Corrélation entre deux relevés de température

[invite31b5cbad]

Bonjour,

J'ai déjà posé ma question dans le forum Mathématiques, mais sans grand succès, donc je retente ici, car ça relève quand même principalement de la physique.

Je possède deux relevés de température en fonction du temps, l'un est la température extérieure, et l'autre la température en un point intérieur d'un système.

Je constate que les deux sont liées, mais mathématiquement, comment le quantifier au plus juste?

J'ai bien pensé au coefficient de corrélation "classique" (linéaire) mais, justement, mes courbes et mes phénomènes ne sont pas linéaires...

Il existe sûrement d'autres approches, mais je n'y connais pas grand chose, quelle serait donc à votre avis la meilleure approche?

Par ailleurs, j'ai quasiment tout oublié de mes cours de traitement du signal, mais peut-être que le produit de corrélation des deux signaux pourraient donner quelque chose? Qu'y a t-il à "gratter" du côté du "pattern recognition"?

Merci d'avance.
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[invite2313209787891133]

Bonjour

Il existe différents tests statistiques pour montrer une corrélation, mais c'est au cas par cas.
Pourrais tu mettre tes séries de valeurs sur ce fil ? Dans un fichier texte ou directement dans un message.

[invite31b5cbad]

Merci pour la réponse.

Je n'ai pas les signaux avec moi ce week-end, et je ne suis pas sûr de pouvoir les poster, mais je pourrais peut-être mettre quelque chose d'approchant.

En gros ce sont deux relevés de températures avec des pics, c'est très classique. Le relevé interne est bien corrélé (à l'oeil) au relevé de la température extérieure (profil météo classique) mais je voudrais pouvoir le quantifier, car en fait j'ai un certain nombre de relevés de l'intérieur de mon système et je voudrais voir lesquels sont les plus corrélés au relevé extérieur.

[invite2313209787891133]

Les profils sont identiques avec un déphasage ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31b5cbad]

Non, pas identique justement, il y a des différences, mais on "voit" bien qu'il y a un lien.

[invite2313209787891133]

Il faudrait que tu postes un exemple, mais à première vue je pense que tu pourrais soustraire le déphasage (si il y en a un), et établir un nuage de points à partir des dérivées des 2 signaux.
Tu pourra alors déterminer la droite de régression du nuage de points, dont le coefficient R² sera directement fonction de la corrélation entre les 2 séries.

[invite31b5cbad]

Je vais essayer de poster un exemple, plus tard.

Soustraire le déphasage, c'est pour que les signaux "collent" mieux et donc pour que la comparaison ait plus de sens? Je fais comment pour trouver au juste le déphasage? Je peux le faire à la main, mais c'est un peu arbitraire, car du coup c'est moi qui décide à quel point ils commencent en même temps et donc à quel point ils se ressemblent... sinon, l'outil approprié, c'est le produit de corrélation, c'est ça? "xcorr" sous Matlab il me semble.

Ensuite, pourquoi dériver les signaux? La droite de régression va chercher un lien linéaire, et si mes phénomènes ne le sont pas, mes dérivées le seront un peu plus? Je ne comprends pas bien l'intérêt de l'opération? Et puis, il me semble que dériver numériquement un signal, c'est un peu pourri, non? Y a plein de points où la dérivée ne sera pas continue, ça me semble très imprécis, la dérivation numérique. Je dis "numérique" car je n'ai qu'un nuage de points, pas de fonction analytique, du coup la dérivée ça va être fait à la main sous Excel, et puis le résultat va être hyper dépendant du schéma choisi (forward, centré, backward, ec.).

En tous cas merci de m'aider pour la méthodologie. Il y aurait un bon bouquin de statistiques / traitement du signal qui explique les outils utiles à l'analyse de corrélation non linéaire?

