optique geometrique

[neo62950]

bonjour, voila je fais mes exo d optique et je bute sur l'un d'entre eux:

Deux miroirs plans forment un angle de pi/2 entre eux. Un rayon lumineux part du point S(a,b), se réfléchi en M(0,y) sur le miroir verticale, puis en N(x,0) sur le miroir horizontal, pour arriver en R(c,d)
S(a,b) coupe perpendiculairement le miroir verticale en H1 ( au dessus de M)
SM et MH1 forme l angle alpha
O est le croisement des 2 miroirs
OM et MN forme l angle bêta
MN et NO forme l angle gamma
R(c,d) coupe perpendiculairement le miroir horizontale en H2
RN et NH2 forme l angle téta

(j espère que c'est assez précis pour faire un schéma car je ne sais pas mettre de photo en ligne)

1_ En écrivant le chemin optique entre les points S et R et en appliquant le principe de Fermat, trouver 2 relations liant x et y

2_ En déduire 2 relation entre les angle alpha, bêta, gamma et téta, Conclusion.

3_ Comparer les directions SM et NR

Moi je bute sur la première question déjà donc pas la peine d'essayer le reste!!
Pour le chemin optique j ai:
SM= racine((SH1)²+ (MH1)²)
MN= racine ((OM)²+(ON)²)
NR = racine ((RH2)²+(NH2)²)
ensuite chemin optique = SM+MN+NR
je suppose qu'il faut voir le miroir verticale comme l'axe des Y (c'est d'ailleurs pour ca que l'on note M(0,y) car il est situé sur l'axe des Y mais je n 'arrive pas a établir de relation entre x et Y. Donc pour les angles c'est même pas la peine

J'espère vraiment que vous pourrais m'aider. Merci d'avance
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Faites un dessin.
Donnez des noms aux coordonnes des points de départ et arrivée (mettons x1, y1, x2, y2).
Exprimez la longueur du chemin optique en fonction de ces coordonnées et de x et y.
Cette longueur doit être un extrême aussi bien pour les variations de 'x' que de 'y'.
Donc, dérivez le chemin optique par rapport à 'x' et faites-la, égale à zéro.
Vous trouverez des choses du genre truc/racine(machin). Identifiez ça dans votre dessin: il s'agit des sinus ou cosinus d'angles. Et, plus précisément, il s'agit de l'égalité des angles d'incidence et réflexion.
Faites la même chose avec 'y'.
Ce sont les deux relations de la question 1.

Les deux angles trouvés ne sont pas indépendant, car ils correspondent aux de angles aigus du triangle xOy dont la somme est connue.

Pour poster des images cliquez sur le bouton "gérer les pièces jointes" sous la boité d'édition, et laissez-vous guider.

Au revoir

[neo62950]

bonjour
merci pour votre reponse, je vais essayer de faire ce que vous m'avez dit pour les 2 relations et je posterai mes resultats.
pour la photo du schema elle est trop volumineuse pour les pieces jointe donc j'essaie de l'heberger sur un site et je comuniquerai l'adresse.

Ce que je ne trouve pas normale c'est les angle. Lors d'une reflexion, l'angle d'incidence et l'angle de reflexion sont censer etre les meme. or sur le schema fournit avec l'enoncé ce n'est pas le cas (vous le verrez par vous meme) Pourquoi??

[neo62950]

http://www.4shared.com/photo/Tlz98QyP/DSCF1934.html

voici l'adresse du lien mais il n'est pas visible il faut cliquer sur telecharger maintenant pour pouvoir la voir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Re.
Le dessin est fait "sans connaître le résultat à l'avance". C'est à vous de montrer que gamma et delta sont égaux, puis qu'alpha et bêta sont aussi égaux.
Et on sait combien font gamma plus bêta.
A+

[neo62950]

sincerement je n arrive pas a determiner le chemin optique.
le chemin optique c'est bien le chemin menant de S à R?
si S(a,b)=S(x1,y1) et R(c,d)=R(x2,y2) donc h2=h2(x2,0) et H1(0,y1)

mais avec des points comment exprimer ma longueur??
pour SM par exemple je dois peut etre prendre la norme du vecteur SM??

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Entre le point S(a,b) et le point M(0,y) la distance est (Pythagore):
sqrt((a-0)² + (b-y)²)
Même chose pour les autres deux.
Au revoir.

