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sismographe



  1. #1
    Soo

    sismographe


    ------

    Voici l'énoncé d'un problème sur un sismographe, je bloque à un endroit, et ça m'énerve!

    Un sismographe se compose d'un masse M reliée à une ressort de raideur K, de longueur au repos l0. L'extrémité du ressort est attaché en un point fixe du référentiel RL du laboratoire que l'on suppose galiléen. On repère le mouvement du centre de masse M du bloc par son élongation x(t), mesurée à partir de la position d'équilibre de l'ensemble ressort+masse.

    1/ Représenter sur un shéma les forces en présence.

    Il y a le poids P, dont le vecteur part du centre du solide, a une direction verticale et son sens va du haut vers le bas.
    Il y a aussi la tensio du ressort T, qui a les même caractéristiques que le poids, mais dont le sens va vers le haut. Les vecteurs P et T sont de même longueur.

    2/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique et établir l'équation du mouvement.

    D'après la deuxième loi de Newton: P+F=ma (sous forme de vecteurs).
    En projetant cette relation sur l'axe (O,J), on a:
    mg-K(xt-l0)=ma
    Or à l'équilibre mg=Kl0
    D'où: ma=-Kxt (1)

    3/ Précisez que l'équation du mouvement peut se mettre sous la forme : X''+w0²X=o, préciser w0 en fonction des données du problème. Quelle est la dimension de w0?

    L'équation (1) donne aussi:
    a+(K/m)xt=0
    or a=X''
    d'où: X''+ (K/m)X=0
    en posant K/m=w0², on a:
    X''+w0²X=0

    On a donc w0= racine (K/m)

    Dimension de w0:
    [K]=kg.s-2
    [m]= kg
    d'où [w0]=kg.s-2/kg=s-2

    Ca se complique ici:
    4/ La solution de cette équation peut se mettre sous la forme X(t)=AcosBt où A et B sont des constantes positives non nulles. Déterminer B pour que X(t)=AcosBt soit solution de l'équation dufférentielle. On éloigne la masse de sa position d'équilibre d'une quantité d, on a donc à t=0 X(0)=d, à partir de cette condition initiale, dterminer la constante A en fonction des données du problème.
    Décrire qualitativement le mouvement de la masse.

    Une piste pour cette question 4/?

    -----

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  3. #2
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    X''+w0²X=0

    On a donc w0= racine (K/m)

    Ca se complique ici:
    4/ La solution de cette équation peut se mettre sous la forme X(t)=AcosBt où A et B sont des constantes positives non nulles. Déterminer B pour que X(t)=AcosBt soit solution de l'équation dufférentielle. On éloigne la masse de sa position d'équilibre d'une quantité d, on a donc à t=0 X(0)=d, à partir de cette condition initiale, dterminer la constante A en fonction des données du problème.
    on suppose donc que est solution de l'équa ci-dessus.

    on a donc

    et

    donc on en déduit

    à on a

  4. #3
    Soo

    Re : sismographe

    J'avais tout simplement fait une erreur dans la dérivée, du coup mon résultat ne voulait rien dire!
    Merco beaucoup!

  5. #4
    Soo

    Re : sismographe

    Du coup quand je dois décrire qualitativement le mouvement de la masse, que faut-il dire? Que c'est un mouvement oscillatoire?

    Merci

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Du coup quand je dois décrire qualitativement le mouvement de la masse, que faut-il dire? Que c'est un mouvement oscillatoire?
    Oui : des oscillations sinusoïdales ou en d'autres termes un système harmonique oscillant.

  8. #6
    Soo

    Re : sismographe

    Merci beaucoup Yjan!

    Dans la suite du problème, le mouvement est amorti par un frottement visqueux de coefficient f scématisé par un piston. Il est précisé que la force de frottement visqueux est proportionnelle à la vitesse avec le coefficient de proportionnalité f.

    J'ai donc une nouvelle équation du mouvement, qui est:
    a+(K/m)xt-(f/m)v=0 (1)

    Ensuite il faut montrer que cette équation peut être mise sous la forme X''+2$X'+w02X=0 (3)

    J'ai donc dérivé 2 fois l'équation (1), et je trouve:
    X''-(f/m)X'+(k/m)X=0
    en posant k/m=w02 et -f/m=2$ on trouve bien l'équation récédente.

    Il faut ensuite résoudre l'équation r²+2$r+w02=0
    Je trouve les solutions suivantes:
    r1=-$-racine($²-w02
    r2=-$+racine($²-w02

    Jusque là ça va. Mais c'est à la prochaine question que je bloque:

    X(t)=C1exp(r1t)+C2exp(r2t) où C1 et C2 sont des constantes. Il faut vérifier que X(T) est bien solution de l'équation différentielle (3).

    Si j'ai bien compris, je dois trouver C1 et C2?

