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Etude mécanique d'un sismographe



  1. #1
    rouxc

    Etude mécanique d'un sismographe


    ------

    Bonjour a tous

    j'ai quelques soucis concernant l'étude d'un sismographe composé d'un ressort, d'une masse et d'un amortisseur en série :

    http://img219.imageshack.us/img219/7...stitre1cg6.jpg

    1/ Si on fais le bilan des forces pour chacun des éléments on a :
    - pour le ressort : force de rappel T=-kx(t) dirigée vers le haut.
    - pour la masse : force de rappel du ressort T et son pois P=mg dirigé vers le bas.
    - l'amortisseur est solidaire au boitier, donc en équilibre. On ne prends pas en compte son poids et la réaction du support qui lui sont appliqués.

    Le système ressort-masse est également soumis à une force de frottement due a l'action de l'amortisseur : F=f.dx/dt

    2/ En fait je pensais considérer le système ressort-masse-amortisseur comme un simple système masse-ressort soumis à une force de frottement (produite ici par l'amortisseur). Dans ce cas la, avec le PFD on aurait la chose suivante :
    T+P+F=m.a soit :


    La question 2 consiste également à : "écrire l'équation fondamentale de la dynamique appliquée à ce système. On obtiendra une équation différentielle du second ordre forcée par la dérivée seconde de y(t).
    Expliquez l'origine de cette dérivée seconde."


    Je crois que je ne vois pas trop trop comment faire. Faut-il simplement écrire une relation entre s(t) et y(t) du genre ?

    -----

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  3. #2
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Le mieux est de prendre comme système la masse seule.
    La force exercée par l'amortisseur est -fdx/dt
    dm

  4. #3
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Si je prends la masse seule comme système avec pour bilan des forces :
    -son poids P
    -la force de rappel T
    -et la force de frottement F=-f.dx/dt

    J'obtiens donc bien ce que j'avais non ? Mise à part l'erreur de signe sur la force de frottement :

  5. #4
    LPFR

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Bonjour.
    L'équation que vous venez d'écrire est la bonne (sous réserve qu'il n'y ait pas d'erreur de signe). C'est la réponse à la question 2. Je pense que dans la question on a mélangé x et y.

    La réponse sera celle d'un oscillateur harmonique amorti avec des oscillations forcées.
    Au revoir.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    sauf erreur de ma part, il y avait un problème de signe.
    tu ramènes tous les termes en x d'un coté, -mg de l'autre (qui n'induit qu'un décalage de la position d'équilibre) et tu as l'équa diff du mouvement de la masse dans le réf d'étude.
    si le sismographe est soumis à une excitation (type tremblement) il faut ajouter une force d'inertie du type -mae où ae est l'accélération d'entrainement dans ton référentiel qui n'est plus galiléen du fait du tremblement.
    c'est bon ?
    dm

  8. #6
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Compléments:
    pour les sismographes on a l'habitude de prendre des systèmes de période propre la plus importante possible afin d'obtenir une réponse en amplitude proportionnelle à l'accélération de l'excitation.
    dm

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  10. #7
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Bonjour.
    Je pense que dans la question on a mélangé x et y.
    Soit c'est ça, soit il nous manque des informations. Disons qu'on a mélangé .


    dmeier, pour ce qui est des erreurs de signes, je pense qu'il n'y a plus de problèmes si ? La force de frottement est opposée au mouvement donc signe négatif, idem pour le poids puisqu'il est orienté vers le bas, et la force de rappel toujours notée -kx. Ca me semble correct :



    Passons à la question 3 : On souhaite réduire le nombre de paramètres apparents (m,k,f) en définissant la pulsation propre du système  et le facteur de qualité . Réécrire l'équation obtenue en faisant apparaître ces deux paramètres. On posera :

    On a donc : avec

  11. #8
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    pour les signes c'est bon.
    pour la question 3, j'ai un peu de mal sans la question...
    ceci dit je ne comprends pas la raison de poser d2x/dt2 de la sorte.
    dm

  12. #9
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Siii, la question 3 y est, je l'ai mise en italique .
    Je vais mettre quelques questions d'avance comme ça, plus de problèmes ^^ :
    http://img248.imageshack.us/img248/7...stitre5ut2.jpg

    Je pense que poser la dérivée seconde de cette façon aura sont utilité dans la suite du TP, notamment pour les tracés de trajectoires etc ...

