Magnétostatique

invitebe08d051 · 21/08/2010, 00h44

Bonsoir,

J'ai quelques questions à propos de certaines notions en magnétostatique :

Comment montre-t-on que le champ magnétique à l'extérieur d'un solénoïde infini est nul ??

Le théorème d'Ampère appliqué à un contour fermé nous laisse montrer que ce champ est uniforme, nous avons donc besoin de sa valeur en un point.

Je cherche aussi une interprétation physique du vecteur densité de courant $\text{[math]}$ , à vrai dire je n'arrive pas encore à comprendre ce concept, son utilité...

Voici d'ailleurs un exemple que je n'arrive pas à comprendre http://pagesperso-orange.fr/jeanmarc...elec/Masta.pdf

Problème 2, partie B, 1)a):

IL est demandé d'exprimer $\text{[math]}$ .

De ma part, partant de la relation: $\text{[math]}$
Les deux vecteurs sont colinéaires, en intégrant:

$\text{[math]}$

Vu le que le fil est de section circulaire de rayon a, et que chaque spire est une couche 5 fils, la surface totale est de $\text{[math]}$ , on obtient donc:

$\text{[math]}$

Mais dans le corrigé sur le même lien, le résultat est différent et je ne sais pas pourquoi ils parlent de surface sous la forme d'un carré.

Merci à vous.

Cordialement

**invite6dffde4c** · 21/08/2010, 08h53

Bonjour.
Le solénoïde infini a une symétrie cylindrique (le courant n'a pas de composante le long de l'axe). C'est à dire que le champ magnétique produit a aussi une symétrie cylindrique. De plus on a des miroirs de symétrie perpendiculaires à l'axe. Donc, le champ magnétique ne peut aps avoir de composante parallèle à l'axe.
Il ne reste que la composante tangentielle et la composante radiale. Mais la composante radiale doit être nulle pour respecter div B = 0. Il ne reste que la composante tangentielle.

Pour la calculer on faut l'intégrale de ligne de B le long d'un cercle qui respecte la symétrie. Ce qui donne 2pi r B. Cette intégrale est égale à µ par le courant qui traverse la surface du cercle. Et ce courant est nul.
Donc B est nul.

Pour la densité de courant: quand vous avez 1,5 ampères qui passent dans un fil de cuivre de 2 mm de diamètre, la densité de courant dans le fil est de 1,5/S = 4,77 A/m². La direction de cette densité de courant est celle du courant (donc, l'inverse de celle des électrons qui en sont responsables).
Si le fil se tortille, la direction du vecteur 'j' suivra le fil. Et aux endroits où le fil rétrécit, 'j' sera plus grand.
Au revoir.

**invite6dffde4c** · 21/08/2010, 09h34

Re.
Je crois que j'ai compris vos problèmes avec les densités de courant.
En fait, le résultat de l'intégrale de la densité de courant ne demande presque jamais de faire une intégrale:

$\text{[math]}$

où TLCQTLS veut dire "tout le courant qui traverse la surface".

Si la surface d'intégration est traversé par un fil qui conduit 1,3 A et un autre qui conduit 2,2 A, alors [T.L.C.Q.T.L.S.] vaut 3,5 A. Et on n'a rien à foutre des densités de courant. On s'en fout de la forme des conducteurs, de leurs surfaces, de l'angle et de l'endroit auquel ils traversent la surface.

Dans certains cas, par exemple, pour calculer le champ à l'intérieur d'un conducteur il faut bien passer par 'j', mais l'intégrale sera 'jS', si 'j' est constant dans toute la surface. Et je ne vois pas des cas où le 'j' ne serait pas constant dans des problèmes à votre niveau.

