Différence de marche - Onde acoustiques

[invite64e915d8]

Bonjour,

Je sèche un peu sur la première question de mon exo

Je considère une source acoustique ponctuelle à une fréquence et un récépteur ponctuel R qui se déplace suivant une direction x avec une vitesse .

On note l'angle que fait la direction SR avec la vitesse v du récepteur et f la fréquence du son perçu par R. La vitesse v est très petite devant la vitesse c de propagation de l'onde.

Le signal émis par la source S à l'instant est reçu par le récepteur R en position et le signal émis par la source à l'instant est reçu par le récepteur en position

On suppose que la source est suffisamment loin du récepteur pour que l'onde parvenant en R soit localement plane.


Je dois exprimer la différence de marche en fonction de , et puis en fonction de , et .

Pour le premier cas j'ai trouvé

(on voit ici que si la différence de marche est nulle car le récepteur ne bouge pas et si - quand le récepteur se déplace à la vitesse de l'onde - la différence tend vers l'infini car le signal émis en n'atteint jamais le récepteur).

En revanche je n'arrive pas à exprimer cette différence en fonction de , et . Des idées ?
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[invite9ad0d8f3]

Bonsoir,

On sait que R1R2 = vT. De plus, en se plaçant dans le triangle SR1R2 (voir schéma), la formule d'Al Kashi nous donne :

SR1² = SR2² + (vT)² - 2*SR2*vT*cos(x) (x = theta),
donc SR1 = ...

Je te laisse continuer, sachant que le récepteur est très éloigné de la source, donc il y aura un petit développement limité à l'ordre 1 à faire.

[invite64e915d8]

Bonjour,

Je ne suis pas très à l'aise avec les DL : j'ai essayé de le développer en x proche de 0 mais je trouve une relation indépendante de



Comme la source est très éloignée, x tend vers 0 et on a :



Donc

[invite9ad0d8f3]

Qui est ton x qui tend vers 0 ?

On a :

soit :

(on s'arrange pour avoir vT/SR2 qui tend vers 0 car vT << SR2).

De là, le DL à l'ordre 1 est du type : (1+x)^a ~ 1 + ax

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite64e915d8]

Alors dans ce cas là je "trouve" :



Or tend vers 0 donc devient très négligeable :



On pose

Et le DL à l'ordre 1 nous donne

Donc

Je crois que cette dernière relation est la bonne ^^ Merci beaucoup !

Juste une dernière question : pourquoi je peux "virer" le terme qui tend vers 0 au carré et pas celui qui tend vers 0 tout court ? Cela vient-il du fait que je développe à l'ordre 1 ? Si j'avais voulu développer à l'ordre 2 aurais-je pu le "virer" ?

[invite9ad0d8f3]

Déjà, que ce soit pour un DL à l'ordre 1 ou à l'ordre 2, il faut garder sous la racine : c'est plus rigoureux.

Du coup, le DL à l'ordre 1 donne :

Or, on se limite à l'ordre 1 en vT/SR2, donc on peut "virer" (vT/SR2)² qui est un terme du 2nd degré.

Par contre, si on voulait faire un DL à l'ordre 2, il faudrait garder ce terme, mais aussi tenir compte du fait que, à l'ordre 2 :



On aurait donc :



On sait que le développement de donnera trois termes, dont deux qui seront du 3ème et du 4ème degré en vT/SR2. Comme on se limite aux termes du 2nd degré, on omet ces deux termes, et on ne garde que celui du 2nd degré :

[invite9ad0d8f3]

NB : après "On aurait donc", il faut lire :