce que je n'arrive pas au même résultat en partant de ton expression...

Mais, surtout, ce que je comprends moins, c'est pourquoi le potentiel est le même quelque soit le point de l'océan ? Je veux dire, comment expliquer cela au niveau physique ? Puisqu'en électricité, on compare souvent la ddp électrique à une hauteur

Je pense qu'il faut interpréter ça en terme de stabilité : un potentiel constant correspond à un point d'équilibre.

[Seirios]

3.1. Il y a ici plusieurs approches, il me semble
On peut considérer simplement , que comme D>>r₁ et D>>r₂:
F_1+2/P = G*m_P*m₂/r₂³ . PO₂ + G*m_P*m₁/D³ .PO₁

Ou bien, si l'on ne veut pas négliger le rayon du satellite:
F_1+2/P = G*m_P*m₂/r₂³ . PO₂ + G*m_P*m₁/(D-r₂)³ .PO₁ (cas ou le point P est le "plus proche" de O₁)
ou
F_1+2/P = G*m_P*m₂/r₂³ . PO₂ + G*m_P*m₁/(D+r₂)³ .PO₁ (cas ou le point P est le "plus éloigné" de O₁)

Quelle est la réponse la plus correcte ?

Il ne faut pas toujours chercher à simplifier ; on te pose une question simple, alors donne une réponse simple

Bon, oubliez cette histoire de point de Lagrange, je pense avoir trouvé la solution, en utilisant l'expression de g(M) calculée 2.3.
En effet, on a:
g(P)=G*m₂/r₂³ .PO₂ + G*m₁/(D-r₂)³ .PO₁ + G*m₁/D³ .O₁O₂
Donc, pour que le satellite n'explose pas sous l'effet des forces de marées : g(P) doit pointer vers O₂
Donc: G*m₂/r₂²+G*m₁/D² > G*m₁/(D-r₂)²

Ce qui me donne, après développement et approximation:
D > r₁*racine cubique(2₁/₂)

Je suis enfin parvenu à éliminer ce r₂, et je pense que le résultat est correct

L'idée est correcte et le résultat homogène, donc ce devrait être bon (je vérifierai les calculs plus tard )

[invite2b14cd41]

Tu pourrais détailler un peu plus tes calculs ? Parce que je n'arrive pas au même résultat en partant de ton expression...

D'accord, je pense que la réponse exact est :

h=(3*m_L*r⁴)/(2*D³*m_T-4*m_L*r³)
Avez-vous obtenu le même résultat ?
Sinon le reste est juste?
Merci , pol.

[Seirios]

Si on part de : (ce qui pourrait être remis en question puisque l'on considère que le potentiel pour correspond à r), j'obtiens par approximation :

, d'où , ce qui donne une vingtaine de centimètres.

[invite2b14cd41]

Bizarre, l'application numérique me donne h=0.56 m , ce qui est bien trop faible, je pense avoir commis une erreur , peut-être, dans le calcul de la différence de potentiel

Concernant la question 3.5, il s'agit d'une question de "projectile", si je ne me trompe pas...
Doit-on faire simple en considérant que le rayon de la Terre reste constant et égal au rayon actuel , lors de la formation de la Lune par centrifugation ? Ou bien doit-on prendre en compte la variation du rayon, et de la vitesse, de la masse ... bref du moment cinétique de la Terre, au cours de l'éjection des morceaux de la couche externe ?

Merci, pol .

EDIT: vous m'avez devancé je lis votre correction...

[invite2b14cd41]

Si on part de : (ce qui pourrait être remis en question puisque l'on considère que le potentiel pour correspond à r), j'obtiens par approximation :

, d'où , ce qui donne une vingtaine de centimètres.

N'est-ce pas plutot : - ???

"(ce qui pourrait être remis en question puisque l'on considère que le potentiel pour correspond à r)"
Cela ne vous semble-t-il pas l'hypothèse la plus logique ?

[invite2b14cd41]

Concernant la question 3.5, il s'agit d'une question de "projectile", si je ne me trompe pas...
Doit-on faire simple en considérant que le rayon de la Terre reste constant et égal au rayon actuel , lors de la formation de la Lune par centrifugation ? Ou bien doit-on prendre en compte la variation du rayon, et de la vitesse, de la masse ... bref du moment cinétique de la Terre, au cours de l'éjection des morceaux de la couche externe ?

Merci, pol .

EDIT: vous m'avez devancé je lis votre correction...

L'autre problème, c'est que, contrairement à un problème de projectile classique, la force d'attraction de la Terre est variable .. Pour ne pas faire trop compliqué, j'ai considéré que le rayon de la Terre est le même que celui d'aujourd'hui (le dernier morceau de Lune a bien été "lancé" depuis ce rayon...)
A mon avis, il faut travailler sur le plan énergétique.
Sachant que la vitesse de lancement est:
10*R*w , avec w vitesse angulaire de la Terre actuellement, j'obtiens: v=10*6.4*10⁶*2/(0.997*86400)=4668,216 m.s^-1
Ainsi, les morceaux de lune ont pour énergie cinétique:
E_c=1/2 * m_L * v² = 8,0414*10²⁹ J

Par suite: E_m=-G*m_L*m_T/R_T+E_c=-3.81*10³⁰J
Cette énergie pourra se convertir en énergie potentielle, et la Lune pourra s'éloigner jusqu'à une "altitude" de:
h=-G*m₁*m₂/E_m
h=7750537 m , soit 7750 km, qui est bien inférieur à la limite de Roche calculée précédemment , donc cette "ancienne théorie" ne tient pas.

Voilà, j'espère que je n'ai fait aucune erreur monumentale dans mon raisonnement