Il faut être un matheux borné pour vouloir passer par les densités de courant, dans le problème de votre lien. Je pense que c'est la différence entre un cours donné par un matheux et un cours donné par un physicien.
A+

invitec317278e · 21/08/2010, 11h30

Salut mimo13,
ce que tu écris signifie que tu considères toujours que le courant passe dans des fils à section circulaire. Pourquoi pas, après. Sauf que l'énoncé dit que l'on remplace ces fils par une distribution volumique uniforme : il ne doit pas y avoir de trous, d'endroits où le courant ne passe pas. Or, en considérant les fils comme étant à section circulaire, il y a des trous entre les cercles, donc des endroits où le courant ne passe pas.
Le fait de considérer la densité de courant comme uniforme implique donc que l'on doit faire comme si les électrons, au lieu de passer par un cercle de rayon a, passent par un carré de côté 2a ; de cette manière, la distribution de densité de courant devient uniforme.
La deuxième chose est le "5" : là, c'est vraiment un problème, c'est pas juste une histoire de petites approximations : i1 est le courant qui passe par un fil, et non le courant total qui passe par 5 fils superposés, donc la surface totale n'est pas 5*qqch, mais juste qqch.

Je vais donner aussi une justification qui te convaincra peut être plus sur le fait que l'on prend un carré. Considérons un carré de côté 2a dans lequel est inscrit un cercle de rayon a (car on est d'accord sur le fait que le solénoïde est constitué d'un grand nombre de tels petits carrés, qui se touchent tous les uns les autres et remplissent l'espace)

La densité de courant à l'intérieur du cercle est $\text{[math]}$ comme tu l'as établi (au "5" près).
La densité de courant à l'intérieur du carré mais à l'extérieur du cercle est 0.
Calculons la moyenne (spatiale) de la densité de courant dans le carré :
$\text{[math]}$ avec E étant le carré privé du disque
Il semble ensuite naturel de se dire :
on souhaite une distribution volumique de courant UNIFORME, ben pour cela, on prend la valeur moyenne de la densité de courant sur une "maille" élémentaire. Autrement dit, on uniformise tout ça en prenant la moyenne

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite93e0873f · 21/08/2010, 16h52

Salut,

Envoyé par LPFR

Le solénoïde infini a une symétrie cylindrique (le courant n'a pas de composante le long de l'axe). C'est à dire que le champ magnétique produit a aussi une symétrie cylindrique. De plus on a des miroirs de symétrie perpendiculaires à l'axe. Donc, le champ magnétique ne peut aps avoir de composante parallèle à l'axe.[...]

Ce n'est malheureusement pas parce que la distribution de courant possède une certaine symétrie que le champ magnétique produit par cette distribution possède la même symétrie. Après tout, le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, l'utilisation de réflexion inverse l'orientation du système d'axes et, en conséquence, le sens du vecteur champ magnétique. Une façon un peu moins matheuse de dire la chose : les arguments que vous apportés tiennent autant à l'extérieur qu'à l'intérieur du solénoïde et on en déduirait donc que le champ à l'intérieur d'un solénoïde n'est pas selon l'axe du solénoïde, ce qui est en contradiction avec la fameuse règle de la main droite.

En fait, les arguments de symétrie ne peuvent ici nous dire plus que la direction du champ magnétique produit par le solénoïde, soit la direction de l'axe. Le théorème d'Ampère nous dit que le champ est constant à l'intérieur du solénoïde et à l'extérieur de celui-ci. Les arguments de symétrie ne fonctionne bien qu'avec les forces causées par une distribution de charges et de courants sur des particules-tests bien choisies; en utilisant ensuite l'expression de la force de Lorentz, on peut déterminer (selon le cas) la direction du champ électrique ou magnétique (le produit vectoriel apparaissant dans le force de Lorentz expliquant pourquoi encore la symétrie par réflexion ici ne fonctionne pas sur le champ magnétique).

Un argument pour montrer la nullité du champ magnétique à l'extérieur serait de considérer approximativement comment le champ décroît à des grandes distances. Pour ce faire, on peut passer par la notion de moment magnétique. En sautant quelques étapes (ou en se fiant à ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_...cr.C3.A9.C3.A9), le champ d'une boucle de courant décroît essentiellement en $\text{[math]}$ . Sachant qu'il faut déterminer la contribution de toutes les boucles de courant formant le solénoïde, en intégrant je dirais qu'on trouve que le champ magnétique à une distance R du solénoïde 'décroît' (on sait bien qu'il est constant, mais l'argument veut justement éviter certains calculs) essentiellement en 1/R. À l'infini le champ est donc nul et par constance, il l'est partout à l'extérieur.

