Suite de Dissertation sur l'intrication quantique: Partie 1
INTRICATION ET PARTICULES IDENTIQUES
Soient 2 particules identiques interagissant avec un potentiel V( |r1-r2|) (qui correspondrait ici à l’interaction électrostatique de 2 électrons). Ici le potentiel dépend de la distance en valeur absolue, mais cette hypothèse n’est pas nécessaire.
L’hamiltonien s’écrit :
H(r1, r2) = [P1]2 + [P2]2 + V( |r1-r2|).
Les masses sont égales à 1 pour simplifier l’écriture.
Effectuons une permutation de la position des particules, l’hamiltonien devient :
H(r2, r1) = [P2]2 + [P1]2 + V( |r2-r1|).
On en déduit que :
H (r1, r2) = H(r2,r1)
Autrement dit l’hamiltonien est invariant par permutations des 2 particules. Donc il commute avec l’opérateur permutation représentant les opérations du groupe de permutation à 2 dans l’espace de Hilbert des 2 électrons.
On a donc [H,P] = 0.
Les opérateurs H et P commutent et donc ont un ensemble de vecteurs propres communs. Les valeurs propres de P (les caractères des 2 représentations irréductibles) sont 1 et – 1 et donc : 2 classes de solutions :
F(r1,r2) = F(r2,r1)
F(r1,r2) = - F(r2,r1)
Pour des raisons qui ne sont pas le sujet du fil il se fait que les fonctions symétriques par permutation sont des particules de spin entier : 0, 1, 2, …tandis que les fonctions anti-symétriques par permutation sont des particules de spin demi-entier.
Digression : Le fait que les particules se divisent en 2 camps suivant le groupe de permutations est valable en dimension 3 et supérieures, ceci pour des raisons topologiques. En dimension 2 les « contraintes » topologiques font que les particules sont classées selon les représentations du groupe des tresses. Il y a ainsi en plus de bosons et fermions toute une classe de particules que l’on appelle anyon ( expression probablement dérivée de anyone).
Par la suite on s’intéresse aux fonctions antisymétriques (celles qui correspondent au monde des fermions).
Les propriétés inattendues de 2 fermions indépendants.
Lorsque 2 particules sont sans interaction elles sont indépendantes, non corrélées : Ce qui veut dire en clair que le mouvement de l’une est indépendant du mouvement de l’autre.
Que se passe-t-il pour 2 fermions indépendants ?
Les solutions stationnaires de la particule 1 ou de la particule 2 sont solution d’un hamiltonien :
H ( r) Fn(r ) = En.Fn(r)
J’utilise désormais la représentation r et je suppose que les états sont non dégénéré (tout cela pour me simplifier les notations).
L’hamiltonien à 2 particules s’écrit :
H (r1,r2 ) = H(r1) + H(r2).
Les valeurs propres sont :
E(1,2) = En (1) + Em (2)
L’énergie du système est la somme des énergies des systèmes séparés, ce qui semble évident.
Les solutions propres sont :
F(1,2) = Fn(r1).Fm(r2)
Qui est solution dégénérée avec:
F(1,2) = Fn(r1).Fm(r2)
Comme la fonction doit être antisymétrique par permutation seule une combinaison linéaire des 2 états précédents est solution. C’est celle qui est antisymétrique par permutation.
Donc les solutions sont de la forme :
F(1,2) = Fn(r1).Fm(r2) - Fn(r2).Fm(r1)
On constate que l’état est intriqué et cela résulte de l’identité des particules
Interprétation de l’intrication.
Supposons qu’il n’y avait pas cette intrication due aux propriétés de symétrie. On aurait alors
F(1,2) = Fn(r1).Fm(r2)
Soit en termes de probabilité:
|F(1,2)|2 = |Fn(r1)|2. |Fm(r2)|2
Qui est par définition l’expression de l’indépendance de 2 fonctions aléatoires.
Que se passe-t-il si l’on fait le même calcul sur la bonne fonction :
F(1,2) = Fn(r1).Fm(r2) - Fn(r2).Fm(r1)
Si l’on prend le module au carré , il est évident que l’on ne pourra factoriser la densité de probabilité à cause du terme croisé : Donc les électrons sont corrélés alors même que par hypothèse ils sont indépendants.
Une manière simple de le voir :
Supposons r1 = r2 alors F(1,2) = 0
Ce qui signifie que la probabilité de trouver 2 particules au même endroit est nulle.
Nota :On rappelle ici que cela n’a rien à voir avec la répulsion de Coulomb qui ici n’existe pas. Si l’on avait fait le même calcul avec des fonctions symétriques, cad des bosons, on aurait trouver au contraire un renforcement de la probabilité de trouver 2 bosons au même endroit.
Probabilité jointe versus probabilité conditionnelle.
Maintenant si on intègre la densité de probabilité jointe sur une coordonnée, ce qui donne une probabilité conditionnelle de trouver une particule en r2 sachant qu’il y a une particule en r1 alors au constate qu’il y a un vide de densité de probabilité autour de r1. Ce vide de densité définit ce que l’on appelle un trou de corrélation d’échange. Le mot échange faisant référence à l’intrication et à la permutation des particules.
Les propriétés observables de ce trou de corrélations d’échange.
J’ai expliqué sur une liste de principes et d’effets spectaculaires de l’intrication des électrons. Je les nome sans commentaires.
1- La régle de Hund pour l’état fondamental des atomes.
2- le principe de Pauli.
3- L’origine des isolants et des conducteurs.
4- La tendance générale des corps au ferromagnétisme lorsque les atomes constituants ne sont pas à couches pleines.
5- L’énergie cinétique élevée des électrons au niveau de Fermi et à température nulle.
6- Les énergies cinétiques relativistes des neutrons dans les étoiles à neutrons.
7- la supraconductivité.
Etc…
Commentaire sur l’inexistence du rôle de la RR dans l’intrication:
En prenant seulement en compte les seules interactions d’échange on montre qu’ il y a un type de corrélations surréalistes, surréaliste car les particules sont indépendantes mais corrélées !!!!!. Si on tient compte des interactions de Coulomb, les corrélations effectives sont complexes car ces corrélations sont d’une certaine façon en compétition.
Quelle est l’origine de l’interaction Coulombienne ?
Elle résulte de la physique à basse énergie de la QED. On montre que en jauge de Lorentz le photon longitudinal (les 2 autres sont les photons transverses correspondant aux 2 états d’hélicité se transforment en interaction coulombienne. Cette interaction coulombienne n’est pas instantanée, elle se propage à la vitesse c.
L’interaction coulombienne est donc d’origine relativiste.
A contrario les corrélations d’intrication ont pour origine les propriétés de permutation dans l’espace R3 statique. Cette permutation peut se regarder comme une transformation continue et donc s’écrire en termes de topologie. Cela rejoint également l’origine du spin qui est également une propriété topologique des transformations dans R3.
Paradoxe des jumeaux de Langevin et paradoxe EPR.
Ce est qui choquant, c'est qu'il est impossible fondamentalement de concevoir un système physique comme constitués de parties indépendantes dotées de propriétés. c'est cet aspect de la MQ (ainsi que l'aléatoire intrinsèque à la MQ) qui déplaisait à Einstein.
Cette situation est paradoxale au regard de notre connaissance "spontanée" de la séparabilité de la même façon que les jumeaux de Langevin forment un paradoxe au regard de l'évolution des ages censés être identiques pour tout le monde.
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