sismographe

**Soo** · 07/12/2006, 16h19

Voici l'énoncé d'un problème sur un sismographe, je bloque à un endroit, et ça m'énerve!

Un sismographe se compose d'un masse M reliée à une ressort de raideur K, de longueur au repos l₀. L'extrémité du ressort est attaché en un point fixe du référentiel R_L du laboratoire que l'on suppose galiléen. On repère le mouvement du centre de masse M du bloc par son élongation x(t), mesurée à partir de la position d'équilibre de l'ensemble ressort+masse.

1/ Représenter sur un shéma les forces en présence.

Il y a le poids P, dont le vecteur part du centre du solide, a une direction verticale et son sens va du haut vers le bas.
Il y a aussi la tensio du ressort T, qui a les même caractéristiques que le poids, mais dont le sens va vers le haut. Les vecteurs P et T sont de même longueur.

2/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique et établir l'équation du mouvement.

D'après la deuxième loi de Newton: P+F=m_a (sous forme de vecteurs).
En projetant cette relation sur l'axe (O,J), on a:
mg-K(xt-l₀)=ma
Or à l'équilibre mg=Kl₀
D'où: ma=-Kxt (1)

3/ Précisez que l'équation du mouvement peut se mettre sous la forme : X''+w₀²X=o, préciser w₀ en fonction des données du problème. Quelle est la dimension de w₀?

L'équation (1) donne aussi:
a+(K/m)xt=0
or a=X''
d'où: X''+ (K/m)X=0
en posant K/m=w₀², on a:
X''+w₀²X=0

On a donc w₀= racine (K/m)

Dimension de w₀:
[K]=kg.s^-2
[m]= kg
d'où [w₀]=kg.s^-2/kg=s^-2

Ca se complique ici:
4/ La solution de cette équation peut se mettre sous la forme X(t)=AcosBt où A et B sont des constantes positives non nulles. Déterminer B pour que X(t)=AcosBt soit solution de l'équation dufférentielle. On éloigne la masse de sa position d'équilibre d'une quantité d, on a donc à t=0 X(0)=d, à partir de cette condition initiale, dterminer la constante A en fonction des données du problème.
Décrire qualitativement le mouvement de la masse.

Une piste pour cette question 4/?

invitece99558d · 07/12/2006, 18h49

Envoyé par Soo

X''+w₀²X=0

On a donc w₀= racine (K/m)

Ca se complique ici:
4/ La solution de cette équation peut se mettre sous la forme X(t)=AcosBt où A et B sont des constantes positives non nulles. Déterminer B pour que X(t)=AcosBt soit solution de l'équation dufférentielle. On éloigne la masse de sa position d'équilibre d'une quantité d, on a donc à t=0 X(0)=d, à partir de cette condition initiale, dterminer la constante A en fonction des données du problème.

on suppose donc que $\text{[math]}$ est solution de l'équa ci-dessus.

on a donc $\text{[math]}$

et $\text{[math]}$

donc on en déduit $\text{[math]}$

à $\text{[math]}$ on a $\text{[math]}$

**Soo** · 07/12/2006, 19h02

J'avais tout simplement fait une erreur dans la dérivée, du coup mon résultat ne voulait rien dire!
Merco beaucoup!

**Soo** · 07/12/2006, 19h19

Du coup quand je dois décrire qualitativement le mouvement de la masse, que faut-il dire? Que c'est un mouvement oscillatoire?

Merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitece99558d · 07/12/2006, 23h41

Envoyé par Soo

Du coup quand je dois décrire qualitativement le mouvement de la masse, que faut-il dire? Que c'est un mouvement oscillatoire?

Oui : des oscillations sinusoïdales ou en d'autres termes un système harmonique oscillant.

**Soo** · 08/12/2006, 13h27

Merci beaucoup Yjan!

Dans la suite du problème, le mouvement est amorti par un frottement visqueux de coefficient f scématisé par un piston. Il est précisé que la force de frottement visqueux est proportionnelle à la vitesse avec le coefficient de proportionnalité f.

J'ai donc une nouvelle équation du mouvement, qui est:
a+(K/m)xt-(f/m)v=0 (1)

Ensuite il faut montrer que cette équation peut être mise sous la forme X''+2$X'+w₀²X=0 (3)

J'ai donc dérivé 2 fois l'équation (1), et je trouve:
X''-(f/m)X'+(k/m)X=0
en posant k/m=w₀² et -f/m=2$ on trouve bien l'équation récédente.

Il faut ensuite résoudre l'équation r²+2$r+w₀²=0
Je trouve les solutions suivantes:
r₁=-$-racine($²-w₀²
r₂=-$+racine($²-w₀²

Jusque là ça va. Mais c'est à la prochaine question que je bloque:

X(t)=C₁exp(r₁t)+C₂exp(r₂t) où C₁ et C₂ sont des constantes. Il faut vérifier que X(T) est bien solution de l'équation différentielle (3).

Si j'ai bien compris, je dois trouver C₁ et C₂?