Cela n'a rien évidemment de rigoureux, mais il ne s'agit que d'un argument.

invitec317278e · 21/08/2010, 20h25

De plus on a des miroirs de symétrie perpendiculaires à l'axe. Donc, le champ magnétique ne peut aps avoir de composante parallèle à l'axe.

Salut,
le fait que tout plan perpendiculaire à l'axe est un plan de symétrie de la distribution de courant entraine que le champ magnétique possède une composante uniquement sur l'axe. (et donc, en conséquence, pas la peine de chercher les composantes radiales et tangentielles ; au passage, sauf erreur, div B = 0 n'entraine pas nécessairement la nullité de la composante radiale, mais uniquement sa constance)

Pour le fait que le champ est nul à l'extérieur...je ne connais pas de justification simple et rigoureuse, et en fait, je ne crois pas que quiconque en connaisse (sauf à faire un calcul exact). Les justifications données sont toujours scabreuses (du genre : puisqu'on s'écarte à l'infini du solénoïde, le champ ne peut pas être non nul, sinon, l'énergie associée serait infinie !, etc...). Depuis longtemps, les profs essaient d'entuber les élèves avec des justifications bidons ("les lignes de champ ne peuvent pas sortir du cylindre infini, donc champ nul à l'extérieur" !)

La seule justification pas trop compliquée à la limite satisfaisante est celle où l'on calcule le champ magnétique à l'extérieur d'un tore, puis où on fait tendre le rayon du tore vers l'infini. Localement, on peut alors considérer le tore comme étant un cylindre sans effet de bords, ie un cylindre infini.

Ceci dit, il faut aussi avoir conscience du fait qu'un cylindre infini, déjà, physiquement c'est pas trop possible, et donc relativiser tout résultat qu'on obtiendrait dessus

Au final, la seule réelle justification, pour moi, ne serait pas théorique, mais expérimentale : prenons un cylindre (très) long, et regardons si l'on détecte un champ à l'extérieur, loin des bords. Car après tout, la physique est une science expérimentale.

**invite6dffde4c** · 22/08/2010, 10h20

Bonjour.
Il est vrai que l'argument de symétrie ne prouve pas qu'il n'y ait pas une composante extérieure parallèle à l'axe.

La seule alternative serait de faire le calcul avec Biot et Savart.

Par contre, on peut affirmer que le champ radial est nul car s'il avait une composante radiale elle serait la même partout (pour un même rayon) et la divergence de B ne serait pas nulle.
Au revoir.

invitec317278e · 22/08/2010, 10h32

Salut,
puisque la composante suivant l'axe est constante selon z, invariance par translation oblige, et puisque la composante orthoradiale est nulle, la divergence s'écrit $\text{[math]}$ , sa nullité impose donc $\text{[math]}$ constant, et donc, $\text{[math]}$ , mais n'impose pas nécessairement $\text{[math]}$ à l'extérieur.

En revanche, le fait que tout plan perpendiculaire à l'axe soit de symétrie pour la distribution de courant impose que ces plans sont d'antisymétrie pour B, et donc que B n'a qu'une composante suivant l'axe.

L'argument permettant donc d'exclure la composante radiale est l'argument de symétrie, et non pas de divergence nulle.

**invite6dffde4c** · 22/08/2010, 11h10

Re.
Indépendamment de la forme mathématique de Br, si toutes le flèches sortent d'un volume, la divergence est positive. Et si toutes les flèches rentrent, la divergence est négative.

Si vous avez besoin de le démontrer, prenez un cylindre coaxial et faite d'intégrale de surface de B sur la surface du cylindre. Et décomposez-la en intégrales sur les "couvercles" plus intégrale sur la génératrice.
Les intégrales sur les couvercles s'annulent et l'intégrale sur la génératrice vous donne S.Br, qui est égale (Gauss) à l'intégrale de la divergence dans le volume. Comme cette dernière est zéro (Maxwell), Br est aussi zéro.

