Transmission et réflexion des ondes

[lordchameau]

Bonjour, j'ai un petit souci avec un exercice.
Voici la question:
Trois cordes de même densité linéaire sont attachés en un point commun et sont tendues dans des directions à 120 degré les unes des autres. Une impulsion perpendiculaire au plan défini par les cordes est générée sur l'une des cordes et se propage vers la jonction. l'impulsion sera-t-elle transmise et/ou réfléchie, et avec quelle fraction de l'amplitude incidente? Montrer que l'énergie de l'impulsion incidente est bien conservée.

J'ai écrit mes conditions de continuité
[dy1/dt]_x=0 = [dy2/dt]_x=0= [dy3/dt]_x=0

T(dy1/dx) + T(dy2/dx) + T(dy3/dx) = 0

Je suppose que je dois trouver mes coefficients de réfléxion, mais je vois pas ou le placer.

Une fois les dérivées faites, je trouve
Ψ'_i1(t) + Ψ'_r1(t)= Ψ'_t2(t)
Ψ'_i1(t) + Ψ'_r1(t)= Ψ'_t3(t)

-T/v₁.Ψ'_i1(t) + T/v₁.Ψ'_r1(t) -T/v₂.Ψ'_t2(t) -t/v₃.Ψ'_t3(t) = 0

Le problème c'est que tous mes T s'annulent et je me retrouve qu'avec des vitesses, alors je peux pas avoir d'impédance.
Si quelqu'un peut m'aider pour finir ce problème.
Merci beaucoup
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[invitef17c7c8d]

Bonjour,
Je vous montre sur 2 cordes.

Considérons d'abords 1 seule corde excité par 1 impulsion.
A l'extrémité V1=Fimp*Yimp1 V est la vitesse et Y est la fonction de transfert (mobilité dans ce cas la)

Maintenant, après couplage avec la seconde corde
V1Aprescouplage=V1+Fc*Y1 (Fc est l'effort de couplage)

On suppose que Y1=Y2 (même corde a priori)
d'ou Fc=V1/(2*Y1)

Par suite
V1Aprescouplage=V1(1-0,5)

V1Aprescouplage=0,5*V1

A vous d'en déduire les conséquence physiques

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le problème a peu de choses à voir avec celui de deux cordes et il est nettement plus compliqué.
Il faut que vous écriviez les 4 fonctions d'onde correctement.
L'onde incidente a bien dans l'exposant j(wt - k_1x.x) (je prend les sens de propagation 'x' positif.
Pour l'onde réfléchie l'exposant est j(wt + k_1x.x)
Pour une des ondes transmises, le vecteur d'onde 'k' a une composante en 'x' et une composante en 'z'.
Donc pour une des ondes transmises, l'exposant sera:
j(wt - k_2x.x - k_2z.z), et pour l'autre qui part dans l'autre direction de 'z':
j(wt - k_2x.x + k_2z.z)
Sans oublier que z = tg(pi/6) x
Les composantes du vecteur d'onde dans les cordes "sortantes" sont:
k_2x = k_1x.cos(pi/6)
k_2z = k_1x.sin (pi/6)

Il faut dons que vous écriviez correctement que, au point de rencontre, la somme des ondes incidente plus réfléchie est égale à la somme des deux transmisses et que la dérivée de l'égalité doit être aussi respectée pour ce point. Mais ne posez x = z = 0, qu'après avoir dérivé.
Et après avoir vérifié que je n'ai pas fait d'erreur dans les formules.

Ce qui est amusant est que si vous regardez les trois cordes dans la direction du plan qui les contient et perpendiculairement à la corde "incidente", vous verrez les deux cordes sortantes comme une seule corde de masse par unité de longueur 4 fois plus grande, la même tension et une vitesse de propagation de moitié.
Ce qui vous permettrait de calculer les amplitudes des ondes réfléchie et transmises directement.
Au revoir.

[invitef17c7c8d]

Merci pour cette réponse.
Je m’aperçois que ça fait longtemps que j'ai plus pratiqué ce type de calcul.
Par contre je pense à une application pratique pour la réduction des vibrations. Pourrait-on dimensionner les cordes 2 et 3, de sorte que toute l'énergie vibratoire soit "emprisonnée" dans les cordes 2 et 3, alors que seule la corde 1 est excitée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Merci pour cette réponse.
Je m’aperçois que ça fait longtemps que j'ai plus pratiqué ce type de calcul.
Par contre je pense à une application pratique pour la réduction des vibrations. Pourrait-on dimensionner les cordes 2 et 3, de sorte que toute l'énergie vibratoire soit "emprisonnée" dans les cordes 2 et 3, alors que seule la corde 1 est excitée ?

