cherche lien entre mouvement d'une sphère et déplacement de celle-ci

[invite72123fa3]

Bonsoir, un ami cherche à modéliser sur ordi une sphère qui bouge comme " une sphère qui roule sur le sol" Existe t'il une équation pour imprimer un tel mouvement à une sphère?
Merci de vos éventuelles réponses.
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[invitee0b658bd]

bonjour,
oui, l'equation est trés simple, pour le roulement sans glissement la vitesse instantanée du point de contact est nulle.
fred

[invite72123fa3]

Je précise que je n'ai pas fait de physique ou maths depuis bien longtemps. Qu'entendez vous par simple? On me dit équations différentielles, on me dit équation horaires. Admettons que le mouvement est un mouvement rectiligne à vitesse constante sur une surface plane, sans force de frottement. Accélération donc nulle, en gros un mouvement rectiligne uniforme J'ai juste besoin d'un exemple de "forme" d'équation sachant que la sphère est en 3D.
Merci

[inviteb9b01e30]

Il y aura une grosse différence si tu veux que la boule "roule" ou bien glisse.
En effet si elle glisse alors c'est n'est rien de plus qu'un MRU d'équation
: x(t) = V0*t+x0, avec V0, la vitesse initiale (qui ne varie donc pas) et x0 la position initiale.
Si tu veux maintenant considérer les frottemenst et la rotation de la sphère alors cela devient "compliqué" c-à-d que tu aura de la peine a comprendre si tu n'a pas fait de math ni de physique depuis longtemps, enfin, ca dépend de ta motivation .

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Je ne pense pas qu'il parlait de sa position (qui est effectivement simplement sa vitesse fois le temps), mais de sa vitesse de rotation...

Comme la vitesse de rotation est nulle, tu as , donc la vitesse de rotation de la sphère c'est simplement , avec R son rayon.

Cdlt,

EDIT : en radian/seconde

[invite72123fa3]

non la vitesse de rotation n'est as nulle puisqu'elle roule et ne glisse pas simplement.

On dit que je suis motivée pour essayer de comprendre...Reste à savoir si je vais y arriver! Effectivement la sphère ne glisse pas simplement mais elle roule. Doit t'il obligatoirement y avoir des frottements pour qu'elle roule?
bon admettons, on est dans un jeu de billes, la bille est posée au sol, je donne une pichnette pour la faire rouler on va omettre quelques principes physiques ...Au début elle accélère jusqu'à atteindre une vitesse constante où l'accelération devient alors nulle, on admet qu'il n'y a pas de frottement. Je sais..enfin je pense savoir que s'il n'y a pas de frottements, l'accélération ne deviendra jamais nulle...
Bref on se retrouve dans le cas de la bille qui roule à vitesse constante sur un sol.
Quelle est alors la forme de l'équation?

[invitee0b658bd]

Bonsoir,
tu deux equations différentes (on peut le formaliser autrement, mais mathématiquement c'est un peu plus dur)
tu as l'equation du mouvement du centre de gravité que l'on appelle comunéement G
on suppose G au centre de la sphére
si ton mouvement est uniforme tu peux ecrire Vg = cste
tu peux même ecrire Xg = X0 + Vg*t
maintenant il faut tenir compte de la rotation de la sphère
on etudie donc le mouvement d'un point de la surface de la sphere
on va appeller ce point M
VM = VG + MG^Omega omega étant le vecteur rotation de la sphere (je sais quand on a pas l'habitude un vecteur rotation cela fait drole). Ce vecteur rotation est orienté selon l'axe de rotation de la sphere et sa norme est en rad/seconde
cela te permet d'exprimer la vitesse de n'importe quel point de la sphere si tu connais omega
il faut maintenant determiner omega, et c'est la qu'intervient la condition de roulement sans glissement
le roulement sans glissement signifie qu'au niveau du point de contact entre la sphere et le sol les vitesses sont identiques. La vitesse du sol étant nulle, la vitesse de ce point de la sphere à cet instant précis est aussi nulle (je sais cela surprend aussi la première fois)
Si on appelle I le point en contact avec le sol, on peut ressortir notre belle equation
et ecrire
VI = VG + IG^omega = 0
la norme de IG est R le rayon de la sphére
on arrive donc à VG=R*omega (au signe prés, selon les diverses projections)
plus rigoureusement ||VG|| =R * ||omega||

donc pour pouvoir modeliser cela il faut
1) connaitre les bases du calcul vectoriel
2) appliquer la demarche que je t'ai indiquée
si tu veux aller plus loin, il faut commencer à se plonger dans les torseurs cinématiques
fred