Mais je préfère l'image du porc-épic cylindrique à l'intégrale.
Au revoir.

invitec317278e · 22/08/2010, 13h14

Indépendamment de la forme mathématique de Br, si toutes le flèches sortent d'un volume, la divergence est positive. Et si toutes les flèches rentrent, la divergence est négative.

J'en suis bien conscient, mais ça n'empêche pas qu'étrangement, si la formule que j'emploie est bonne, on a ici $\text{[math]}$ , et donc, un champ en 1/r satisfait pleinement cette équation

Il y a manifestement une subtilité qui m'échappe, car clairement, un champ en 1/r... diverge bien.
Ceci dit, de toute façon, la symétrie permet aussi bien de montrer la nullité de B_r ; ce qui pose problème est la nullité de B_z.

invitec317278e · 22/08/2010, 13h31

Cependant, avec une distribution volumique de charge, le champ B doit exister et être dérivable partout, donc la seule solution est un champ nul, car sinon, B est infini sur l'axe...

**invite6dffde4c** · 22/08/2010, 13h43

Re.
Pas de charge magnétique, j'espère.

A+

invitec317278e · 22/08/2010, 13h57

trop tard pour éditer

invitebe08d051 · 22/08/2010, 20h41

Re,

Envoyé par LPFR

En fait, le résultat de l'intégrale de la densité de courant ne demande presque jamais de faire une intégrale:

$\text{[math]}$

où TLCQTLS veut dire "tout le courant qui traverse la surface".

Si la surface d'intégration est traversé par un fil qui conduit 1,3 A et un autre qui conduit 2,2 A, alors [T.L.C.Q.T.L.S.] vaut 3,5 A. Et on n'a rien à foutre des densités de courant. On s'en fout de la forme des conducteurs, de leurs surfaces, de l'angle et de l'endroit auquel ils traversent la surface.

Dans certains cas, par exemple, pour calculer le champ à l'intérieur d'un conducteur il faut bien passer par 'j', mais l'intégrale sera 'jS', si 'j' est constant dans toute la surface. Et je ne vois pas des cas où le 'j' ne serait pas constant dans des problèmes à votre niveau.

C'est bien ce que je pensais. (C'est d'ailleurs ce que j'ai fait dans mes calculs.

)

Que le problème nous impose de passer par les densités de courant, il faut savoir calculer la surface. (Tant que ce vecteur est constant bien sur

).

Je crois avoir saisi la chose, j'ai fait aussi quelques recherches, et j'ai trouvé la définition du vecteur densité de courant à partir de la vitesse d'une particule.

Sur ce point on est d'accord.

Envoyé par Thorin

Salut mimo13,
ce que tu écris signifie que tu considères toujours que le courant passe dans des fils à section circulaire. Pourquoi pas, après. Sauf que l'énoncé dit que l'on remplace ces fils par une distribution volumique uniforme : il ne doit pas y avoir de trous, d'endroits où le courant ne passe pas. Or, en considérant les fils comme étant à section circulaire, il y a des trous entre les cercles, donc des endroits où le courant ne passe pas.
Le fait de considérer la densité de courant comme uniforme implique donc que l'on doit faire comme si les électrons, au lieu de passer par un cercle de rayon a, passent par un carré de côté 2a ; de cette manière, la distribution de densité de courant devient uniforme.
La deuxième chose est le "5" : là, c'est vraiment un problème, c'est pas juste une histoire de petites approximations : i1 est le courant qui passe par un fil, et non le courant total qui passe par 5 fils superposés, donc la surface totale n'est pas 5*qqch, mais juste qqch.

