loi de boltzmann

[invite5b28d0e3]

pourquoi ca vous semble logique qu'a l'equilibre?

pour n'importe quel macro etat:
les différents micro etat sont seulement obtenus par permutation des indices des particules or ces indices aurais pu etre fixés de n'importe quelle maniere par l'observateur, d'où l'equiprobabilité

Formuler comme ca je suis plutôt d'accord avec vous pour tout macroétat d'un système les microétats sont équiprobable.
Ce qui reviendrait a dire alors que le fait que le système soit ou non dans le macroétat "équilibre" ne changerais rien et que dans le macroétat ou il se trouve S=kln(omega)

Mais dans ce cas c'est autre chose qui m'échappe comment s'effectue le passage du système d'un macroétat qui ne correspond pas a l'équilibre vers un macro état qui correspond a son macroétat "équilibre". parceque si tout les microétats sont équiprobable pour moi alors le système reste dans le macroétat pour toujours.

Je m'explique par exemple si j'ai un système d'atome avec spins (sans couplage entre spins) a l'equilibre le système "se met" dans son "macroétat equilibre" (S max) tout les microétats sont équiprobables puis j'applique un champ magnétique alors les spins on tendance a s'orienter suivant le champ et durant un temps les microétats qui composent le macroétat ne sont plus equiprobables et alors le système transite vers un autre macroétat qui sera la encore sont macroétat d'equilibre.

C'est n'importe quoi???
-----

[invite9c7554e3]

peux tu m'expliquer pourquoi ce Lagrangien: ?

On trouve alors , d'où on déduit l'équiprobabilité (puisque est indépendant de s).

==> je ne comprends pas non plus cette phrase:

d'où on déduit l'équiprobabilité (puisque est indépendant de s).

mais ceci est dû au lagrangien qui est posé que je n'ai pas bien compris...

peux tu un peu plus detailler stp?

Pour ce que je disais précédemment, je voulais dire que dans l'exemple que j'ai donné, tu ne peux pas passer d'un micro-état à l'autre par simple permutation d'indices.

pour moi si

[Seirios]

mais ceci est dû au lagrangien qui est posé que je n'ai pas bien compris...

peux tu un peu plus detailler stp?

C'est simplement la méthode des multiplicateurs de Lagrange : http://fr.wikipedia.org/wiki/Multiplicateur_de_Lagrange

pour moi si

Il va falloir détailler un peu plus que ça

Par quelle permutation passes-tu d'un micro-état à l'autre ?

[invite9c7554e3]

Formuler comme ca je suis plutôt d'accord avec vous pour tout macroétat d'un système les microétats sont équiprobable. Ce qui reviendrait a dire alors que le fait que le système soit ou non dans le macroétat "équilibre" ne changerais rien et que dans le macroétat ou il se trouve S=kln(omega)

tout à fait, et d'ailleurs si ce que je dis est faux alors cela voudrais dire que l'on ne peut calculer une entropie que pour un seul etat = celui d'equilibre!

Mais dans ce cas c'est autre chose qui m'échappe comment s'effectue le passage du système d'un macroétat qui ne correspond pas a l'équilibre vers un macro état qui correspond a son macroétat "équilibre". parceque si tout les microétats sont équiprobable pour moi alors le système reste dans le macroétat pour toujours.

pour moi: les proba font que le systeme tend à acquérir le systeme le plus stable mais ce n'est qu'une limite theorique, c'est pour cela que dans la realité un systeme n'a pas toujours le temps d'arriver exactement dans le macroetat le plus probable mais il y tend

(j'espere ne pas repondre à coté de la plaque car je ne suis pas sur d'avoir compris ce que tu voulais dire....)

Je m'explique par exemple si j'ai un système d'atome avec spins (sans couplage entre spins) a l'equilibre le système "se met" dans son "macroétat equilibre" (S max) tout les microétats sont équiprobables puis j'applique un champ magnétique alors les spins on tendance a s'orienter suivant le champ et durant un temps les microétats qui composent le macroétat ne sont plus equiprobables et alors le système transite vers un autre macroétat qui sera la encore sont macroétat d'equilibre.

en fait je ne pense pas que c'est le microetat qui dicte comment va etre le macroetat.
le macroetat est une limite vers quoi tend le systeme et le micro etat n'est pour moi qu'une histoire de notation et condition initiale.