    En dérivant 2 fois je trouve:
    C1exp(r1t[r122$r1+w02]+C2exp(r2t[r222$r2+w02]=0

    Je pense avoir fait le plus dur mais je n'arrive pas à aller plus loin...quelqu'un aurait-il une idée?

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  10. #7
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    J'ai donc une nouvelle équation du mouvement, qui est:
    a+(K/m)xt-(f/m)v=0 (1)

    Ensuite il faut montrer que cette équation peut être mise sous la forme X''+2$X'+w02X=0 (3)

    J'ai donc dérivé 2 fois l'équation (1), et je trouve:
    X''-(f/m)X'+(k/m)X=0
    il ne faut pas dériver pour retrouver cette équation mais simplement constater que et
    et remplacer dans l'équation du haut.

  11. #8
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Jusque là ça va. Mais c'est à la prochaine question que je bloque:

    X(t)=C1exp(r1t)+C2exp(r2t) où C1 et C2 sont des constantes. Il faut vérifier que X(T) est bien solution de l'équation différentielle (3).

    Si j'ai bien compris, je dois trouver C1 et C2?
    X'(t) = C1r1exp(r1t)+C2r2exp(r2t)

    et X"(t) = C11exp(r1t)+C22exp(r2t)

    après il n'y a plus qu'à remplacer dans l'équation du mvt et identifier terme à terme les coefficients.

    bonne continuation !

  12. #9
    lucieb

    Thumbs up Re : sismographe

    Je penche sur le même exercice et votre aide m'est précieuse... J'aurai peut-être des petits problèmes encore par la suite, je n'hésiterai pas à solliciter vos méninges.
    Merci.

  13. #10
    Soo

    Re : sismographe

    J'ai bien remplacé X'' et X' dans l'équation X''+2$X'+w02X=0 par X'= C1r1exp(r1t) + C2r2exp(r2t)
    et X''= r12C1exp(r1t) + r22C2exp(r2t)

    Mais je bloque à ce niveau:
    C1exp(r1t[r122$r1+w02]+C2exp(r2t[r222$r2+w02]=0

  14. #11
    lucieb

    Re : sismographe

    Pour résoudre ton problème, il faut te souvenir que r1²+2$r1+wo²=0 et r2²+2$r2+wo²=0 car r1 et r2 sont solutions de l'équation du second degré.
    Je travaille sur le même exercice et bloque sur les 2 dernières questions du problème: pour quelles valeurs de la fréquence v de la secousse sismique, les amplitudes A et $ différent elles de moins de 1%. eT expliciter v en fonctions des données.
    La fréquence v aurait elle un lien avecoméga??

  15. #12
    Soo

    Re : sismographe

    Hé bien tu as de l'avance!
    J'avais complètement oublié l'hypothèse à laquelle tu fais référence. Après 3 ans sans faire de physique, les automatismes s'oublient vite!
    Ca m'avance donc un petit plus, mais pas beaucoup...
    j'en suis donc à :
    C1exp(r12t)[r1²+2$r1+w0²]+C2exp(r22t)[r2²+2$r2+w0²]=0
    Comme r²+2$r+w0²=0, j'en conclue que :
    1exp(r12t)*0+C2exp(r22t)*0=0
    d'où 0=0.
    Peut-on conclure à quelque chose?
    J'en ai marre de ne pas arriver à voir les choses!

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  17. #13
    ririri

    Re : sismographe

    salu comme r1²+2$r1+Wo² =r2²+2$r2 +wo² =0
    donc on retrouve bien x=C1 exp(r1 t)+ C2 exp (r2 t) solution de l'equation differentielle

  18. #14
    Soo

    Re : sismographe

    Ah ben oui, qu'elle nouille!
    Pour représenter qualitativement l'allure de la position de la masse en fonction du temps, il faut faire un graphique?
    On devrait voir que le mouvement est oscillatoire sinusoidal amorti non?

  19. #15
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par lucieb Voir le message
    La fréquence v aurait elle un lien avecoméga??
    oui

  20. #16
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Pour représenter qualitativement l'allure de la position de la masse en fonction du temps, il faut faire un graphique?
    On devrait voir que le mouvement est oscillatoire sinusoidal amorti non?
    exactement !

  21. #17
    Soo

    Re : sismographe

    Merci Yjan!

    Maintenant quand X(t)=(D1t+D2)exp(r0t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w0²=0, avec r0=-b/2a=-$ quand delta=0
    le mouvement est cette fois apériodique?

  22. #18
    lucieb

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Merci Yjan!

    Maintenant quand X(t)=(D1t+D2)exp(r0t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w0²=0, avec r0=-b/2a=-$ quand delta=0
    le mouvement est cette fois apériodique?
    Le régime est apériodique quand delta est plus grand que zéro. Lorsque delta est égal à zéro, le régime est critique.