En dérivant 2 fois je trouve:
C₁exp(r₁t[r₁²2$r₁+w₀²]+C₂exp(r₂t[r₂²2$r₂+w₀²]=0

Je pense avoir fait le plus dur mais je n'arrive pas à aller plus loin...quelqu'un aurait-il une idée?

invitece99558d · 08/12/2006, 21h57

Envoyé par Soo

J'ai donc une nouvelle équation du mouvement, qui est:
a+(K/m)xt-(f/m)v=0 (1)

Ensuite il faut montrer que cette équation peut être mise sous la forme X''+2$X'+w₀²X=0 (3)

J'ai donc dérivé 2 fois l'équation (1), et je trouve:
X''-(f/m)X'+(k/m)X=0

il ne faut pas dériver pour retrouver cette équation mais simplement constater que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
et remplacer dans l'équation du haut.

invitece99558d · 08/12/2006, 22h03

Envoyé par Soo

Jusque là ça va. Mais c'est à la prochaine question que je bloque:

X(t)=C₁exp(r₁t)+C₂exp(r₂t) où C₁ et C₂ sont des constantes. Il faut vérifier que X(T) est bien solution de l'équation différentielle (3).

Si j'ai bien compris, je dois trouver C₁ et C₂?

X'(t) = C₁r₁exp(r₁t)+C₂r₂exp(r₂t)

et X"(t) = C₁ $\text{[math]}$ ₁exp(r₁t)+C₂ $\text{[math]}$ ₂exp(r₂t)

après il n'y a plus qu'à remplacer dans l'équation du mvt et identifier terme à terme les coefficients.

bonne continuation !

invite468ec3f9 · 10/12/2006, 21h32

Je penche sur le même exercice et votre aide m'est précieuse... J'aurai peut-être des petits problèmes encore par la suite, je n'hésiterai pas à solliciter vos méninges.
Merci.

**Soo** · 11/12/2006, 10h14

J'ai bien remplacé X'' et X' dans l'équation X''+2$X'+w02X=0 par X'= C₁r₁exp(r₁t) + C₂r₂exp(r₂t)
et X''= r₁²C₁exp(r₁t) + r₂²C₂exp(r₂t)

Mais je bloque à ce niveau:
C1exp(r1t[r122$r1+w02]+C2exp(r2t[r222$r2+w02]=0

invite468ec3f9 · 12/12/2006, 14h15

Pour résoudre ton problème, il faut te souvenir que r1²+2$r1+wo²=0 et r2²+2$r2+wo²=0 car r1 et r2 sont solutions de l'équation du second degré.
Je travaille sur le même exercice et bloque sur les 2 dernières questions du problème: pour quelles valeurs de la fréquence v de la secousse sismique, les amplitudes A et $ différent elles de moins de 1%. eT expliciter v en fonctions des données.
La fréquence v aurait elle un lien avecoméga??

**Soo** · 12/12/2006, 16h14

Hé bien tu as de l'avance!
J'avais complètement oublié l'hypothèse à laquelle tu fais référence. Après 3 ans sans faire de physique, les automatismes s'oublient vite!
Ca m'avance donc un petit plus, mais pas beaucoup...
j'en suis donc à :
C₁exp(r₁²t)[r₁²+2$r₁+w₀²]+C₂exp(r₂²t)[r₂²+2$r₂+w₀²]=0
Comme r²+2$r+w₀²=0, j'en conclue que :
₁exp(r₁²t)*0+C₂exp(r₂²t)*0=0
d'où 0=0.
Peut-on conclure à quelque chose?
J'en ai marre de ne pas arriver à voir les choses!

invite1a4d7f76 · 12/12/2006, 16h46

salu comme r1²+2$r1+Wo² =r2²+2$r2 +wo² =0
donc on retrouve bien x=C1 exp(r1 t)+ C2 exp (r2 t) solution de l'equation differentielle

**Soo** · 12/12/2006, 17h05

Ah ben oui, qu'elle nouille!
Pour représenter qualitativement l'allure de la position de la masse en fonction du temps, il faut faire un graphique?
On devrait voir que le mouvement est oscillatoire sinusoidal amorti non?

invitece99558d · 12/12/2006, 17h20

Envoyé par lucieb

La fréquence v aurait elle un lien avecoméga??

oui $\text{[math]}$

invitece99558d · 12/12/2006, 17h20

Envoyé par Soo

Pour représenter qualitativement l'allure de la position de la masse en fonction du temps, il faut faire un graphique?
On devrait voir que le mouvement est oscillatoire sinusoidal amorti non?

exactement !

**Soo** · 12/12/2006, 17h58

Merci Yjan!

Maintenant quand X(t)=(D₁t+D₂)exp(r₀t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w₀²=0, avec r₀=-b/2a=-$ quand delta=0
le mouvement est cette fois apériodique?

invite468ec3f9 · 12/12/2006, 18h14

Envoyé par Soo

Merci Yjan!

Maintenant quand X(t)=(D₁t+D₂)exp(r₀t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w₀²=0, avec r₀=-b/2a=-$ quand delta=0
le mouvement est cette fois apériodique?