Re.
Non.
Le seul moyen de diminuer les vibrations est de leur faire dissiper leur énergie dans un absorbeur ou amortisseur. Si l'onde se limité à "résonner", il faudra bien qu'elle finisse par sortir.
A+

[invitef17c7c8d]

Pourrait-on raisonner ou (résonner ??) sur le cas d'une poutre, si vous le voulez bien ?

Imaginons cette poutre de section rectangulaire b*h, de moment d'inertie b*h^3/12, plutôt légère et rigide (en Alu) et assez longue L, avec un amortissement de 0,01 (Damping Loss Factor). Cette fréquence est excitée par une force ponctuelle telle que la fréquence d'excitation = la 1ère fréquence propre de cette poutre.

Maintenant, si on rajoute à une extrémité de la poutre, une autre poutre plus massique, plus courte (en acier par exemple).

Pourrait-on avoir la configuration suivante:

1. La poutre en acier agit sur la poutre Alu avec un effet de masse ajoutée. Par conséquent , la fréquence propre de la poutre Alu va diminuer et ne plus entrer en résonance.

2. D'autre part, la poutre Alu transmettra essentiellement un effort de couplage à la poutre Acier.
Cette poutre acier pourrait peut-être être dimensionnée pour entrer elle-seule en résonance?

On aurait alors "piégé" la vibration dans la poutre en acier...

Je ne sais pas si cela pourrait se mettre en équation ou non ?

Je n'attends pas vraiment de réponse précise, mais plutôt soit un encouragement à poursuivre cette idée, soit à laisser tomber ...

[phuphus]

Bonjour lionelod,

désolé de court-circuiter votre dernière intervention, je reprends l'idée du début. On verra ensuite si cela peut s'accorder

Par contre je pense à une application pratique pour la réduction des vibrations. Pourrait-on dimensionner les cordes 2 et 3, de sorte que toute l'énergie vibratoire soit "emprisonnée" dans les cordes 2 et 3, alors que seule la corde 1 est excitée ?

C'est possible, à condition que l'onde incidente soit totalement dissipée avant son retour au point d'attache des 3 cordes, comme le mentionne LPFR. Pour cela, il faut qu'il n'y ait aucune rupture d'impédance au point d'attache et un amortissement critique sur les cordes 2 et 3. Plus facile à dire qu'à faire, puisque du coup on sera obligé de faire varier l'amortissement le long des cordes 2 et 3 (sinon, il y a rupture d'impédance au point d'attache).

Concrètement, on trouve un peu ce genre de réalisation déclinée selon plusieurs principes :
- impédance d'entrée du dissipateur nulle pour une certaine fréquence, on a donc un "court-circuit" à cette fréquence et on peut dissiper tranquillement. C'est le cas des résonateurs de Helmholtz des admissions automobiles, ou des bass-trap.
- adaptation d'impédance et dissipation et/ou absorption avant retour de l'onde, par exemple les terminaisons anéchoïques des bancs d'essai d'admission automobile
- enfin, le cas des batteurs : on place sur un ventre de vibration un résonateur accordé et amorti. Cela crée un ddl supplémentaire, mais à la fréquence en question on calme la structure. Ce résonateur peut même être électrique et couplé mécaniquement à la structure (par une lame piezo, par exemple)
- pour finir, un cas très intéressant : le batteur à raideur non linéaire. On calme le mode ciblé de la structure sans créer de ddl supplémentaire.

[invitef17c7c8d]

Oui, Phuphus, je vois très bien ce que vous voulez dire! Effectivement s'il y a adaptation d'impédance entre les cordes, la vibration va être transmise de 1 vers 2 et 3.
Puis elle sera dissipée "loin" du point de couplage. Finalement, cela reviendrait à avoir des cordes 2 et 3 semi-infinies.

Je suis très intrigué (et intéressé aussi) par le batteur à raideur non-linéaire : jamais entendu parlé auparavant. A creuser sans aucun doute!

Merci encore pour cet aiguillage!

[phuphus]

Pour ne pas polluer ce fil et permettre à lordchameau d'avoir des réponses claires à sa question, je vous propose de continuer ici :

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post3491609