(si au depart de l'experience on note les particules d'une certaines facon alors on aura un certain micro etat, mais si on avait noté au départ differemment les particules on serait arrivé sur un autre microetat)

[invite9c7554e3]

C'est simplement la méthode des multiplicateurs de Lagrange : http://fr.wikipedia.org/wiki/Multiplicateur_de_Lagrange

je connais la methode des multiplicateur de Lagrange mais c'est l'application ici que je ne comprends pas "le coté physique" .
tu cherche à maximiser l'entropie mais sous quelles contraintes? (je n'ai pas vraiement compris ce que signifié tes contraintes dans l'equation que tu as posé, surtout le -1)

Il va falloir détailler un peu plus que ça
Par quelle permutation passes-tu d'un micro-état à l'autre ?

cf reponse ci dessus

[Seirios]

je connais la methode des multiplicateur de Lagrange mais c'est l'application ici que je ne comprends pas "le coté physique" .
tu cherche à maximiser l'entropie mais sous quelles contraintes? (je n'ai pas vraiement compris ce que signifié tes contraintes dans l'equation que tu as posé, surtout le -1)

Cela correspond à la contrainte , ou (c'est-à-dire que le système se trouve nécessairement dans l'un des micro-états accessibles).

cf reponse ci dessus

C'est bien ce que j'avais compris, mais il me semble que mon contre-exemple fonctionne...Si les trois particules ont la même énergie, tu as beau les numéroter de n'importe quelle manière, tu n'arriveras pas à briser la symétrie pour aboutir au second micro-état.

[invite9c7554e3]

Cela correspond à la contrainte , ou (c'est-à-dire que le système se trouve nécessairement dans l'un des micro-états accessibles).

OUPS, en effet, je n'avais pas fait assez attention

je comprends donc pourquoi tu parle d'equiprobabilité maintenant pour l'entropie max (mais à mon avis tu aurais la meme chose pour l'entropie mini)

C'est bien ce que j'avais compris, mais il me semble que mon contre-exemple fonctionne...Si les trois particules ont la même énergie, tu as beau les numéroter de n'importe quelle manière, tu n'arriveras pas à briser la symétrie pour aboutir au second micro-état.

je t'avous que j'ai du mal à saisir cette histoire d'energie et de brisure de symetrie car se que je dis me parais trivial et c'est juste une histoire de "norme-numerotation"

[invite93279690]

Bonsoir,

Il est très facile de faire des confusions sur les expressions de l'entropie.

Une des confusions possibles consiste à considérer l'entropie de Shannon

avec la distribution quelconque, comme étant l'entropie thermodynamique.

L'idée de l'utilisation de l'entropie de Shannon en physique statistique est d'inférer une distribution microscopique de probabilité sachant que notre système vérifie un certain nombre de conditions (d'ordre probabiliste ou non).

La méthode pour "deviner" cette distribution de la façon la moins biaisée possible consiste en effet à maximiser le manque d'information que l'on a sur le système ; i.e. à maximiser l'entropie de Shannon par rapport à la forme de la loi .

C'est la stratégie dont parle Phys2 et qui conduit à la formule de Boltzmann . Cette expression prend ensuite differentes valeurs en fonction de la taille de , autrement dit en fonction des contraintes que l'on a sur le système (contraintes qui, en principe, varient dans le temps). Typiquement, si ces contraintes ne sont pas des invariants dynamiques, alors toute évolution hamiltonienne du système les fera relaxer progressivement pour ne conserver que l'information minimale que l'on peut avoir sur le système ad vitam aeternam, i.e. les invariants dynamiques (comme l'énergie par exemple pour l'ensemble microcanonique).

[Seirios]

je comprends donc pourquoi tu parle d'equiprobabilité maintenant pour l'entropie max (mais à mon avis tu aurais la meme chose pour l'entropie mini)

Oui, il s'agit de trouver un extremum. Maintenant, l'interprétation physique nous dit bien qu'il s'agit d'un maximum, le macro-état ne correspondant pas à une probabilité minimale.

je t'avous que j'ai du mal à saisir cette histoire d'energie et de brisure de symetrie car se que je dis me parais trivial et c'est juste une histoire de "norme-numerotation"

Mon contre-exemple me paraît tout aussi trivial, et je ne vois pas comment expliquer davantage...

[invite9c7554e3]

Bonsoir,

Il est très facile de faire des confusions sur les expressions de l'entropie.

Une des confusions possibles consiste à considérer l'entropie de Shannon

avec la distribution quelconque, comme étant l'entropie thermodynamique.

L'idée de l'utilisation de l'entropie de Shannon en physique statistique est d'inférer une distribution microscopique de probabilité sachant que notre système vérifie un certain nombre de conditions (d'ordre probabiliste ou non).