[invite31b5cbad]

Rebonjour,

Voici mes signaux. Enfin, ce ne sont pas les vrais, mais disons que ça ressemble à ça. Pour l'exemple, je me suis créé une fonction avec une expo, un sinus et du bruit aléatoire. J'ai ensuite plus ou moins décalé et pollué aléatoirement le premier signal pour créer le deuxième.

A partir de cet exemple, comment traiteriez-vous la situation? Imaginons qu'il y ait un troisième signal, ressemblant au deuxième mais néanmoins différent, pour quantifier lequel ressemble le plus au premier?
Ou, dans l'absolu, sans parler de troisième signal, à quel point le deuxième ressemble au premier? Peut-on le quantifier?

Merci d'avance.

Temps T1 T2
0 31.80519937 30
1 18.61242628 29
2 13.70054891 28
3 12.84402799 27.67211619
4 11.5853078 13.74850376
5 10.17241199 9.488544623
6 11.70842959 7.936936545
7 11.6040009 6.911168792
8 11.30203073 5.723852338
9 11.46447246 7.578872802
10 11.01653328 7.450248447
11 10.71281965 6.411590311
12 11.44679719 7.011066855
13 12.27486942 6.249231427
14 12.2248807 5.855864355
15 12.43823461 6.677248045
16 9.95492594 7.339925419
17 10.86184362 7.870972915
18 9.832298555 7.520285356
19 11.97542453 5.21835883
20 12.31090941 6.154463638
21 12.72809763 5.674995079
22 10.98884161 7.286439169
23 10.27455867 7.718187233
24 9.507179368 8.309752101
25 11.07355333 6.973183173
26 11.16046657 6.013180053
27 12.49009714 5.265204049
28 12.22357496 6.91462241
29 11.19954173 7.085564266
30 9.154273421 8.364755202
31 10.36915727 8.080980847
32 11.69037276 7.105304403
33 12.42562486 4.836948871

[invite2313209787891133]

Le nombre de points est un peu juste, je vais plutôt essayer de répondre à tes questions.

Soustraire le déphasage, c'est pour que les signaux "collent" mieux et donc pour que la comparaison ait plus de sens? Je fais comment pour trouver au juste le déphasage? Je peux le faire à la main, mais c'est un peu arbitraire, car du coup c'est moi qui décide à quel point ils commencent en même temps et donc à quel point ils se ressemblent... sinon, l'outil approprié, c'est le produit de corrélation, c'est ça? "xcorr" sous Matlab il me semble.

Pour soustraire le déphasage tu as 2 approches:
On fait une recherche des maxima sur les 2 courbes, on mesure la durée entre chaque maxima successif de chaque courbe et on calcule la moyenne. On applique alors ce décalage.
On a aussi la possibilité de calculer un déphasage, puis de l'appliquer systématiquement à toutes les série de donnée si on considère que le système réagira toujours de la même façon.

Ensuite, pourquoi dériver les signaux? La droite de régression va chercher un lien linéaire, et si mes phénomènes ne le sont pas, mes dérivées le seront un peu plus?

On dérive les signaux pour comparer les pentes, et non les signaux eux mêmes.
En faisant le nuage de points on établi alors la corrélation entre les variations de pente des signaux.

Et puis, il me semble que dériver numériquement un signal, c'est un peu pourri, non?

Non, il suffit de faire la différence entre 2 valeurs successives, et de pondérer par l'intervalle de temps si celui ci n'est pas toujours identique.

Y a plein de points où la dérivée ne sera pas continue, ça me semble très imprécis, la dérivation numérique.

Il n'est pas très important que la dérivée soit strictement exacte, il faut juste avoir des points assez rapprochés.

[invite31b5cbad]

En vrai, j'ai plus de points, ceci n'est qu'un exemple.

Intéressant, cette façon de calculer le déphasage avec les maxi. C'est une technique qui sort d'où? Je veux dire, c'est une technique "connue", "officielle", que l'on peut voir dans un bouquin?