C'est vrai que je n'ai pas fait attention à l'énoncé.
On est donc d'accord sur le $\text{[math]}$ . (Je trouve ton deuxième argument très élégant

)

En revanche, j'avoue que je n'ai toujours pas compris le "5", même avec une distribution volumique de charges, j'aurai toujours tendance à dire que la surface vaut $\text{[math]}$ . (En vérité ça me semble un peu grossier comme approximation)

Envoyé par Thorin

en fait, je ne crois pas que quiconque en connaisse (sauf à faire un calcul exact). Les justifications données sont toujours scabreuses (du genre : puisqu'on s'écarte à l'infini du solénoïde, le champ ne peut pas être non nul, sinon, l'énergie associée serait infinie !, etc...).

C'est vrai.

D'ailleurs comme l'a cité LPFR, j'ai tenté un calcul en utilisant Biot-Savard mais en vain, avec un paramétrage du solénoïde en coordonnées cylindrique, je suis tombé sur une intégrale totalement affreuse !!!!!

(D'ailleurs je ne suis même pas sur de mes résultats)

De ma part, la justification passant par le tore et le théorème d'Ampère me semble convaincante.

Merci à vous.

Cordialement

invitebe08d051 · 22/08/2010, 20h59

Envoyé par Thorin

L'argument permettant donc d'exclure la composante radiale est l'argument de symétrie, et non pas de divergence nulle.

De ma part, les arguments de symétrie et d'invariance sont aussi valables à l'intérieur qu'à l'extérieur du solénoïde.

Cad que $\text{[math]}$ .
( Invariance par rotation et par translation, mais aussi tout plan perpendiculaire à l'axe du solénoïde est un plan d'antisymétrie. )

Reste cette composante suivant l'axe, la divergence nulle ne donne rien.
Le problème c'est de trouver un argument valable seulement à l'extérieur du solénoïde...Peut-être en passant par l'énergie, où un champ qui décroit jusqu'à sa nullité à l'infini comme l'a cité Universus...

Bref, je préfère passer par le tore.

invitec317278e · 22/08/2010, 21h21

Envoyé par mimo13

Je crois avoir saisi la chose, j'ai fait aussi quelques recherches, et j'ai trouvé la définition du vecteur densité de courant à partir de la vitesse d'une particule.

Effectivement, sans connaitre cette définition, dur de voir ce que c'est

Envoyé par mimo13

C'est vrai que je n'ai pas fait attention à l'énoncé.
On est donc d'accord sur le $\text{[math]}$ . (Je trouve ton deuxième argument très élégant

)

En revanche, j'avoue que je n'ai toujours pas compris le "5", même avec une distribution volumique de charges, j'aurai toujours tendance à dire que la surface vaut $\text{[math]}$ . (En vérité ça me semble un peu grossier comme approximation)

Reprenons ;
faisons l'expérience de pensée suivante:
on prend un fil, parfaitement droit, parcouru par un courant i, ce fil est de section S.
Ce fil, on le tort de manière à en faire un cercle. A chaque endroit du fil, il circule toujours un courant i. Maintenant, ce fil, on le tort encore plus, de manière à ce qu'au lieu de faire seulement un cercle, il en fasse un premier puis un deuxième (comme une spirale, quoi).
Alors, à chaque endroit, on a 2morceaux de fils qui sont l'un juste au dessus de l'autre. Dans chaque morceau, il circule un courant i, et ce morceau a une section S. Mais on peut aussi vouloir considérer les 2 fils qui se superposent. Alors, on a une section 2S,...mais on a un courant total 2i qui circule dans cette section !
Pour le solénoide c'est pareil, le courant qui passe dans la surface 20a^2, c'est 5i, et donc les 5 se simplifient

invitec317278e · 22/08/2010, 21h47

Envoyé par mimo13

un champ qui décroit jusqu'à sa nullité à l'infini comme l'a cité Universus...