La méthode pour "deviner" cette distribution de la façon la moins biaisée possible consiste en effet à maximiser le manque d'information que l'on a sur le système ; i.e. à maximiser l'entropie de Shannon par rapport à la forme de la loi .

C'est la stratégie dont parle Phys2 et qui conduit à la formule de Boltzmann . Cette expression prend ensuite differentes valeurs en fonction de la taille de , autrement dit en fonction des contraintes que l'on a sur le système (contraintes qui, en principe, varient dans le temps). Typiquement, si ces contraintes ne sont pas des invariants dynamiques, alors toute évolution hamiltonienne du système les fera relaxer progressivement pour ne conserver que l'information minimale que l'on peut avoir sur le système ad vitam aeternam, i.e. les invariants dynamiques (comme l'énergie par exemple pour l'ensemble microcanonique).

je t'avous ne pas avoir tout compris dans la derniere partie...
mais je me suis rendu compte que l'on avait pas la meme approche quant à la démo de cette formule.

Voici sur ce site une démo qui est dans la même "philosophie" que celle dont je vous parle

http://www.sciences.ch/htmlfr/mecanique/mecanstatistique01.php

[invite9c7554e3]

Oui, il s'agit de trouver un extremum. Maintenant, l'interprétation physique nous dit bien qu'il s'agit d'un maximum, le macro-état ne correspondant pas à une probabilité minimale.

oui je suis d'accord qu'on cherche un maximum pour l'equilibre, mais si en cherchant un minimum (donc hors equilibre) on trouve qu'il y a equiprobabilité cela doit bien vouloir dire que l'equiprobabilité n'est pas uniquement pour le systeme à l'equilibre mais aussi pour les systeme hors equilibre.

[Seirios]

ypiquement, si ces contraintes ne sont pas des invariants dynamiques, alors toute évolution hamiltonienne du système les fera relaxer progressivement pour ne conserver que l'information minimale que l'on peut avoir sur le système ad vitam aeternam, i.e. les invariants dynamiques (comme l'énergie par exemple pour l'ensemble microcanonique).

Je n'ai pas très bien compris cette partie ; je pense que je bloque tout simplement sur le terme "évolution hamiltonienne".

[invite9c7554e3]

Je n'ai pas très bien compris cette partie ; je pense que je bloque tout simplement sur le terme "évolution hamiltonienne".

de même, et sur invariants dynamiques

[Seirios]

oui je suis d'accord qu'on cherche un maximum pour l'equilibre, mais si en cherchant un minimum (donc hors equilibre) on trouve qu'il y a equiprobabilité cela doit bien vouloir dire que l'equiprobabilité n'est pas uniquement pour le systeme à l'equilibre mais aussi pour les systeme hors equilibre.

Mais ce minimum n'existe pas nécessairement.

[invite9c7554e3]

Mais ce minimum n'existe pas nécessairement.

il est un peu tard je commence à ne plus suivre...
peux tu me dire pourquoi? on peut bien passer du probleme de recherche de maximum à la recherche d'un minimum et il y a forcement un minimum à cette fonction S ?

[invite9c7554e3]

au fait pour ce site:

http://www.sciences.ch/htmlfr/mecanique/mecanstatistique01.php

==> sur la page mecanique statistique de ce site, il y a des choses avec lesquels je ne suis pas d'accords mais la démarche est la meme que ce que j'essai d'expliquer

[invite93279690]

de même, et sur invariants dynamiques

ok, une évolution hamiltonienne signifie "dynamique à énergie du système constante". Un invariant (une grandeur conservée par la dynamique) évident est donc l'énergie mais il peut y en avoir d'autres comme le volume par exemple.

Les invariants représentent ainsi la partie de l'information que l'on a à l'instant initial et que l'on retrouvera tout au long de l'''évolution d'un système, y compris à l'équilibre. D'ailleurs, dans ce dernier cas, les invariants dynamiques représentent l'unique information accessible pour decrire le système.

[invite9c7554e3]

merci pour les precisions

les fera relaxer progressivement pour ne conserver que l'information minimale que l'on peut avoir sur le système ad vitam aeternam, i.e. les invariants dynamiques (comme l'énergie par exemple pour l'ensemble microcanonique).

à present il n'y a plus que cela que je ne comprends pas:

les contraintes vont se relaxer pour arriver à l'info minimale (cad l'entropie max) OK mais apres je ne comprends pas la conclusion que tu en tire

[Seirios]

La méthode pour "deviner" cette distribution de la façon la moins biaisée possible consiste en effet à maximiser le manque d'information que l'on a sur le système ; i.e. à maximiser l'entropie de Shannon par rapport à la forme de la loi .