[neo62950]

ok je vais voir ca

ben ui je suis bete vu ke H1S=a-0

[neo62950]

ca me donne:
SM=racine(a²+b²-2yb+b²)
MN=racine(x²-y²)
NR=racine (c²-2cx+x²)

SR=SM+MN+NR

tout ca je suis d'accord (c'est un peu un minimum^^)
mais je ne vois toujours pas comment etablir une relation entre x et y meme en remplacant avec x1 ou y1

[invite6dffde4c]

Re.
Ne simuliez pas les racines (et oubliez x1, y1, etc., puisque les noms sont déjà donnés dans l'énoncé).
Dérivez le chemin optique (oui, le tas de racines) par rapport à x.
A+

[neo62950]

re
encore merci de m aider.

vous me dites ne simulez pas les racines, qu'entendez vous par la??

pour deriver je derive SR ou chaque partit individuellement?

je suis desl je n'est jamais vu ca en cours et j'avoue que je galere

[neo62950]

toute facon ca revient plu ou moins au meme mais si je derise SM, SM'=0
est-ce normale??

[invite6dffde4c]

Re.
C'est une faute de frappe: ne simplifiez pas les racines. Laissez-les sous la forme sqrt((a-0)² + (b-y)²)
Vous verrez mieux pour dériver et pour identifier la fonction trigonométrique résultante.
Et dériver ne veut pas dire ajouter une ' à droite. Il faut dériver vraiment.
A+

[neo62950]

Qu' entendez vous par deriver vraiment?

meme si je laisse les racine sous cette forme en derivant par x j obtient:

dSM=0
dMN=(x)/(racine(x²+y²))
dNR=(1+2x)/(2racine((c-x)²+d²))
je ne voit vraiment pas ou ca me mene
merci

ca doit faire trop lontemps que j ai arrété l'ecole la reprise est plus dur que je ne croyais!!

[invite6dffde4c]

Re.
Regardez (x)/(racine(x²+y²)) dans le dessin. C'est un sinus ou un cosinus d'un angle.
Corrigez votre méfait dans la dérivée de NR et cherchez la fonction dans le dessin.
A+

[neo62950]

effectivement cos(gamma)=dMN=sinus(beta)
c'est bien ca??

par contre pour je ne trouve pas mon erreur sur dNR

[invite6dffde4c]

Re.
Oui, c'est bien ça.
Et débrouillez-vous pour trouver votre erreur. Recommencez sans regarder ce que vous avez fait et en faisant plus attention.
A+

[neo62950]

je suis bete vraiment

dNR/dx=x-c/racine ((c-x)²+d²))

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. Mais gardez (c-x) et non (x-c) qui vous donnerait des valeurs négatifs et sèmerait la pagaille dans vos angles.
A+

[neo62950]

je ne vois pas la relation sur le dessin cete fois

j ai bien cos(dela)= (c-x)/NR
alors que ma derivé= (x-c)/NR

[neo62950]

le seul moyen de garder c-x dans ma derivé c'est de mettre -(c-x) qui n'est pas egale a cos(delta)

[invite6dffde4c]

le seul moyen de garder c-x dans ma derivé c'est de mettre -(c-x) qui n'est pas egale a cos(delta)

Re.
C'est bon.
Cela vous donne cos(machin) - sin(truc) = 0 ou quelque chose dans le style.
A+

[neo62950]

pourquoi egale a 0??

j ai cos(beta)=sin(gama)=dMN/dy
sin(beta)=cos(gama)=dMN/dx
dNR/dx=-cos(delta)
dNR/dy=-cos(alpha)
ce qui me fait que dSR/dx=cos(gama)-cos(delta)=0
soit cos(gama)=cos(delta) dons gama=delta
idem pour beta et alpha

c'est juste?

[invite6dffde4c]

Re.
Parce que le chemin optique doit être un extrême. Donc, une petite variation de 'x' ou de 'y', ne doit pas changer la longueur du chemin.
Oui. C'est bien cela.
Combien vaut gamma + bêta?
Avec ça vous pouvez démontrer la relation entre les directions du rayon sortant et entrant.
A+

[neo62950]

gamma+beta valent 90° vu qu'ils sont complementaire
mais je ne voit pas comment trouver un rapport entre les 2 rayon en partant de la

[invite6dffde4c]

Re.
Regardez l'angle que fait la ligne en pointillés (horizontale) avec le rayon qui va de M à N.
Quelle est sa valeur.
Calculez l'angle sui fait le rayon incident avec la même ligne pointillée. Montrez qu'il est égal à delta.
A+

[neo62950]

uof c'est enfin terminer il ete temps encore un grand merci a vous vraiment un tres grand merci