De même, je ne connaissais pas cette façon de comparer les dérivées, ça me semble bien, en effet. Là encore, c'est une technique classique? Je demande, parce que, d'un point de vue méthodologique, je dois justifier / référencer mes travaux.

Je teste et je vous tiens au courant, merci encore!

[invite31b5cbad]

Et pour des données qui ne sont pas temporelles?

Par exemple, un système avec des résistances chauffantes et des capteurs de températures, j'ai des mesures d'un côté et, d'un autre côté, des résultats en température de modélisation du système.

Sur un histogramme, je constate bien sûr un lien entre températures et puissances dissipées, mais j'ai un écart entre modélisation et mesures, et je voudrais savoir, entre modélisation et mesure, quelle série corrèle mieux aux puissances. Apparemment la modélisation corrèle mieux que la réalité (!), probablement à cause de mesures foireuses.

Le sujet n'est pas ici de savoir si ce sont la modélisation ou les mesures qui foirent, mais de quantifier les écarts, comme lors de la question précédente, mais ici les variables ne bougent plus dans le temps. Je suppose que je peux faire la même chose en espace, mais bon c'est en 2D, le plus simple c'est de tracer des histogrammes 1D.

Je suppose que, si je les range de la même manière, peu importe l'ordre de rangement, la même approche est applicable?

[invite2313209787891133]

En vrai, j'ai plus de points, ceci n'est qu'un exemple.

Intéressant, cette façon de calculer le déphasage avec les maxi. C'est une technique qui sort d'où? Je veux dire, c'est une technique "connue", "officielle", que l'on peut voir dans un bouquin?

De même, je ne connaissais pas cette façon de comparer les dérivées, ça me semble bien, en effet. Là encore, c'est une technique classique? Je demande, parce que, d'un point de vue méthodologique, je dois justifier / référencer mes travaux.

C'est un traitement des données assez classique, mais je ne serais pas capable de te donner des références.

[invite2313209787891133]

Et pour des données qui ne sont pas temporelles?

Par exemple, un système avec des résistances chauffantes et des capteurs de températures, j'ai des mesures d'un côté et, d'un autre côté, des résultats en température de modélisation du système.

Je n'ai pas tout compris: Tu as des puissances d'un coté et des températures de l'autre ? Le temps intervient forcément, à moins de faire les relevés une fois que la température est tout à fait stable (ou qu'un certain critère de stabilité est atteint, par exemple moins de 1°C de variation sur une certaine durée).

[invite897678a3]

Bonjour à tous,

Les profils sont identiques avec un déphasage ?
...
Non, pas identique justement, il y a des différences, mais on "voit" bien qu'il y a un lien.
...
Je fais comment pour trouver au juste le déphasage?
...
Intéressant, cette façon de calculer le déphasage avec les maxi.

Les minima paraissent davantage marqués.

Après avoir exclu la période transitoir du début, la première valeur minimale de T1 se situe à la cinquième minute;
le premier mini de T2 survient 8 la huitième minute.

Le déphasage est donc de l'ordre de trois minutes.

La diffétence T1(t) - T2(t+3 min) reste quasiment constante (variation de 1°C entre 4° et 5°).

[invite2313209787891133]

Bonjour à tous,


Les minima paraissent davantage marqués.

Après avoir exclu la période transitoir du début, la première valeur minimale de T1 se situe à la cinquième minute;
le premier mini de T2 survient 8 la huitième minute.

Le déphasage est donc de l'ordre de trois minutes.

La diffétence T1(t) - T2(t+3 min) reste quasiment constante (variation de 1°C entre 4° et 5°).

C'est juste un exemple généré artificiellement, je suppose que les véritables séries ne sont pas aussi régulières.

[invite31b5cbad]

Oui, ce n'est qu'un exemple. Le décalage est constant, je l'ai forcé à 3 unités (pourquoi pas minutes mais pour moi ce sont des heures, enfin peu importe).