    Pour la question 4, je suis arrivé au système suivant :


    en dérivant l'équa-diff donnée par le PFD.

    Pour la forme z(t) et G(t), je ne sais pas si j'ai bien compris la question. Je suis juste passer en écriture vectorielle :


  13. #10
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    A relire l'énoncé et avec la suite, je pense que x(t) est le déplacement par rapport à la position d'équilibre donc plus de g dans l'équa diff.
    y est la position par rapport au sol donc il faut ajouter un terme de forçage en md2y/dt2
    Enfin le f du coefficient de frottement ne doit pas être confondu avec la fonction f(t) qui simule le forçage
    dm

  14. #11
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Donc d'après toi ce serait ca :
    ?

    Je n'ai pas trop compris le terme de forçage, je crois bien que je ne l'ai jamais vu. Idem, pourquoi tu enlèves g ?

  15. #12
    LPFR

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Citation Envoyé par rouxc Voir le message
    On posera :
    Re.
    Désolé, mais c'est incorrect.
    Cela impliquerait que la deuxième dérivée de x soit constante ce qui est faux puisque la solution est une solution variable dans de temps.

    A part cela, je ne vois nulle part, dans l'équation, le séisme. C'est peut-être ici où x et y entrent en jeu. Un des deux doit être un repère fixe et l'autre le support sur lequel est attaché le ressort et qui bouge avec la terre.
    N'auriez-vous pas un dessin du problème (de l'énoncé).
    A+

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  17. #13
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe


  18. #14
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    ok pour moi tu as la bonne équa diff.
    j'enlève g car son effet est déjà dans x, c'est l'écart à la position d'équilibre.
    en l'absence de mouvement tu dois avoir x=0
    dm

  19. #15
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Bien, et pour le "terme de forçage" ? De quoi s'agit-il ?

  20. #16
    LPFR

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Re.
    Bon, après avoir vu les dessins et qui sont x et y, on n'a qu'à tout recommencer à zéro.
    Je pense que le mieux c'est de créer une nouvelle variable verticale (comme x et y) mais sur un repère fixe (le centre de la terre et non la surface qui, elle, bouge). Écrire les équations pour cette variable et une fois cela fait, repasser sur les variables (très variables) x et y.
    A+.

  21. #17
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Bien, et pour le "terme de forçage" ? De quoi s'agit-il ?

    Et pour f et f(t) ? Ils sont bien distincts finalement ?

  22. #18
    LPFR

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Citation Envoyé par rouxc Voir le message
    Bien, et pour le "terme de forçage" ? De quoi s'agit-il ?

    Et pour f et f(t) ? Ils sont bien distincts finalement ?
    Re.
    Un oscillateur simple non amorti, comporte un terme d'inertie (ma) et un terme de force proportionnelle à l'écart de l'équilibre.
    Un oscillateur amorti comporte en plus une force (souvent) proportionnelle à la vitesse et qui freine l'oscillation.
    Un oscillateur forcé comporte, en plus de l'amortissement, une force supplémentaire qui force l'oscillateur à bouger. Sans cela, les oscillations s'amortissent et disparaissent.

    J'insiste qu'ici il faut écrire les équations dans un repère newtonien (inertiel).
    Tout compte fait y est une variable liée au repère inertiel. C'est x qui ne l'est pas.
    Il faut donc tout écrire en fonction de y.
    Non, je pense que f et f(t) c'est la même fonction.
    A+

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  24. #19
    Fujin

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Bonjour,


    Ayant exactement le même problème moi je tombe sur :

    w2x +w/Q .dx/dt +d2x/dt2 = g - w2f(t)

    J'ai essayé de suivre les conseils de LPFR en posant une nouvelle variable z=x+y et en la décomposant en x et y et je retombe au même point vu que le ressort et l'amortisseur sont fixés sur le boitier donc ne dépende pas de y.


    Par contre pour la suite je coince un peu (post de rouxc de 12h37) ou question 4 http://img248.imageshack.us/img248/7...stitre5ut2.jpg

    Vu que j'ai des dérivées premières et secondes de x on pose dans quel sens les u et v? J'ai essayé avec u=x v=dx/dt et dv/dt=d2x/dt2 puis u=x du/dt=dx/dt et dv/dt=d2x/dt2 pour avoir un système d'équa diff du 1er ordre mais ça me mène nul part vu que je ne peux pas exprimer clairement les dérivées en fonction des variables simples...


