électrostatique: distribution de charge non uniforme.

[Simontheb]

Bonjour, je lis actuellement le tome d'électromagnétisme de Feynman, et j'ai un petit problème. Je sollicite donc vos lumières.

Au chapitre 6, partie 4, après avoir introduit les formules pour le champ électrostatique et son potentiel aux alentours d'un dipôle, Feynman considère une sphère de rayon dont la surface est non uniformément chargée.
Si est l'abscisse curviligne le long d'une coupe de la surface de la sphère (c'est donc un cercle), la densité surfacique de charge y est donnée par:



où est la densité surfacique au point le plus haut de la sphère (sur la partie positive de l'axe des z, disons, avec l'origine au centre de la sphère et l'axe des z coïncidant avec l'axe de symétrie de la sphère).

Feynman fait alors remarquer que cette distribution correspond à celle de deux sphère de même taille, uniformément chargées (l'une positivement, l'autre négativement), et où la sphère "positive" aurait été très légèrement décalée vers le haut et la sphère "négative" très légèrement décalée vers le bas. Comme le champ d'une sphère uniformément chargé est celui d'une charge ponctuelle, cette distribution correspond à celle d'un dipôle de moment dipolaire
. Pas de problème pour cette formule.

Mais il poursuit ensuite:

"On peut aussi montrer qu'à l'intérieur de la sphère le champ est constant, et a la valeur
"
Il précise aussi que le champ est orienté vers le bas.

J'ai essayé de démontrer ce résultat par intégration mais sans succès. Ma question est donc: y a-t-il une démonstration simple de ce résultat? Si oui, fait-il appel à la distribution dipolaire évoquée plus haut?
Voilà, merci d'avance pour vos réponses.
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[LPFR]

Bonjour.
Dans chacune de deux sphères équivalentes uniformément chargées, le potentiel (par rapport à un point de référence) est constant. Le champ dans un point quelconque sera égal à la différence de potentiel de chacune de sphères divisé par la distance de décalage entre elles.
Au revoir.

[Simontheb]

Merci pour ta réponse, LPFR:

En relisant le passage du livre de Feynman, je me suis aperçu que l'auteur parlait de densité volumique uniforme de charge positives pour les deux sphères. Cela change pas mal de choses puisque mon message ne précisait pas ce point et laissait donc entendre qu'il s'agissait d'une densité surfacique uniforme...

Aussi, je ne comprends pas très bien comment retrouver l'expression du champ à l'aides de sphères de potentiel interne constant: logiquement, en sommant les deux potentiels opposés, on trouve un potentiel nul, non? Par contre, ton message m'a fait penser à essayer de sommer le champ interne de deux boules uniformément chargés. Voici le calcul:

Il est facile de trouver que le champ à l'intérieur d'une boule de rayon et de densité volumique de charge est où est la position par rapport au centre de la boule.

Si on considère donc une telle boule de densité de charge décalée de selon l'axe des z et une boule identique de densité de charge décalée de (comme le propose Feynman), le champ à l'intérieur de la boule "positive" vaudrait
et celui dans la boule "négative" vaudrait

En sommant les deux champs, on trouve à l'intérieur des deux boules:

Ce qui est le bon résultat. Ce raisonnement est-il juste? Si c'est le cas, je pense qu'on peut considérer le sujet résolu.

J'avais aussi trouvé une autre démonstration ici (partie 4.3) mais c'est nettement plus compliqué...

[LPFR]

Re.
Effectivement, vous avez raison.
A+

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