En colle, en 3/2, j'ai eu une kholleuse qui s'est essayé à "m'expliquer" pourquoi le champ devait être nul à l'extérieur. Elle a tenté une pirouette du genre "lorsque l'on est infiniment éloigné de la distribution de courant, il est impossible que l'on ait un champ non nul ! donc le champ doit être nul à l'infini, et comme rot B=0 nous donne que le champ est uniforme à l'extérieur, s'il est nul à l'infini, il est nul parout à l'extérieur". Pourquoi pas...sauf que dans ce cas, un plan infini uniformément chargé devrait créer un champ qui est nul à l'infini, alors qu'il est classique de montrer que le champ électrique créer par un plan infini est UNIFORME dans chaque demi espace, et non nul...
Quand je lui ai répondu ça, elle a essayé une seconde pirouette : "oui, mais un cylindre, c'est en gros de dimension 1 (comme une droite) alors qu'un plan est de dimension 2 : c'est normal qu'il puisse produire des effets à plus longues distance."

tout ça pour dire que des justifications simples (ie qui ne sont pas le fruit d'un vrai calcul explicite comme dans le cas où on fait tendre le tore vers un cylindre), tu n'en trouveras que des foireuses, que même les profs de prépa, les agrégés de physique, qui sont tout sauf mauvais en physique, ne seront pas capables d'autre choses que de pirouettes jouant sur l'intuition. D'ailleurs, si en colle, en te demande de trouver le champ magnétique d'un solénoide, t'auras généralement le droit de répondre "à l'extérieur, on montre facilement qu'il est uniforme, et en fait, on admet qu'il est nul" (et si on t'embête, ya une convention prof-élève qui fait qu'on attend de toi que tu donnes un argument faux mais qui a l'air vrai : "car à l'infini il est forcément nul...")...

invitebe08d051 · 23/08/2010, 00h27

Envoyé par Thorin

Reprenons ;
faisons l'expérience de pensée suivante:
on prend un fil, parfaitement droit, parcouru par un courant i, ce fil est de section S.
Ce fil, on le tort de manière à en faire un cercle. A chaque endroit du fil, il circule toujours un courant i. Maintenant, ce fil, on le tort encore plus, de manière à ce qu'au lieu de faire seulement un cercle, il en fasse un premier puis un deuxième (comme une spirale, quoi).
Alors, à chaque endroit, on a 2morceaux de fils qui sont l'un juste au dessus de l'autre. Dans chaque morceau, il circule un courant i, et ce morceau a une section S. Mais on peut aussi vouloir considérer les 2 fils qui se superposent. Alors, on a une section 2S,...mais on a un courant total 2i qui circule dans cette section !
Pour le solénoide c'est pareil, le courant qui passe dans la surface 20a^2, c'est 5i, et donc les 5 se simplifient

Parfait. (Faut dire que j'avais un peu la tête ailleurs

)

Envoyé par Thorin

tout ça pour dire que des justifications simples (ie qui ne sont pas le fruit d'un vrai calcul explicite comme dans le cas où on fait tendre le tore vers un cylindre), tu n'en trouveras que des foireuses, que même les profs de prépa, les agrégés de physique, qui sont tout sauf mauvais en physique, ne seront pas capables d'autre choses que de pirouettes jouant sur l'intuition. D'ailleurs, si en colle, en te demande de trouver le champ magnétique d'un solénoïde, t'auras généralement le droit de répondre "à l'extérieur, on montre facilement qu'il est uniforme, et en fait, on admet qu'il est nul" (et si on t'embête, ya une convention prof-élève qui fait qu'on attend de toi que tu donnes un argument faux mais qui a l'air vrai : "car à l'infini il est forcément nul...")...

Il faut dire que j'ai vécu l'expérience en sup.
C'est vrai que ça ne sert pas l'esprit physique mais tant que les profs l'acceptent on peut en profiter...

Merci Thorin

**invite6dffde4c** · 23/08/2010, 07h44

Envoyé par Thorin

J'en suis bien conscient, mais ça n'empêche pas qu'étrangement, si la formule que j'emploie est bonne, on a ici $\text{[math]}$ , et donc, un champ en 1/r satisfait pleinement cette équation

Il y a manifestement une subtilité qui m'échappe, car clairement, un champ en 1/r... diverge bien.
Ceci dit, de toute façon, la symétrie permet aussi bien de montrer la nullité de B_r ; ce qui pose problème est la nullité de B_z.