Une question toute bête : l'entropie de Shannon correspond à la valeur moyenne de l'information sur l'ensemble des micro-états (, d'où ) ; or l'entropie Boltzmann correspond, à un facteur multiplicatif près, à l'entropie de Shannon, c'est-à-dire que maximiser l'entropie de Boltzmann revient à maximiser l'information (au sens de Shannon) que l'on a du système...

[invite5b28d0e3]

Selon wikipédia se serait plutôt minimiser l'information c'est a dire qu'à l'équilibre S est max et c'est la qu'on a le moins d'information sur le système.

"En théorie de l'information, l'information est l'opposée du logarithme de la probabilité :



Dans ce contexte, l'entropie est définie comme la moyenne de l'information contenue dans le système :



C'est une fonction continue de plusieurs variables, dont on peut montrer qu'elle admet un maximum global lorsque tous les pi sont égaux (ce que tu fait avec les multiplicateur de Lagrange si j'ai bien compris). Ceci signifie qu'avec l'hypothèse d'équiprobabilité, S est maximale. On interprète cela en disant qu'on a alors un minimum d'information, ou encore un maximum d'incertitude, sur le système.
Par contre, quand l'un des évènements est certain, sa probabilité vaut 1 tandis que tous les autres pi sont nuls. On connait alors exactement la configuration du système et l'incertitude est nulle. Dans ce cas l'entropie admet sa valeur minimale, en l'occurrence 0."
cf. Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Physiqu...microcanonique (partie équiprobabilité et information)

[Seirios]

Il y a le même problème que dans ce que je décris dans mon message précédent : on maximise l'entropie (et donc la valeur moyenne de l'information) pour ensuite dire que l'information est minimale...

[invite93279690]

Une question toute bête : l'entropie de Shannon correspond à la valeur moyenne de l'information sur l'ensemble des micro-états (, d'où ) ; or l'entropie Boltzmann correspond, à un facteur multiplicatif près, à l'entropie de Shannon, c'est-à-dire que maximiser l'entropie de Boltzmann revient à maximiser l'information (au sens de Shannon) que l'on a du système...

Encore une fois, il y a une petite confusion mais qui est légitime.
L'entropie de Shannon est maximisée par rapport à toute la loi de probabilité P pour obtenir une loi P qui soit la moins biaisée possible (c'est une maximisation fonctionnelle si tu veux).

Lorsque les contraintes (que je vais noter) sur le système sont non probabilistes alors on tombe sur l'entropie de Boltzmann avec un associé. La recherche de l'équilibre se fait alors en suivant l'évolution du volume de en fonction du temps. Si on démarre avec plus d'information macroscopique sur le système que la simple connaissance des invariants dynamiques (par exemple, on peut commencer avec une distribution inhomogène des particules à l'instant initial) alors cette information qui n'a pas à être conservée par la dynamique va être progressivement diluée au cours du temps. Ceci qui va donc faire augmenter (pour presque toutes les conditions initiales comme dirait Boltzmann) le volume , car il y a moins de contraintes, et donc l'entropie par la même occasion ; c'est l'interprétation "Bayesienne" du second principe de la thermodynamique qui, il me semble, est très proche de celle qu'avait Boltzmann à la fin du IX eme.

P.S. : Après relecture de ton message, je me dis que je ne suis pas sûr de savoir de quelle entropie tu parles, l'entropie de Boltzmann telle que je l'ai écrite ou bien l'entropie H de Boltzmann associée au théorème H ? dans le deuxième cas, c'est très different car Boltzmann c'est intéressé d'emblé à une observable macroscopique (la distribution à un corps) alors qu'en physique statistique "standard" on s'intéresse à la distribution de probabilité d'être carrément en un point de l'espace des phases donné ce qui n'est pas du tout la même chose.

[invite93279690]

Il y a le même problème que dans ce que je décris dans mon message précédent : on maximise l'entropie (et donc la valeur moyenne de l'information) pour ensuite dire que l'information est minimale...

Tout dépend ce que l'on appelle "information". En réalité l'information I dans l'interprétation de Shanonn représente à la base le nombre de possibilités que l'on a d'arranger des variables de Bernouilli ordonnées en temps par exemple. D'un point de vue physique cela correspond donc à ce que l'on ne sait pas a sur le système. En effet, si on est sûr que le système est dans un état microscopique i donné alors P_i vaut 1 et l'entropie vaut zero. En revanche si on en est pas sûr alors l'entropie est non nulle et il en va de même pour le manque d'information.
Certains qualifient ce "I" de "surprise" plutot que de réelle information.

