Magnétostatique

[invitec317278e]

Oui, l'orientation n'est pas la même sur mes dessins paint que sur mon brouillon, j'ai pas regardé ça parce que pour ce terme là, le signe ne change rien ^^
Par contre, s'il y a une erreur de signe à un autre endroit, ça risque d'être grave
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[invitebe08d051]

Oui, l'orientation n'est pas la même sur mes dessins paint que sur mon brouillon, j'ai pas regardé ça parce que pour ce terme là, le signe ne change rien ^^
Par contre, s'il y a une erreur de signe à un autre endroit, ça risque d'être grave

Espérons !!
De ma part, je continue.

[invitec317278e]

A la toute fin :

(en ayant posé et en s'étant rappelé que )

il faudra évidemment lire :

(en ayant posé et en s'étant rappelé que

[invitebe08d051]

Re,

Voilà, j'ai fini.
Donc à part un "2" qui s'est simplifié par parité:

Et qui a réapparu un peu plus loin.

Alors,

C'est nickel. Parfait

Merci Thorin.

[invitec317278e]

Donc à part un "2" qui s'est simplifié par parité:

Ah ben oui, problème de copier coller de plein de latex


Autre chose, et c'est plaisant, on se rend compte que si on met d=0 (ou d quelconque inférieur à a) dans les calculs, on retombe comme par magie sur le résultat déjà connu du champ sur l'axe du solénoïde :

Je reposte (comme ça, je suis sûr de ne pas le perdre, ce qui serait dommage, parce que j'ai sué un peu pour le faire) en spoiler (pour pas avoir des pages de 10kilomètres de long), une version sans les erreurs constatées par mimo13 et moi même, pour que si jamais quelqu'un tombe sur ce calcul un jour, il ait accès aussi à la bonne version

 Cliquez pour afficher

Il s'agit ici de calculer, le plus rigoureusement possible, le champ magnétique existant à l'extérieur d'un solénoïde infini.

Liens de schémas pour expliciter les notations :
http://img840.imageshack.us/img840/230/solenoide1.png
http://img827.imageshack.us/img827/3277/solenoide2.png

Dans un premier temps, calculons la contribution au champ magnétique apportée par un élément de longueur du solénoïde, en un point quelconque de l'espace.
Cet élément de longueur est parcouru par un courant (le courant est le courant qui parcoure une spire et le nombre de spire par unité de longueur; le courant parcourant une suite de spires de longueur (un mini solénoïde de longueur , en fait) est donc ).

La loi de Biot et Savart nous donne que la contribution apportée par ce mini solénoïde s'écrit : .

Explicitons les éléments qui interviennent :
(Remarque : on pourrait ajouter une composante suivant l'axe du solénoïde pour tenir compte du fait qu'il s'agit d'une hélice et non d'une succession de cercles, mais cela ne change rien à la suite du calcul)


Maintenant, puisque l'on sait (symétrie oblige : tout plan de symétrie de la distribution de courant est plan d'anti-symétrie pour le champ magnétique) que seule la composante suivant l'axe du solénoïde peut être non nulle, on ne va calculer que cette composante dans la contribution de notre mini solénoïde, et cette composante vaut :



J'en conviens aisément, ce n'est pas absolument trivial à calculer, c'est pour ça qu'on ne le fera qu'un peu plus tard.
Maintenant qu'on a exprimé la contribution de notre mini solénoïde, on va calculer la valeur de la composante de champ magnétique créé par la totalité du solénoïde :



Maintenant, on utilise fubini, et on inverse les intégrales, c'est ça qui rend le calcul humaine faisable :



Vu comme ça, il nous faut donc calculer :


avec et

Calculons donc cette intégrale. Je ne vais pas l'écrire, c'est au niveau de n'importe qui ici : il suffit de faire le changement de variable : , puis de se souvenir que .

on trouve donc .

Donc en remplaçant dans notre expression un peu barbare :



C'est déjà mieux, non ?
il s'agit maintenant de montrer que cette nouvelle intégrale est nulle.

Bon, j'ai choisi la méthode bourrin, même s'il doit sans doute y avoir plus astucieux : on pose .

Alors,

Maintenant, procédé classique : décomposition en élément simple :



Or,


(en ayant posé et en s'étant rappelé que )

Finalement, la dernière égalité permet de conclure : !!!!!!!!

Remarque : si l'on veut étudier le champ à l'intérieur du solénoïde, on reprend la fin du calcul avec et on retombe bien sur le résultat classique