Sinon, pour mon deuxième cas de figure (puissance/température), je regarde une situation en régime permanent (ou presque, en pratique on va dire oui sur les mesures, et sur le calcul c'est absolument stationnaire), donc exit le temps!

[invite31b5cbad]

Dudulle, ta méthodo semble bien marcher sur mon exemple, merci beaucoup.

Mais j'ai encore des questions.

Cas de figure : je prends une variable x qui va de -5 à +5 et je trace à côté y=x². y et x sont donc complètement liés.

Si je calcule le coefficient de corrélation de y et x, j'obtiens zéro. C'est normal, et c'est ce qui me fait rejeter cette première approche pour tenter de voir si 2 signaux sont liés de manière non linéaire.

Maintenant, si je reprends l'approche de la dérivée, que je dérive y, et que je calcule le coefficient de corrélation de y' et x, là, j'obtiens 1. Là encore, normal, et je me dis : super, cette méthodo!

Mais évidemment, si je trace y=x^3, et que je calcule le coefficient de corrélation de y' et x, j'ai de nouveau zéro (vu que y' vaut maintenant x²). Du coup, retour à la case départ, ai-je envie de dire.

Ce que tu me proposes marche donc bien pour mon exemple, mais le seul contre exemple du cas pourtant simple de x^3 me fait dire : comment chercher le lien pouvant exister entre deux fonctions liées de manière non linéaire?

J'ai l'impression de poser une question toute bête, pourtant

Encore merci!

[invite2313209787891133]

Pour chercher un lien entre 2 courbes qui ne sont pas liées par une fonction linéaire il faut utiliser une corrélation non linéaire. En principe on connait plus ou moins la façon dont les phénomènes sont liés, ce qui permet de choisir un modèle parmi les autres; par exemple si tu veux lier une puissance à une température il est probable que la corrélation soit de type linéaire à basse température, mais plutôt de puissance 4 à haute température.
Ce modèle doit bien sur rester le même pour comparer chaque courbe.

[invite31b5cbad]

Et en pratique on fait comment?

Phénomène linéaire : coefficient de corrélation classique, accessible immédiatement sous Excel par exemple.

Phénomène non linéaire : ok, il faut commencer par avoir une idée du type de lien. Supposons la puissance 4 dont tu parles (à cause du rayonnement en DT^4), très bien. Partant de là, quelle formule? On prend d'abord la racine quatrième de la puissance, PUIS on calcule le coefficient de corrélation classique? C'est ça?

Mais quand j'ai un lien franchement tordu, je fais comment? Je laisse tomber?

Merci!

[invite2313209787891133]

Et en pratique on fait comment?

Phénomène linéaire : coefficient de corrélation classique, accessible immédiatement sous Excel par exemple.

Phénomène non linéaire : ok, il faut commencer par avoir une idée du type de lien. Supposons la puissance 4 dont tu parles (à cause du rayonnement en DT^4), très bien. Partant de là, quelle formule? On prend d'abord la racine quatrième de la puissance, PUIS on calcule le coefficient de corrélation classique? C'est ça?

Tu peux aller jusqu'à un polynôme de puissance 6 sur Excel.

Mais quand j'ai un lien franchement tordu, je fais comment? Je laisse tomber?

Tu demandes à quelqu'un de plus compétent

[invite31b5cbad]

OK ^_^.

Merci pour les réponses en tous cas.

Paske bon, si on connaît déjà le lien, on sait que c'est corrélé... Je me demandais si on pouvait chercher / trouver un lien entre deux machins dont on connaît peu de chose, car le lien entre les deux serait méchamment compliqué.

Au fond, il y a deux choses qui m'intéressent :

- quantifier le lien entre deux signaux : le coefficient de corrélation linéaire semble suffire, entre les signaux ou entre leurs dérivées
- trouver un lien entre deux variables qui n'ont pas du tout la même tête (donc ici je ne cherche pas à quantifier une ressemblance) mais qui sont tout de même liées