refroidissement d'une tasse de café urgent

[invitebc918133]

car le gradient je comprend pour la poutre mais puis-je le modéliser pour la tasse?
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[invite2313209787891133]

Je ne vois pas à quoi correspond ce que tu appelles grad(T).
est le flux de chaleur (en watts) qui s'échappe de la tasse.
Pour modéliser il faut considérer l'ensemble des paramètres que l'on connais:
- La tasse contient une masse donnée de liquide de Cp connu (on prend celui de l'eau).
- La température descend avec une certaine vitesse; tu veux assimiler cette perte à une droite donc le raisonnement sera simplifié.
- Connaissant la pente de la droite de température et la capacité calorifique de la tasse on retrouve la droite du flux de chaleur qui s'échappe de la tasse d = m x Cp x dt

PS: Je ne comprend pas cette histoire de poutre non plus.

[invite2313209787891133]

Petite erreur : d = (m x Cp x dt°) / Dt ; il me semblait bien que j'oubliais une grandeur...

[invite93279690]

car le gradient je comprend pour la poutre mais puis-je le modéliser pour la tasse?

Salut,

Une façon simple de faire consiste à d'abord modéliser la paroi de la tasse comme une plaque à une dimension d'épaisseur d.
A gauche de la plaque (disons en x=0) tu as une température et à droite (en x=d) tu as .

Considères maintenant l'équation de la chaleur :

où est le flux de chaleur.

Sur des petites échelles de temps, le flux de chaleur va être stationnaire i.e. tu vas avoir le membre de droite de l'équation ci dessus qui va valoir zero. Autrement dit la température dans la paroi sur cette échelle de temps ne varie pas dans le temps. En revanche, les conditions aux bords te disent que sa distribution dans l'espace ne peut pas être uniforme. Tu as donc et
avec la loi de Fourier

en utilisant les conditions aux bords tu trouves donc :

Tu sais donc que .

Ensuite tu passes à une échelle de temps supérieur et par commodité tu appelles le rapport la perméabilité thermique de ta paroi.
Si maintenant tu considères l'ensemble de ta tasse de café, la variation de température en un temps au voisinage d'un temps associé à cette modélisation ( devient la température de la tasse et la température extérieure) va être simplement l'opposé du flux de chaleur sortant i.e. .
Où et où est la section de la surface de la paroi.
Tu peux donc faire le rapport et avoir :


La solution de cette équation est une exponentielle décroissante. Si tu connais l'épaisseur de la paroi de la tasse tu peux en déduire une valeur du coefficent de diffusion thermique dans la paroi de la tasse.

N.B. : cet type de résolution "par étape" est connu sous le nom d'hypothèse adiabatique dans laquelle on sépare les échelles de temps entre la relaxation de la température dans la paroi (qui atteint un profil d'équilibre très rapidement) et l'évolution de la température du café lui même qui est beaucoup plus grand.

[invite2313209787891133]

En réalité la résistance thermique de la paroi de la tasse est très faible devant celle de l'interface tasse/air. Celle ci n'a pas grande influence.
Il conviendrait plutôt de considérer l'échange avec l'extérieur comme un coefficient d'échange global unique, comprenant la convection et la radiation.
On peut donc ramener le problème à une couche d'air d'épaisseur quelconque faisant tampon entre la paroi externe de la tasse (considérée à la température du café) et l'air (considéré à température ambiante).

[invitebc918133]

Désolé de vous avoir embêter mais mon prof à répondu à mon email en me disant qu'il fallait que nous nous concentrions sur la VITESSE de refroidissement et donc la loi de refroidissement de Newton.
Par contre sur wiki ils disent sur cette loi que

d T(t)/d t = - r (T - T(env))

avec r une constante positive mais il ne précise pas les dimensions de r. Plus haut vous m'avez dit que c'était to (constante de temps) mais comment le démontrer!!!!!

N'y a-t-il pas le coefficient de convection thermique qui rentre en jeu?

[invitebc918133]

ou alors la conductivité thermique?

[invite93279690]

En réalité la résistance thermique de la paroi de la tasse est très faible devant celle de l'interface tasse/air. Celle ci n'a pas grande influence.
Il conviendrait plutôt de considérer l'échange avec l'extérieur comme un coefficient d'échange global unique, comprenant la convection et la radiation.
On peut donc ramener le problème à une couche d'air d'épaisseur quelconque faisant tampon entre la paroi externe de la tasse (considérée à la température du café) et l'air (considéré à température ambiante).

Ok mais pour la radiation comme tu l'as dit plus haut c'est un terme non linéaire en réalité donc d'une façon ou d'une autre il n'est pas important dans la manip considérée non ?

[invitebc918133]

oui par contre j'ai réussi à démontré les dimensions de k qui est en seconde -1
par contre comment prouver que c'est k = to

[invite2313209787891133]

Ok mais pour la radiation comme tu l'as dit plus haut c'est un terme non linéaire en réalité donc d'une façon ou d'une autre il n'est pas important dans la manip considérée non ?

Il faut le prendre en compte car il intervient environ pour moitié de la perte de chaleur, mais par contre, bien que la chaleur évolue avec la puissance 4eme de la température, on peut l'assimiler à une fonction plus simple sur l'intervalle considéré.

Je me suis amusé à mettre ce système en équation afin de représenter la part radiative et convective. Sur le graphique on peut voir le flux de chaleur vers l'extérieur (en watts) pour un mug de taille standard en fonction de la température du contenu.
On constate que sur l'intervalle (80 à 20°C) les 2 types de transferts sont pratiquement équivalents.

[invite93279690]

Il faut le prendre en compte car il intervient environ pour moitié de la perte de chaleur, mais par contre, bien que la chaleur évolue avec la puissance 4eme de la température, on peut l'assimiler à une fonction plus simple sur l'intervalle considéré.

Je me suis amusé à mettre ce système en équation afin de représenter la part radiative et convective. Sur le graphique on peut voir le flux de chaleur vers l'extérieur (en watts) pour un mug de taille standard en fonction de la température du contenu.
On constate que sur l'intervalle (80 à 20°C) les 2 types de transferts sont pratiquement équivalents.

Intéressant donc c'est une approximation du genre :
convection :
radiation :

Donc voilà bac30 tu as plus qu'il n'en faut pour épater ton prof !