Centre de gravité

[Jon83]

Bonsoir!

Comment explique t-on que le centre de gravité (ou centre d'inertie) d'une plaque triangulaire de faible épaisseur et homogène est confondu avec l'isobarycentre des trois sommets?
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[Amanuensis]

Par symétrie.

[Jon83]

Dans un triangle quelconque, quelle(s) symétrie(s) utilise t-on?

[Amanuensis]

La notion de barycentre est affine, et non pas métrique. (Autrement dit, il n'est pas besoin de la notion de distance pour définir un barycentre, juste de la notion de rapport de distance sur une même droite, ce qui est plus faible.)

Tout triangle peut être transformé en triangle équilatéral par une transformation affine, avec conservation de tout barycentre (ou encore, prendre un barycentre commute avec toute transformation affine). Comme les deux barycentres en question coïncident pour un triangle équilatéral, ils coïncident pour tout triangle.

(Que ce soit au 1/3 des médiatrices se montre de la même manière, puisque le milieu d'un côté est l'isobarycentre des deux extrémités du côté...)

D'accord, j'emploie des armes lourdes, et ma première réponse était quelque peu provocatrice...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Tellement lourdes qu'elles m'échappent....

[Amanuensis]

Dans quel cadre est la question ?

J'ai répondu comme si la question était hors de tout cadre scolaire, en essayant d'aller "au fond des choses" (du moins selon ma compréhension).

Dans un cadre scolaire, et selon le niveau, il y a d'autres manières de montrer la propriété. (Et c'est parce ce qu'il n'y avait pas de tel cadre précisé que j'ai fait la réponse concise et quelque peu provocatrice.)

[Amanuensis]

PS : Exemple de méthode plus facile à comprendre, mais qui ne donne pas la "raison de fond" : se donner les sommets par des coordonnées (littérales), calculer le centre de gravité par intégration et vérifier que la formule littérale obtenue est la même que celle de l'isobarycentre des sommets...

[Jon83]

Dans quel cadre est la question ?

J'ai répondu comme si la question était hors de tout cadre scolaire, en essayant d'aller "au fond des choses" (du moins selon ma compréhension).

Dans un cadre scolaire, et selon le niveau, il y a d'autres manières de montrer la propriété. (Et c'est parce ce qu'il n'y avait pas de tel cadre précisé que j'ai fait la réponse concise et quelque peu provocatrice.)

Je n'ai pas de cadre particulier. C'est après avoir aidé un jeune voisin sur un exercice de mathématique de Terminale S portant sur les barycentres que je me suis aperçu que j'utilisais la définition du centre de gravité sans avoir vraiment compris la relation qu'il y avait entre la notion mathématique d'isobarycentre et la notion physique de centre de gravité.
J'ai trouvé cet article sur http://www.sendspace.com/file/ttrwye page 58

[Amanuensis]

Je n'ai pas de cadre particulier. C'est après avoir aidé un jeune voisin sur un exercice de mathématique de Terminale S portant sur les barycentres que je me suis aperçu que j'utilisais la définition du centre de gravité sans avoir vraiment compris la relation qu'il y avait entre la notion mathématique d'isobarycentre et la notion physique de centre de gravité.

La relation est principalement que le centre de gravité dans le cas considéré est un isobarycentre ! Celui de tous les points de la surface du triangle.

[Jon83]

La relation est principalement que le centre de gravité dans le cas considéré est un isobarycentre ! Celui de tous les points de la surface du triangle.

Je l'interprète ainsi: en appliquant la définition physique au calcul du centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène, on trouve un point G qui est confondu avec l'isobarycentre des trois sommets.

[Amanuensis]

Je l'interprète ainsi: en appliquant la définition physique au calcul du centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène, on trouve un point G qui est confondu avec l'isobarycentre des trois sommets.

On peut mettre une étape intermédiaire :

En appliquant la définition physique au calcul du centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène, on trouve un point G qui est mathématiquement l'isobarycentre de tous les points de la surface du triangle, qu'on montre être confondu avec l'isobarycentre des trois sommets.

[Jon83]

un point G qui est mathématiquement l'isobarycentre de tous les points de la surface du triangle, qu'on montre être confondu avec l'isobarycentre des trois sommets.

ça, je ne sais pas comment on le montre?

[Amanuensis]

ça, je ne sais pas comment on le montre?

C'était l'objet de mes premières réponses.

Une méthode "bourrin" comme on dit, c'est de résoudre par une intégrale (trouver G tel que et montrer que c'est aussi le point tel que ).

Une autre méthode (mon second message) exploite le fait qu'il existe un ensemble de transformations (les applications affines) qui respectent les barycentres et les droites, et qui permettent de passer de n'importe quel triangle non dégénéré à n'importe quel autre triangle non dégénéré.

[Jon83]

Une méthode "bourrin" comme on dit, c'est de résoudre par une intégrale (trouver G tel que et montrer que c'est aussi le point tel que ).

Le terme "bourrin" me semble péjoratif, même adoucis par des ""...
N'est ce pas la technique utilisée par les physiciens?

[Amanuensis]

Le terme "bourrin" me semble péjoratif, même adoucis par des ""...

C'est juste un vocabulaire "usuel". Il y a de nombreux problèmes qui n'ont que ce genre de solution, et considérer comme négatif les solutions "bourrin" serait une limitation !

N'est ce pas la technique utilisée par les physiciens?

Il n'y a aucune raison qu'un physicien se limite dans l'usage des outils mathématiques.

[Jon83]

Il n'y a aucune raison qu'un physicien se limite dans l'usage des outils mathématiques.

Certainement, je suis bien d'accord avec ça. Mais personnellement, je n'ai pas souvenir d'avoir rencontré un ouvrage de physique utilisant les "transformations affines" dans la recherche de centre de gravité, ou alors sans utiliser cette terminologie?...
Il faut donc que j'améliore ma culture mathématique qui probablement date un peu! J'ai hâte de savoir comment tout triangle peut être transformé en triangle équilatéral par une transformation affine, avec conservation de tout barycentre.
Je vais approfondir le sujet. Merci pour cette ouverture d'horizon!

[Amanuensis]

J'ai hâte de savoir comment tout triangle peut être transformé en triangle équilatéral par une transformation affine.

Triangle ABC : prendre la parallèle à BC passant par A, et faire "glisser" A sur cette droite jusqu'à obtenir un triangle isocèle en A (c'est une transformation affine (x,y) --> (x, y+kx)).

Prendre la hauteur/médiatrice en A, et faire glisser A jusqu'au point où le triangle est équilatéral (c'est une transformation affine (x,y) --> (x, ky)).

On montre que les transformations du type ci-dessus conservent tout barycentre de deux points (au sens l'image du barycentre est le barycentre des images), et donc, par associativité, tout barycentre.

C'est assez "visuel" en fait...