    Merci d'avance

  25. #20
    LPFR

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Citation Envoyé par Fujin Voir le message
    J'ai essayé de suivre les conseils de LPFR en posant une nouvelle variable z=x+y
    Bonjour.
    Ce que j'ai conseillé c'était d'écrie les équations du mouvement en fonction des variables de référentiels newtoniens. La variable z=x+y est garantie non-newtonienne.
    J'avais vu plus tard que 'y' était une variable qui convenait car c'est elle qui mesure les mouvements du sol. Donc elle doit être liée au référentiel du centre de la terre.
    Dans l'équation de Newton m d²b/dt² = F, la variable de position 'b' doit appartenir à un référentiel inertiel. Elle doit être 'y' dans ce problème. Il faut donc se débrouiller pour mettre tout ce qu'il faut en fonction de y.
    Au revoir.

  26. #21
    Fujin

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Moi je comprend y comme la distance entre la masse à sa position d'équilibre et le sol non? "y(t) le déplacement du boitier, fonction du temps"

    Donc si on étudie la masse on doit bien étudier x+y qui est fixe par rapport au sol et correspond à la masse en mouvement, non?

  27. #22
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Rebonjour, j'ai du m'absenter...
    l'équation que tu as est bonne.
    Pour moi le terme de forçage est simplement f(t), c'est l'excitation du sismographe, ce n'est que du vocabulaire;
    pour le système tu écris:
    dv/dt=u
    du/dt=-w0/Q*u-w0**2*v*v-w0**2*f
    d'où la matrice:
    1ere ligne 0 et 1
    seconde ligne -w0**2*v et -w0/Q
    il y a encore un terme colonne avec 0 et w0**2 que l'on multiplie par f(t)
    Cette écriture a l'avantage d'exprimer l'état n+1 en fonction de l'état n
    idéal pour ta programmation
    C'est bon ?
    dm

  28. #23
    Fujin

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Merci beaucoup dmeier.

    Pour moi c'est bon je n'ai plus de problème, sauf si LPFR me certifie que je fais des conneries mais je pense que c'est juste un problème de compréhension des variables.

    Au revoir et encore merci à dmeier et LPFR

  29. #24
    dmeier

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    A l'occasion quand tu as ton prgm matlab tu peux me l'envoyer.
    Je m'amuse à le faire jusqu'au bout et actuellement je suis dans matlab en train de prgm....
    merci à toi pour le pb
    dm

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  31. #25
    LPFR

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Citation Envoyé par Fujin Voir le message
    Pour moi c'est bon je n'ai plus de problème, sauf si LPFR me certifie que je fais des conneries mais je pense que c'est juste un problème de compréhension des variables.
    Re.
    J'ai dit mon opinion. Je n'ai rien à certifier. Vous faites ce que bon vous semble.
    A+

  32. #26
    Fujin

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    J'ai dit mon opinion. Je n'ai rien à certifier. Vous faites ce que bon vous semble.+
    Non bien sur il n'y a pas de problème. C'était juste une note d'humour (maladroite??) de ma part.

    Excusez-moi si vous l'avez mal prit.

  33. #27
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    Bien bien bien, ça avance ^^ .

    Donc si je récapitule, pour le moment on en est là :

    équa-diff fournie grâce au PFD (et un peu à dmeier aussi ) :
    Et donc après les simplifications :


    Et donc pour la question 4 on se retrouve avec cela :




    Par contre dmeire, petite question. Toujours à propos de ce fameux terme de forçage d2y/dt2.f(t). En fait il traduit juste le fait que le sismographe n'est pas solidaire du sol ? Donc en plus de l'accélération de la position au point x, on ajoute celle de y. C'est pas suuuper bien dit mais bon, pas facile .
    Par contre pour son signe, je l'avais ajouter donc signe '+' et tu m'avais dit ok. Seulement la avec l'aide ton dernier post il est nécéssairement négatif...

  34. #28
    rouxc

    Re : Etude mécanique d'un sismographe

    J'ai trouvé un très bon document qui fournit l'équation-différentielle, telle que nous l'avons maintenant.

    Pour nous, je pense à moi et a Fujin, il explique bien l'absence du poids et la présence du terme de forçage.

    Je pense que ça pourra aussi convaincre LPFR .

    http://benjamin.canals.free.fr/ieg/exercices.pdf

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