Je prends deux opérateurs hermitiens A et B,
leur commutateur [A,B] et sa valeur dans l'état d'un vecteur propre de A ou B, b> par exemple
<b,[A,B]b> = <b,ABb>-<b,BAb>
en utilisant les adjoints ca semble toujours donner zéro sans avoir supposé que A et B commutent.
D'abord est ce vrai en dimension finie?
Bonsoir,
Que veux tu dire en utilisant l'adjoint ? Parce que a priori ça je n'arrive pas à voir que ça donne zéro (à part si |b> est vecteur propre de A et de B mais dans ce cas...)
Pour le 2eme terme (* pour adjoint, ici B* = B)
-(<b,B(Ab)>=-<B*b,Ab>= -b<b,Ab>
Bon je ne sais pas si c'est l'heure qui m'empêche de voir l'erreur ou si il n'y en a pas mais effectivement ça semble juste. Bon après d'un certain point de vue on a les relations d'incertitudes qui s'écrivent pour deux observables A et B :. Donc d'un certain point de vue pour un vecteur propre de B on a
Bonjour,
Vous semblez avoir démontré que c'était vrai (et Magnétar a donné une raison pour laquelle cela est raisonnable). Dans un exemple plus concret, on peut utiliser les matrices de Pauli pour se rendre compte que cette propriété est vérifiée.Envoyé par alovesupreme
Le fait que les deux opérateurs n'aient pas besoin de commuter n'est pas si problématique que ça ; ce n'est pas pire que de dire qu'il peut exister des fonctions f et g telles que
Remarquons néanmoins qu'il y a un certain problème qui peut émerger si on considère par exemple
Ainsi, votre démonstration est vraie en dimension finie, mais chaque étape de celle-ci n'est pas nécessairement vérifiée en dimension infinie, d'où certaines précautions à avoir.
Non ca ne marche pas meme en dimension finie. D'abord il ne suffit pas de montrer que <b,[A,B]b> s'annule. Il faut prendre une base b_i indicee par i pour disons B est montrer que
<b_i,[A,B]b_j>=0
pour toute paire i,j dans la base. Notez alors que si A et B sont simultanement diagonalisables, cela marche bien (c'est ce que Magnétar disaient) : ils commutent. Cependant, si A et B ne sont pas simultanement diagonalisable, cela ne marche plus. Heuresement, sinon tous les operateurs hermitiens commuteraient. Voyons cela.
<b_i,[A,B]b_j> = b_j<b_i,Ab_j> - b_i*<b_i,Ab_j>
or par definition il doit y avoir au moins un i different de j pour lequel <b_i,Ab_j> est non nul. En effet, si pour tout i different de j
<b_i,Ab_j>=0
alors |Ab_j> est proportionel a |b_j> (ou nul) contrairement a l'hypothese que A n'est pas diagonal dans la base |b_i>.
J'espere que cela aide.
Pardon, je voulais dire "par hypothese" (A et B ne sont pas simultanement diagonalisables)
Je parlais des moyennes
j'ai vérifié sur le commutateur de matrices de Pauli. sa moyenne est nulle sur 4 vecteurs non nuls.
Ca m'avait paru bizarre. mais non.
Effectivement pour des spectres continus ca se complique, operateurs non bornés et autres...
tu démontres effectivement que la valeur moyenne du commutateur sur tout vecteur propre de l'un des opérateurs doit être nulle....
il y a néanmoins effectivement un léger paradoxe quand ce commutateur est constant, comme c'est le cas pour x et px ... comment la valeur moyenne peut etre nulle alors que le commutateur est constant, il devrait avoir comme valeur moyenne cette valeur constante !!
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J'etais completement a cote de la plaque ! Desole...
En fait j'étais trompé par le fait que la moyenne est nulle sur 2n vecteurs.
les matrices hermitiennes etant complexes le probleme en dimension fini se poserait au delà de n^2 -n(n+1)/2 vecteurs?
Pour les operateurs de position et d'impulsion,
Il me semble que le probleme ne se pose pas de la même façon.
Si l'on prend comme d'habitude l'espace L2 des fonctions de carré intégrable, les vecteurs propres des opérateurs n'appartiennent pas à L2, et on ne peut écrire
les memes égalités.
Autre façon de voir les choses:
pour déterminer si deux opérateurs hermitiens quelconques commutent (sur tous les vecteurs)suffit il de trouver un certain nombre tq <v,ABv> = <v,BAv>?
Je ne sais si en dimension non finie il y a une généralisation.
