Mouvement d'une sphère pleine sur un plan

[invite91746533]

Bonjour,
j'aimerais être en mesure de connaître le mouvement futur d'une boule si je connais ses données initiales : vitesse (selon x, selon y) et moments ou vitesses angulaires (selon x, y, z). Mais je n'y arrive pas.
La boule a un rayon R, une masse m et le coefficient de frottement Boule/Plan est f.

Je sais que si à t=0, la vitesse de la boule est (Vx, Vx, 0) et sa position est (x, y, 0) alors à t=dt, elle aura la position (x + Vx.dt, y + Vy.dt, 0). Je multiplie la vitesse par un coefficient très proche de 1 mais inférieur (à cause des frottements) pour avoir la nouvelle vitesse à t=dt et ça continue...

(J'obtiens ce fameux coefficient ainsi : on a l'équation différentielle (par exemple pour Vx, c'est la même pour Vy):

m. dv/dt = -h.v

donc en intégrant, on a v = Vx.exp(-ht/m)
donc pour v à t=dt, on a v(dt) = Vx.exp(-h.dt/m) = v(0).k avec k = exp(-h.dt/m). C'est ainsi que j'ai eu mon coefficient.)

Bref tout ça est impeccable si on considère que la boule est un solide qui bouge sans rouler... mais voilà, la boule roule.

Il faut donc prendre en compte les variations angulaires de la boule, donc je travaillerais plutôt avec les 3 vitesses angulaires (autour de x, autour de y, autour de z) mais si on me propose une solution qui marche avec les moments, je prends !
Donc je me demandais, les variations angulaires ça marche comment ? Par exemple à t=0, la boule a une vitesse angulaire initiale d'un radian par seconde autour de x, de deux radians par seconde autour de y et de trois radians par seconde autour de z. On garde les mêmes vitesses Vx, Vy d'en haut.

1. A t=dt, où se trouve la boule ?!
2. A cause du frottement Sphère/Plan, les vitesses angulaires auront diminué de t=0 à t=dt. Par quel coefficient dois-je les multiplier ?

Je me doute, pour la question 2, que je dois également passer par une équation différentielle comme je vous l'ai montré plus haut, mais cela implique les deux questions suivantes :

3. Quelles équations différentielles vérifient les 3 vitesses angulaires (sans doute la même) ?
4. Le coefficient de frottement pour les vitesses angulaires est-il le même que pour les vitesses ?

Merci d'avance pour vos réponses, car ce n'est pas évident (enfin pas pour moi) !
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Appelons les choses par leur nom. Votre problème est celui d'une boule de billard ou de bowling.
Il y a déjà eut plusieurs discussions sur ces sujets dans le forum. Cherchez avec les bons mots clés et vous les trouverez.
Au revoir.

[invite91746533]

Bonsoir LPFR
J'ai effectivement lu d'autres sujets, je me suis notamment muni de votre fascicule... je le lirai plus en profondeur dans les jours à venir, mais j'ai déjà lu plusieurs pages (à propos des chocs par exemple, car vous l'avez deviné je travaille sur les boules de billard, et j'ai retrouvé ce que j'avais)

Pourriez-vous m'éclairer notamment comment obtenir les équations différentielles relatives aux trois angles... Ai-je tout simplement, dans le repère barycentique, la relation :

I.d²u/dt² = -f.du/dt

avec u un des 3 angles en question et f le coefficient de frottement de rotation ? J'ai lu apparemment dans ce que vous avez écrit, que les coefficients de frottement sont différents comme je le pensais.

[LPFR]

Bonjour.
Dans les sujets précédents, cherchez le lien donné par Jaunin. Tout le calcul y est fait. Le seul "défaut" est que comme c'est une publication, il n'y a pas beaucoup d'explications car on suppose que les lecteurs n'en ont pas besoin.

Vous attaquez mal le problème. D'abord si vous ne regardez ce qui se passe que pou t = dt, vous n'aurez que le tout début. Il faut que, en supposant connue la situation au temps 't', vous calculiez la situation au temps t = t + dt.

D'autre part, la boule ne peut tourner qu'autour d'un seul axe (même si la direction évolue). C'est une très mauvaise initiative de décomposer une vitesse angulaire en composantes. L'addition de rotations n'est pas commutative.

Comme pour les discussions précédentes, je vous conseille de résoudre le problème 8 du chapitre 8 (page 8-9) du fascicule. C'est la version du problème en une seule dimension. Mais il est indispensable de l'avoir (très bien) comprise si vous voulez faire le problème en 2 dimensions. Je signale que c'est un problème que j'ai pompé du Resnick-Halliday.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]