Bonjour.
Je reviens sur la formule de la divergence en cylindriques et sur le porc-épic.

Prenons un cylindre ou un fil infini chargé (électriquement). Le champ E est bien de la forme 1/r, el la divergence est bien nulle partout... où il n'y a pas des charges. Mais le champ diverge bien là ou il y en a (au niveau du cylindre), et l'intégrale de la divergence sur tout le volume d'un cylindre symétrique est bien différente de zéro.
Donc, à la surface du cylindre symétrique il y a bien des flèches qui sortent, mais à ce niveau la divergence est nulle car sur une couche près de cette surface, il y a autant des flèches qui rentrent dans la couche que qui en sortent.

Pour revenir à notre solénoïde, la divergence est nulle partout car il n'y a pas des charges magnétiques. Les flèches ne peuvent ni sortir ni rentrer du cylindre.
Au revoir.

invitec317278e · 23/08/2010, 11h19

Envoyé par mimo13

D'ailleurs comme l'a cité LPFR, j'ai tenté un calcul en utilisant Biot-Savard mais en vain, avec un paramétrage du solénoïde en coordonnées cylindrique, je suis tombé sur une intégrale totalement affreuse !!!!!

(D'ailleurs je ne suis même pas sur de mes résultats)

Pour voir si ça marchait réellement, je viens de m'attaquer au calcul direct via Biot et Savart, donc si ça t'intéresse, je peux te fournir la démo rigoureuse comme quoi le champ est effectivement nul à l'extérieur, sauf si j'ai fait des erreurs de calculs ^^ .

**invite6dffde4c** · 23/08/2010, 11h25

Envoyé par Thorin

Pour voir si ça marchait réellement, je viens de m'attaquer au calcul direct via Biot et Savart, donc si ça t'intéresse, je peux te fournir la démo rigoureuse comme quoi le champ est effectivement nul à l'extérieur, sauf si j'ai fait des erreurs de calculs ^^ .

Re-bonjour.
Très courageux!

(bien plus que moi).
A+

invitec317278e · 23/08/2010, 13h55

Bon, vu que de toute façon, pour garder une trace de ce calcul, je l'ai tapé, autant le poster :

Dans un premier temps, calculons la contribution au champ magnétique apportée par un élément de longueur $\text{[math]}$ du solénoïde, en un point quelconque de l'espace.
Cet élément de longueur $\text{[math]}$ est parcouru par un courant $\text{[math]}$ (le courant $\text{[math]}$ est le courant qui parcoure une spire et $\text{[math]}$ le nombre de spire par unité de longueur; le courant parcourant une suite de spires de longueur $\text{[math]}$ (un mini solénoïde de longueur $\text{[math]}$ , en fait) est donc $\text{[math]}$ ).

La loi de Biot et Savart nous donne que la contribution apportée par ce mini solénoïde s'écrit : $\text{[math]}$ .

Explicitons les éléments qui interviennent :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Maintenant, puisque l'on sait (symétrie oblige) que seule la composante suivant l'axe du solénoïde peut être non nulle, on ne va calculer que cette composante dans la contribution de notre mini solénoïde, et cette composante vaut :

$\text{[math]}$

J'en conviens aisément, ce n'est pas absolument trivial à calculer, c'est pour ça qu'on ne le fera qu'un peu plus tard.
Maintenant qu'on a exprimé la contribution de notre mini solénoïde, on va calculer la valeur de la composante de champ magnétique créé par la totalité du solénoïde :

$\text{[math]}$

Maintenant, on utilise fubini, et on inverse les intégrales, c'est ça qui rend le calcul humaine faisable

:

$\text{[math]}$

Vu comme ça, il nous faut donc calculer :

$\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Calculons donc cette intégrale. Je ne vais pas l'écrire, c'est au niveau de n'importe qui ici : il suffit de faire le changement de variable : $\text{[math]}$ , puis de se souvenir que $\text{[math]}$ .

on trouve donc $\text{[math]}$ .

