Analyse vectorielle : problème de gradient

[invite63615044]

Bonjour,

Je m'en remets à vous pour une question portant sur l'opérateur gradient qui me paraît inextricable.

Je considère ici une fonction qui à tout point de l'espace repéré en coordonnées cartésiennes associe son image . Je m'intéresse maintenant au gradient de cette fonction.

On sait que, lorsque les variables d'espace et de temps ne sont pas liées (en mécanique non relativiste notamment), on peut écrire :



Mon problème vient des conditions d'application de cette égalité. Un exemple : si l'on considère la fonction telle que , on a alors :



En utilisant la définition précédente, on a également :



Soit :



Supposons maintenant que vérifie l'équation différentielle . Dans ce cas, on a incohérence : le membre de gauche donne alors .

Notre égalité initiale ne serait donc pas vérifiée ! Certes, dans ce cas particulier, variables d'espace et de temps ne sont pas vraiment indépendantes puisque notre équation différentielle présupposée nous signale que s'écrit comme une exponentielle du temps et dépend donc bien de . Pourtant, dans tout problème de mécanique, les coordonnées spatiales sont bien solution d'équations différentielles et pourtant, on peut logiquement vérifier notre égalité.

Qu'en pensez-vous ?
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[invitedc31994f]

Le théorème qui permet d'intervertir les dérivées pour une fonction de plusieurs variables est le théorème de Schwartz. Il faut que ta fonction soit de classe C². L'exemple que tu donnes fonctionne, même en prenant dz/dt=z. En effet si z vérifie cette équation alors z=e(t). On trouve bien que la dérivée temporelle du gradient de z est égale au grandient de la dérivée temporelle de z. Il n'y a pas d'incompatibilité.

[invite63615044]

Exact pour le théorème de Schwarz. J'ai souvent rencontré la condition que j'ai donnée pour intervertir les dérivées en physique mais elle ne semble pas rigoureuse.

Cependant l'exemple simple que je donne pose bel et bien un souci : f est de classe C² mais pourtant, selon que l'on calcule le gradient de 2z² (dérivée temporelle de z²) ou la dérivée temporelle du gradient de z², on ne trouve pas le même résultat... À moins d'une erreur de ma part.

[Amanuensis]

Si le champ vaut z² avec z une des coordonnées, il est invariant dans le temps. La coordonnée z d'un point, c'est la coordonnée z d'un point, et ce n'est pas soumis à une équation différentielle.

Si le champ vaut , c'est un autre champ, et son gradient vaut 0.

Ce qui soumis à équa diff, ce sont les coordonnées d'un point matériel mobile, pas les coordonnées des points de l'espace de référence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63615044]

En fait plus simplement sans parler de gradient, on a ici



Avec

Mais à mon avis le problème est que la fonction ne dépend pas directement de deux variables "simultanées". Elle est fonction d'une variable elle-même fonction d'une autre variable, d'où mon interrogation.

[invite63615044]

@Amanuensis : exact, je pense que mon souci vient du souci dans la notation que j'ai utilisé pour repérer la position du point en question. Merci.

[Amanuensis]

annulé.....