[invite9c7554e3]

Une question toute bête : l'entropie de Shannon correspond à la valeur moyenne de l'information sur l'ensemble des micro-états (, d'où ) ; or l'entropie Boltzmann correspond, à un facteur multiplicatif près, à l'entropie de Shannon, c'est-à-dire que maximiser l'entropie de Boltzmann revient à maximiser l'information (au sens de Shannon) que l'on a du système...

lorsque l'entropie est max l'information est minimum

[invite1091d7f6]

Salut,

Je me permet de déterrer ce post (encore qu'il n'était pas trop loin sous-terre ) après avoir pris le temps de ré-ouvrir des bouquins.

Il semblerait que la réponse qu'il s'en dégage est que la formule est valable tout le temps (ie. même hors équilibre thermo).

Je pense sincèrement que cela n'est pas vrai et je n'ai pas envie que ce post s'enterre dans l'état. Cette formule n'est valable qu'à l'équilibre thermodynamique (comme cela est écrit partout). Dis autrement, elle ne permet de calculer que l'entropie à l'équilibre.

Plutôt qu'une longue démonstration, un contre-exemple semble être le plus convaincant. Considérons un système {Verre d'eau à l'ambiante + Glaçon dedans}, le système n'est pas à l'équilibre thermodynamique (du moins pas avant que le glaçon n'est fondu). On ne peut pas utiliser la formule . En effet, le macro-état n'est pas défini car la température n'est pas constante dans le système. Il faut donc d'abord calculer l'entropie du glaçon et celle de l'eau puis les ajouter.

Ceci est un exemple simple mais qui laisse entrevoir des calculs bien plus compliqués si, par exemple, il existe un gradient de température dans le système.

Voilà, maintenant ce post peut s'enterrer en paix!

[invite93279690]

Je me permet de déterrer ce post (encore qu'il n'était pas trop loin sous-terre ) après avoir pris le temps de ré-ouvrir des bouquins.

Pourquoi pas.

Il semblerait que la réponse qu'il s'en dégage est que la formule est valable tout le temps (ie. même hors équilibre thermo).

En effet.

Je pense sincèrement que cela n'est pas vrai et je n'ai pas envie que ce post s'enterre dans l'état. Cette formule n'est valable qu'à l'équilibre thermodynamique (comme cela est écrit partout). Dis autrement, elle ne permet de calculer que l'entropie à l'équilibre.

Sauf que cela dépend de ce que tu appelles . Ce que j'essaie de dire depuis le début c'est que si ton n'est associé qu'à des observables macroscopiques invariables dans le temps (en gros le nombre de degrés de liberté et l'énergie pour l'ensemble microcanonique), alors effectivement c'est l'entropie d'équilibre. Par contre, si correspond à une configuration donnée avec des contraintes supplémentaires sur le système à un instant d'observation donné, on peu lui attribuer une entropie à l'aide de la formule de Boltzmann qui ne sera pas l'entropie d'équilibre.

Plutôt qu'une longue démonstration, un contre-exemple semble être le plus convaincant. Considérons un système {Verre d'eau à l'ambiante + Glaçon dedans}, le système n'est pas à l'équilibre thermodynamique (du moins pas avant que le glaçon n'est fondu). On ne peut pas utiliser la formule . En effet, le macro-état n'est pas défini car la température n'est pas constante dans le système. Il faut donc d'abord calculer l'entropie du glaçon et celle de l'eau puis les ajouter.

Tu n'as jamais fais le petit exo de début de cours de méca stat ou de thermo qui permet de montrer à partir d'un exemple exactement similaire au tient que l'entropie a un sens même dans ce cas mais c'est juste qu'elle n'est pas maximum ?

Voilà, maintenant ce post peut s'enterrer en paix!

Avant d'enterrer un post sur une erreur essaie de bien comprendre que l'entropie peut avoir un sens même hors équilibre, elle a même été faite pour ça ! Il est donc naturel de proposer une expression pour l'évaluer. L'expression de Boltzmann marche très bien pour ça.

[invite321f755c]

merci pour les bonnes explications,
mais est ce qu il ya quelqui'un qui peut nous donner une demonstration REELE de la formule de la loi de boltzman
S=KLn(omega)
et pourqoui le log et pourquoi le k ;car ce que je sais est que l'entrpoie est le manque des informations sur un systeme.et pourquoi la variation de l'entrpie par rapport a T donne la chaleur Q.