Oscillations forcées (étude d'un sismographe) MPSI

[invitee2292944]

Bonjour à tous,

Je doit établir l'équation d'un mouvement en régime forcé mais je n'arrive pas au bon résultat.

j'ai un objet M de masse m fixé à à un ressort (de raideur k) sur lequel il repose et l'ensemble repose sur le sol. O1 est le point ou est M à l'équilibre, O le point du sol à la verticale du point M. x (t) est la position de M par rapport à sa position d'équilibre (O1). L'axe (Ox) est orienté vers le bas

Forces:


Après l'étude en oscillation libre on rajoute la force excitatrice :

agissant sur le sol qui n'est donc plus galiléen, on note alors A l'origine fixe du nouveau référentiel galiléen.

Je dois montrer que l'équation différentielle du mouvement vérifié par l'élongation x(t) du point M est :


Et je n'y arrive pas, donc il y a quelque chose que je ne doit pas comprendre

J'ai le PFD suivant :






Bref, en projetant sur (Ox) je me retrouve avec pratiquement la même équation mais avec du s(t) et du s'(t) en plus alors que je ne devrais avoir que du s''(t).
Les expressions de a et de v doivent être fausses mais je ne comprend pas pourquoi !? Si quelqu'un peut m'expliquer, merci d'avance.
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[Jeanpaul]

s(t) n'est pas une force, c'est le déplacement du sol, pas pareil !
Le plus simple est de raisonner dans le repère du sol et de dire que la force est celle du ressort + l'amortissement + la force d'inertie et c'est exactement l'équation du mouvement que tu cherches.

[invitee2292944]

En fait dans le cours, on disait que M subissait une force excitatrice et on l'ajouttait au PFD, on n'a pas encore parlé de force d'inertie.

[Jeanpaul]

Alors le cours sort des formules pas homogènes car w² s n'est une accélération que si s est un déplacement et non une force.
Peux-tu reproduire l'extrait du cours en question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee2292944]

Dans l'exemple du cours le point M subit l'action d'une force exitatrice

Grâce au PFD on arrive à l'équation

ensuite on pose

et on arrive à

on trouve quelque chose de la forme de ce qui est demandé dans l'exercice.

Mais c'est vrai que là on n'est pas dans le même cas, y a-t-il un autre moyen de passer de s(t) à une force sans utiliser la force d'inertie ?

[Jeanpaul]

Il faut noter un truc : c'est que la position x est repérée par rapport au sol, donc dans un repère non galiléen.
La force de rappel, ce sera toujours - k x, pas de raison : le ressort est entraîné.
Le frottement, ce sera toujours - 2 m lambda dx/dt (frottement visqueux dans l'air)
MAIS ce qui change, ce sera l'expression de l'accélération absolue, qui sera la dérivé seconde, non de x mais de x+s qui est la position du mobile dans l'espace galiléen.

Alors si tu écris que F = m d²(x+s)/dt², tu trouveras exactement ce que tu cherches. En passant, tu découvriras que - m d²s/dt² se comporte exactement comme une force et c'est ça, la force d'inertie.

[invitee2292944]

Oui ça marche, j'ai compris, enfait je croyais que le mouvement du sol "rajoutait" des frottements contenus dans l'expression -2 m lambda v alors que ça reste uniquement les frottements visqueux de l'air. Merci beaucoup pour vos explications !