débit volumique d'un fluide incompressible

[invitee8d22590]

Bonsoir!

La rentrée est dans une semaine et en m'avançant un peu.

En fait je ne comprends pas comment montrer que le débit volumique d'un fluide incompressible est constant.

Pourquoi div v =0 ? et pourquoi cela explique la conservation du débit sachant que je connais (vite fait) le théorème de Green Ostrogradski.

Merci =D

[invitea3eb043e]

Le débit volumique d'un fluide incompressible n'est pas constant. La preuve, c'est qu'on a inventé les robinets.
La divergence en un point caractérise les sources et les puits de fluides. S'il n'y a ni l'un ni l'autre et que le fluide ne peut se comprimer, elle est nulle. En gros, cette divergence vaut moins la dérivée de la masse volumique, qui se trouve être constante donc à dérivée nulle.

[obi76]

Oui, c'est tout bête :

Imagines un cube infiniment petit de coté dx. Les 6 faces de ce cube font , et pour les faces normales à x, y et z respectivement..

Maintenant on regarde dans chaque direction : la masse accumulée dans ce cube () est égal à la masse qui rentre dans ce volume par chaque face moins la masse qui sort par chaque face. Sur x, cela revient à dire que la contribution d'accumulation de la masse par la vitesse est .

Au final, en ajoutant sur toutes les directions, on a :



donc,



on en déduit



Comme c'est un fluide incompressible,

On obtient , le terme de gauche étant la définition de pour un vecteur 3D, on en déduit

Autre moyen (Green-Ostrogradsky) :

Tu prend une surface fermée quelconque S. la masse accumulée dans cette surface S est simplement .
Or, par Green-Ostrogradsky, on sait que

,

on obtient directement :

, quelque soit le volume V considéré, ce qui revient à dire que



Cordialement,

[invitee8d22590]

Waouh merci de votre réponse!

En fait de je comprends pas à la fin quand vous dites "on obtient directement que la triple intégrale de div(v).dV=0 ? Est ce que c'est parce que v s'écrit rot de quelque chose ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

De part Green-Ostrogradsky, on a l'égalité suivante :

, avec V le volume délimité par la surface fermée S.