[invitee0b658bd]

re bonsoir,

on me dit équation horaires

ne t'inquietes pas, ce n'est pas un gros mot, c'est juste une equation fonction du temps

quand on s'interesse au mouvement d'un solide, généralement , et pour plusieures raisons que l'on pourra developper plus tard, on s'interesse au mouvement de son centre de gravité, puis au mouvement du solide par rapport à son centre de gravité
pour calculer ou modeliser le mouvement d'une sphere sur un plan, on va d'abord s'interesser au mouvement de son centre de gravité. Donc au mouvement d'un point particulier qui dans notre cas précis decrit une ligne droite.
Une fois ce mouvement determiné, on se place en ce point et on regarde comment la sphere bouge par rapport à son centre de gravité. Ce mouvement ne peut d'ailleur être qu'une rotation puisque l'on se fixe sur le centre de gravité pour l'observer
et ce qui est drolement pratique , c'est que l'on arrive à une relation vectorielle simple qui permet de determiner le mouvement de chaque point de la sphere.


si on veut ajouter du glissement, c'est "simple" , dans les equation
VI = VG + IG^omega = 0 tu changes le 0 par la vitesse de glissement. ce qui te permet de calculer un nouveau omega

il faut faire attention, toutes les relations que j'ai ecrite sont vectorielles
fred

[invite72123fa3]

Pour les trucs vectoriels j'essayerai aussi de me rapeller...faut vraiment que je m'y remette!
Ok donc le point G suis une trajectoire rectiligne dans le "référentiel" sol du repère Oxy soit F(t) (qui permet de trouver les coordonnées du point G sur l'axe Ox) = VG * t+X0 (X0 = coordonnées de G à l'instant t0)=((Xa-Xb)/t)*t+ X0= Xa-Xb+X0. Rien sur l'axe des y puisque G suis une trajectoire rectligne.
Le Point M suis une trajectoire circulaire dans le "référentiel" de centre G=> M a donc une vitesse angulaire w (oméga) =VG/R en rad/s. VM = Rw?
Dans le repère Oxy repère orthonormé de centre O la position de M varie avec le temps et décrit une "cycloïde" et non plus une circulaire. Quelle équation/ fonction permet de calculer les coordonnées du point M à un instant "t" dans le repère Oxy? Dite moi si je me trompe: en fonction de l'angle parcouru, on a coordonnées de M/sur l'axe des x avec @ (alpha= angle parcouru à vitesse w): R@+Rsin@+X0 et sur l'axe des y: R+ Rcos@. Et là j'ai un gros trou, comment fait t'on pour calculer l'angle parcouru en connaissant la vitesse angulaire? Dite moi si je me trompe Dt= delta t = t1-t0 =>W = @/Dt=> @= W*Dt
Du coup pour les coordonnées de M sur x ça nous donne R*W*Dt+R sin(W*Dt)=X0 et pour y : R + Rcos(W*Dt)...Je crois que je m'embrouille....ça ne me donne pas d'équation horaire...enfin je ne sais plus.

[invite72123fa3]

erratum : avant dernière ligne: R*W*Dt+Rsin(W*Dt) + X0 et non R*W*Dt+Rsin (W*Dt)= à W0.

[invitec43e56ae]

Bonsoir, un ami cherche à modéliser sur ordi une sphère qui bouge comme " une sphère qui roule sur le sol" Existe t'il une équation pour imprimer un tel mouvement à une sphère?
Merci de vos éventuelles réponses.

Bonjour,

il s'agit d'une courbe dite "brachistochrone"

En bas de page wiki ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_brachistochrone ) : un petit GIF animé vaux mieux qu'un long discours.

Cordialement.

[invitee0b658bd]

bonsoir
une facon trés "pauvre" et restrictive de voir les choses amenne à l'equation suivante concernant un point situé sur la circonférence qui "roule" sur le plan
ZM = ZG +Rsin( -omega t+ phi)
XM = VXG*t + Rcos(-omega t + phi)
fred