WKB approximation en MHD

[VauRDeC]

Bonjour tout le monde,
Je lis depuis quelque temps des articles sur la MHD, et je bute sur un roc du nom de WKB approximation...
Est ce que quelqu'un saurait ce qu'est ce truc?? J'essaie de lire des articles dessus mais le développement mathématique me dépasse complètement

Voilà merci d'avance pour votre aide
VauRDeC
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[moco]

La méthode WKB (Wentzel-Kramer-Brillouin) est une méthode approchée permettant de résoudre l'équation différentielle :
d²y/dx² + f(x) y = 0, (1)
qui ressemble à l'équation de Schrödinger
La méthode demande que f(x) soit connue, positive, et ne varie pas trop vite avec x.

On pose (2) : y = a·e^ib, où a et b sont des fonctions de x, et a est l'amplitude de l'oscillation. En substituant dans (1), on obtient :
a" + i(ab" + 2a'b') + (f - b'2) = 0
Les notations prime et seconde correspondent aux dérivations par rapport à x.
On décide arbitrairement de fixer une condition arbitraire aux fonctions a et b. Ainsi nous posons que : f - b'2 = 0, de sorte que :
b = Intégrale de √f dx entre xo arbitraire et x, (3)
L'objet de cette approximation est d'estimer a. Comme f(x) varie lentement, il en est de même de a, on se permet de négliger a". On obtient :
ab" + 2a'b' = 0.
En intégrant, on tire : loga + (1/2) logvb' = constante
ce qui se réécrit : a = cte √b' = constante f^-1/4
La solution approchée est donc :
y = constante f^-1/4 exp ^{i [Int de √f dx, entre xo et x]}

Exemple.
Montrer que si f(x) = x^-4, la solution est exacte.
√f = x^-2.
Un peu de calcul, et on tire :
y = constante x e^-i/x
La dérivée seconde donne :
y" = cte x^-3 e^-i/x
On tire :
cte x^-3 e^-i/x + x^-4 cte x e^-i/x = 0. Cqfd.

[chwebij]

bonjour

WKB est une méthode perturbative pour résoudre les équa diff linéaires dont le terme de plus haut degré de dérivation est multiplié par un coefficient très petit. On parle alors de perturbation singulière car lorsque ce coef tend vers 0, le problème est alors insoluble car il y a plus de conditions limites que de coef à déterminer dans la solution. Ce coef peut par exemple dans le cas de la MHD être le reynolds ou le reynolds magnétique qui sont sur le terme diffusif (1/Re,1/Rem<<1), le terme de plus haut degré respectivement dans l'équation de N-S et d'induction.
La motivation physique pout utiliser WKB est qu'il existe différentes modulations temporelles (ou spatiales) de la solution aux équa diff: une modulation lente de période et une modulation rapide .
Le cas typique est un système perturbé par un forçage de période très petit par rapport aux modes propres du système non-perturbé qui varie sur des échelles de temps .
La méthode consiste à lier ces deux échelles de temps par une relation linéaire , avec dépendant des paramètres petits (comme 1/Re).
Puis on postule la forme de la solution tel que:

on introduit cette solution, dans les équadiff, et on résout successivement les , avec , si je ne me trompe pas, les solutions du système non perturbé. Généralement la relation à l'ordre 0 est la relation de dispersion .