Le régime est apériodique quand delta est plus grand que zéro. Lorsque delta est égal à zéro, le régime est critique.

invite468ec3f9 · 12/12/2006, 20h23

Envoyé par yjan

oui $\text{[math]}$

Merci pour ta réponse. mais comment l'as tu trouvée? a vrai dire, je ne comprends pas comment trouver la fréquence v sans en savoir plus...

invitece99558d · 13/12/2006, 00h50

Envoyé par lucieb

Merci pour ta réponse. mais comment l'as tu trouvée?

c'est tout simplement LA définition de la pulsation à partir de la période.

si tu veux un exemple, dans un mouvement circulaire uniforme si un objet fait 2 tours par seconde, la fréquence du mouvement est $\text{[math]}$ Hz (le mouvement se répète à l'identique 2 fois par seconde) et donc il faut un angle de $\text{[math]}$ par seconde. Alors sa vitesse angulaire (sa pulsation) est $\text{[math]}$

**Soo** · 13/12/2006, 16h45

Me revoila bloquée à une autre question!
Après avoir montré que X(t)=E₁exp(z₁t)+E₂exp(z₂t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w₀²=0 (1), je doit montrer que X(t) peut se mettre sous la forme:
X(t)=§exp(-$t)cos(racine($²-w₀²)t+@) (2)

Faut-il que je dérive 2 fois l'expression 2 et que je l'insère dans l'exression (1)? Ou bien y a t il quelque chose de plus simple?

Merci

invitece99558d · 13/12/2006, 17h20

Envoyé par Soo

Me revoila bloquée à une autre question!
Après avoir montré que X(t)=E₁exp(z₁t)+E₂exp(z₂t) est solution de l'équation différentielle X''+2$X'+w₀²=0 (1), je doit montrer que X(t) peut se mettre sous la forme:
X(t)=§exp(-$t)cos(racine(z₁)t+@) (2)

Faut-il que je dérive 2 fois l'expression 2 et que je l'insère dans l'exression (1)? Ou bien y a t il quelque chose de plus simple?

Merci

il faut remplacer z₁ et z₂ par leur expression :
z₁=-$- $\text{[math]}$ et z₂=-$+ $\text{[math]}$
dans l'expression de X(t)=E₁exp(z₁t)+E₂exp(z₂t)

puis utiliser exp(a+b) = exp(a).exp(b)

**Soo** · 13/12/2006, 18h53

En suivant ton conseille j'arrive à ce point:
X(t)=exp(-$t)[E₁exp(-racine($²-w₀²))+E₂exp(racine($²-w₀²))]

Je n'arrive pas à simplifier plus ni encore à identifier les membres pour trouver la solution...

invite1a4d7f76 · 14/12/2006, 06h52

salut tu as z1=-$-i rac($²-Wo²) et z2=-$+i rac($²-Wo²)
donc tu remplace dans l'expression
X(t)=E1 exp((-$-i rac($²-Wo²))t)+
E2 exp(((-$+i rac($²-Wo²))t)
X(t)=exp(-$t)(E1exp(-i rac($²-wo²)t) +
E2exp(i rac($²-Wo²)t)
X(t)=exp(-$t) (E1 (cos ($²-wo²)t -i sin($²-Wo²)t +
E2(cos($²-Wo²)t+i sin($²-Wo²)t)
apres je suis bloquée mais je pense qu'il faudrait factoriser le cos pour que les 2 sin partent

**Soo** · 14/12/2006, 19h07

salut!

Je crois que tu as oublié les racines à ta dernière expression.
J'ai passé deux heures à retourner l'expression dans tous les sens, je suis même partie de l'expression à trouver mais rien à faire, ça bloque toujours quelque part!

N'y aurait-il pas une âme charitable qui pourrait nous mettre sur la voie?

invite468ec3f9 · 16/12/2006, 21h48

Envoyé par Soo

salut!

Je crois que tu as oublié les racines à ta dernière expression.
J'ai passé deux heures à retourner l'expression dans tous les sens, je suis même partie de l'expression à trouver mais rien à faire, ça bloque toujours quelque part!

N'y aurait-il pas une âme charitable qui pourrait nous mettre sur la voie?

J'y réfléchis...patience....

invite468ec3f9 · 16/12/2006, 22h46

Je trouve
x=exp(-$t).(cos(racine($²-wo²)t.(E1+E2)+i.sin(racine($²-wo²)t.(E2-E1)
Je ne vois toujours pas comment s'en sortir.
Apparemment je n'ai pas assez réfléchi...

invite468ec3f9 · 23/12/2006, 21h54

En exploitant le cours de "Méthodes de calcul et statistiques" voila ce que je trouve:

En utilisant la formule de Moivre on obtient:
x(t)=exp(-$t).(K1.cos(racine($²-wo²))t+K2.sin(racine($²-wo²)t))

Ce qui peut se mettre sous la forme:
x(t)=T.exp(-$t).cos(racine($²-wo²)t+phi)
où T=racine(K1²-K2²) et tan phi=-K2/K1
avec K1=E1+E2 et K2=E2-E1

On en déduit que T=2.racine (E1+E2)
et tan phi=(E1-E2)/(E1+E2)

**Soo** · 26/12/2006, 14h30

Merci! C'était donc ça qu'il fallait faire!

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