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  24. #19
    lucieb

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par yjan Voir le message
    oui
    Merci pour ta réponse. mais comment l'as tu trouvée? a vrai dire, je ne comprends pas comment trouver la fréquence v sans en savoir plus...

  25. #20
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par lucieb Voir le message
    Merci pour ta réponse. mais comment l'as tu trouvée?
    c'est tout simplement LA définition de la pulsation à partir de la période.

    si tu veux un exemple, dans un mouvement circulaire uniforme si un objet fait 2 tours par seconde, la fréquence du mouvement est Hz (le mouvement se répète à l'identique 2 fois par seconde) et donc il faut un angle de par seconde. Alors sa vitesse angulaire (sa pulsation) est

  26. #21
    Soo

    Re : sismographe

    Me revoila bloquée à une autre question!
    Après avoir montré que X(t)=E1exp(z1t)+E2exp(z2t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w0²=0 (1), je doit montrer que X(t) peut se mettre sous la forme:
    X(t)=§exp(-$t)cos(racine($²-w0²)t+@) (2)

    Faut-il que je dérive 2 fois l'expression 2 et que je l'insère dans l'exression (1)? Ou bien y a t il quelque chose de plus simple?

    Merci

  27. #22
    yjan

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    Me revoila bloquée à une autre question!
    Après avoir montré que X(t)=E1exp(z1t)+E2exp(z2t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w0²=0 (1), je doit montrer que X(t) peut se mettre sous la forme:
    X(t)=§exp(-$t)cos(racine(z1)t+@) (2)

    Faut-il que je dérive 2 fois l'expression 2 et que je l'insère dans l'exression (1)? Ou bien y a t il quelque chose de plus simple?

    Merci
    il faut remplacer z1 et z2 par leur expression :
    z1=-$- et z2=-$+
    dans l'expression de X(t)=E1exp(z1t)+E2exp(z2t)

    puis utiliser exp(a+b) = exp(a).exp(b)

  28. #23
    Soo

    Re : sismographe

    En suivant ton conseille j'arrive à ce point:
    X(t)=exp(-$t)[E1exp(-racine($²-w0²))+E2exp(racine($²-w0²))]

    Je n'arrive pas à simplifier plus ni encore à identifier les membres pour trouver la solution...

  29. #24
    ririri

    Re : sismographe

    salut tu as z1=-$-i rac($²-Wo²) et z2=-$+i rac($²-Wo²)
    donc tu remplace dans l'expression
    X(t)=E1 exp((-$-i rac($²-Wo²))t)+
    E2 exp(((-$+i rac($²-Wo²))t)
    X(t)=exp(-$t)(E1exp(-i rac($²-wo²)t) +
    E2exp(i rac($²-Wo²)t)
    X(t)=exp(-$t) (E1 (cos ($²-wo²)t -i sin($²-Wo²)t +
    E2(cos($²-Wo²)t+i sin($²-Wo²)t)
    apres je suis bloquée mais je pense qu'il faudrait factoriser le cos pour que les 2 sin partent

  30. Publicité
  31. #25
    Soo

    Re : sismographe

    salut!

    Je crois que tu as oublié les racines à ta dernière expression.
    J'ai passé deux heures à retourner l'expression dans tous les sens, je suis même partie de l'expression à trouver mais rien à faire, ça bloque toujours quelque part!

    N'y aurait-il pas une âme charitable qui pourrait nous mettre sur la voie?

  32. #26
    lucieb

    Re : sismographe

    Citation Envoyé par Soo Voir le message
    salut!

    Je crois que tu as oublié les racines à ta dernière expression.
    J'ai passé deux heures à retourner l'expression dans tous les sens, je suis même partie de l'expression à trouver mais rien à faire, ça bloque toujours quelque part!

    N'y aurait-il pas une âme charitable qui pourrait nous mettre sur la voie?
    J'y réfléchis...patience....

  33. #27
    lucieb

    Re : sismographe

    Je trouve
    x=exp(-$t).(cos(racine($²-wo²)t.(E1+E2)+i.sin(racine($²-wo²)t.(E2-E1)
    Je ne vois toujours pas comment s'en sortir.
    Apparemment je n'ai pas assez réfléchi...

  34. #28
    lucieb

    Re : sismographe

    En exploitant le cours de "Méthodes de calcul et statistiques" voila ce que je trouve:

    En utilisant la formule de Moivre on obtient:
    x(t)=exp(-$t).(K1.cos(racine($²-wo²))t+K2.sin(racine($²-wo²)t))

    Ce qui peut se mettre sous la forme:
    x(t)=T.exp(-$t).cos(racine($²-wo²)t+phi)
    où T=racine(K1²-K2²) et tan phi=-K2/K1
    avec K1=E1+E2 et K2=E2-E1

    On en déduit que T=2.racine (E1+E2)
    et tan phi=(E1-E2)/(E1+E2)

  35. #29
    Soo

    Re : sismographe

    Merci! C'était donc ça qu'il fallait faire!

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