Donc en remplaçant dans notre expression un peu barbare :

$\text{[math]}$

C'est déjà mieux, non ?
il s'agit maintenant de montrer que cette nouvelle intégrale est nulle.

Bon, j'ai choisi la méthode bourrin, même s'il doit sans doute y avoir plus astucieux : on pose $\text{[math]}$ .

Alors, $\text{[math]}$

Maintenant, procédé classique : décomposition en élément simple :

$\text{[math]}$

Or,

$\text{[math]}$
(en ayant posé $\text{[math]}$ et en s'étant rappelé que $\text{[math]}$ )

Finalement, la dernière égalité permet de conclure : $\text{[math]}$ !!!!!!!!

invitec317278e · 23/08/2010, 14h01

NB :
les images pour fixer les notations :

http://img840.imageshack.us/img840/230/solenoide1.png
http://img827.imageshack.us/img827/3277/solenoide2.png

**invite6dffde4c** · 23/08/2010, 14h03

Re.
Bravo à nouveau!

A+

invitec317278e · 23/08/2010, 14h07

Si tu pouvais lire pour vérifier que c'est correct, ça m'arrangerait

**invite6dffde4c** · 23/08/2010, 14h21

Envoyé par Thorin

Si tu pouvais lire pour vérifier que c'est correct, ça m'arrangerait

Re.
Désolé. Je pense que si j'avais 30 ou 40 ans de moins ça pourrait être utile. Maintenant je n'arrive pas à faire des calculs bien moins emberlificotés sans me tromper. Quand on dit que plus on vieillit plus on devient con, je vous confirme: c'est vrai.
J'ai regarde "en gros" et rien ne me choque. Mais je n'ai pas refait les calculs avec vous.
A+

invitebe08d051 · 23/08/2010, 18h12

Re,

Je viens de lire ton post, en refaisant le même calcul sur papier.
(Je t'en remercie au passage

)
Mais je m'arrête ici.

Envoyé par Thorin

Explicitons les éléments qui interviennent :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Avant de continuer, il y a quelque chose qui me gène.
Je ne sais pas si je vais me faire comprendre, mais pour moi $\text{[math]}$ à trois composante suivant $\text{[math]}$ .

C'est vrai que le "mini-solénoïde" est de longueur infiniment petite, mais une spire d'un solénoïde n'est pas un cercle.

J'avoue que c'est plutôt ce point qui me gêna dans mes calculs.
C'est OK pour $\text{[math]}$ mais pas pour $\text{[math]}$ ...

J'espère que vous avez compris mon point de vue.

Cordialement

invitec317278e · 23/08/2010, 18h20

Salut,
effectivement, une spire d'un solénoïde n'est pas un cercle.
Mais on fait toujours comme si ça l'était (par exemple quand on calcule le champ sur l'axe d'un solénoïde fini, on se base sur le champ sur l'axe d'une spire) ;

Donc, là, on se dit que mon calcul, finalement, même s'il se base sur les approximations que l'on fait toujours, n'est pas si exact que ça.

SAUF QUE CA NE CHANGE RIEN

.
En effet, on peut si on veut rajouter une composante selon $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , lorsque l'on fera le produit vectoriel, cette composante ne nous intéressera pas (car on sait déjà, pour des raisons des symétries, que les composantes suivant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ du champ magnétique sont nulles, pas besoin de les calculer)

D'autres remarques ou erreur constatées ?

invitebe08d051 · 23/08/2010, 18h24

Envoyé par Thorin

SAUF QUE CA NE CHANGE RIEN

.
En effet, on peut si on veut rajouter une composante selon $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , lorsque l'on fera le produit vectoriel, cette composante ne nous intéressera pas (car on sait déjà, pour des raisons des symétries, que les composantes suivant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ du champ magnétique sont nulles, pas besoin de les calculer)

Je voulais justement le signaler mais trop tard pour éditer.

Je continue.

invitebe08d051 · 23/08/2010, 18h55

Envoyé par Thorin

$\text{[math]}$

Sauf erreur, vue l'orientation je dirais que:

$\text{[math]}$

Magnétostatique