Chaos et exposants de Lyapunov

[invitef17c7c8d]

Bonjour,

Dans la théorie du chaos, le plus grand exposant de Lyapunov représente en quelque sorte la divergence de l'erreur initiale.

Mais à quoi correspondent les autres exposants ?
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[gatsu]

Bonjour,

Dans la théorie du chaos, le plus grand exposant de Lyapunov représente en quelque sorte la divergence de l'erreur initiale.

Mais à quoi correspondent les autres exposants ?

Salut,

En fait chaque exposant de Lyapounov correspond à une direction dans l'espace des phases autours d'une trajectoire particulière. Si l'exposant est négatif dans une direction alors le "faisceau" de trajectoires se resserera de plus en plus dans cette direction. A l'inverse si il est positif pour une autre direction, le faisceau aura une forme divergente dans cette direction synonyme de sensibilité aux conditions initiales. Le plus grand exposant positif permet souvent de caracteriser à lui seul cette sensibilité puisqu'il donne grosso modo l'echelle de temps la plus courte sur laquelle on peut faire des prédictions.

[invitef17c7c8d]

Merci pour cette réponse.

D'après ce que vous dites l'exposant de Lyapunov est homogène à un temps.
(1/exposant de lyapunov ) est donc homogène à une fréquence.

David Ruelle dit que pour expliquer la turbulence, il faut changer de paradigme et remplacer la notion de modes et fréquence propres par celle d'attracteurs étranges et exposants de Lyapunov.

Du coup, n'y a t-il pas une analogie profonde entre exposant de Lyapunov et fréquence propre ?
Je m'explique: Pour représenter un système de plus en plus désordonné, il faut de plus en plus de modes( et de fréquences propres)

Donc pour représenter un système de plus en plus ordonné, il faut de plus en plus d'exposants de lyapunov.

Donc ma question est : Existe-t-il un espace ((1/exposant de lyapunov ) analogue à l'espace fréquentiel) pour représenter les systèmes désordonnés ?

[gatsu]

Merci pour cette réponse.
Du coup, n'y a t-il pas une analogie profonde entre exposant de Lyapunov et fréquence propre ?

L'analogie formelle que je vois c'est qu'un exposant de Lyapounov au sens large correspond à un mode propre imaginaire dans l'espace des phases.

Je m'explique: Pour représenter un système de plus en plus désordonné, il faut de plus en plus de modes( et de fréquences propres)

Donc pour représenter un système de plus en plus ordonné, il faut de plus en plus d'exposants de lyapunov.

Donc ma question est : Existe-t-il un espace ((1/exposant de lyapunov ) analogue à l'espace fréquentiel) pour représenter les systèmes désordonnés ?

Je n'ai pas de réponse à cette question et je ne suis pas sûr de comprendre ne serait ce que la première affirmation
désordonné <-> plus de modes propres ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef17c7c8d]

Houa-hou!
un exposant de Lyapounov au sens large correspond à un mode propre imaginaire dans l'espace des phases. Je vais m’asseoir et méditer sur cette phrase : En tout cas, j'adore cette définition!

C'est dans le célèbre article de david ruelle : "on the nature of turbulence"
http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/ruelle.pdf que Ruelle compare l'approche modale (décrit par Landau) et l'approche attracteur étrange pour décrire la complexité de la turbulence.

[gatsu]

Houa-hou!
un exposant de Lyapounov au sens large correspond à un mode propre imaginaire dans l'espace des phases. Je vais m’asseoir et méditer sur cette phrase : En tout cas, j'adore cette définition!

C'est dans le célèbre article de david ruelle : "on the nature of turbulence"
http://users-phys.au.dk/fogedby/chaos/ruelle.pdf que Ruelle compare l'approche modale (décrit par Landau) et l'approche attracteur étrange pour décrire la complexité de la turbulence.

Je n'y connais pas grand chose en turbulence mais j'avoue que la première page est déjà très intéressante. En particulier, je ne sais pas si la forme proposée par Landau et Lifshitz est associée à la théorie standard des dynamiques quasi-péridodiques pour un système invariant sous un certains nombre de symétries :

Normalement, si tu as un système dynamique à 2N degrés de liberté possédant N invariants (je crois que c'est ça), les 2N variables peuvent être découplées 2 à 2 pour former des variables dites angle-action. Pour de tels systèmes, les trajectoires dans l'espace des phases sont confinées sur la surface d'un (hyper)tore à N dimensions et donc chaque dimension est caractérisée par un couple angle-action où "l'action" caractérise la fréquence associée à un couple angle-action donné.
Si le rapport 2 à 2 des fréquences est incommensurables, les trajectoires correspondantes sont supposées être quasi-périodiques.

Je ne peux m'empecher de voir une forte analogie avec l'hypothèse faite par Landau et Lifshitz sur la fonction x(t) supposée caractériser le mouvement hydrodynamique lors d'un comportement turbulent.

L'diée que le nombre de fréquences augmente lorsque µ augmente pourrait ainsi être comprise comme le fait que lorsqu'on augmente le nombre d'invariants dans le système (par exemple en augmentant le nombre de Reynolds on ajoute l'invariant "energie" disons) on permet à un nouveau couple angle-action d'apparaitre pour décrire le système. Cela étant je ne m'explique pas bien la signification de la fameuse fonction f à bas µ...a-t-elle seulement un sens ?

Ce que je viens de décrire ci-dessus fait il sens pour toi ou penses tu que je sois complètement à coté de la plaque ?

[invitef17c7c8d]

Gatsu, t'es trop fort en maths pour moi!

Symétrie, invariance par translation et conservation de l'énergie sont des notions trop abstraites pour moi, mais surement passionnantes!

Je crois que tores (hyper) et modes(multi) sont la même chose ...
Tore pour les matheux, mode pour les physiciens. Un mode peut être vu comme un oscillateur ou système masse-ressort.

Au lieu de parler de turbulence, on peut aussi visualiser le versement du lait depuis la bouteille jusque dans son bol le matin au petit-dej. Si vous êtes assez réveillé le matin, vous pouvez constater que si l'écoulement est faible, il est filaire, s'il est un peu plus fort on voit apparaitre deux/trois ondulations (Modes) enchevétrées et si vous y allez franchement, l'écoulement est turbulent (multimodes ou beaucoup beaucoup de modes d'après Landau) mais surtout vous avez du lait partout dans votre cuisine. Le petit mu représente ses divers comportements.

Et c'est là que Ruelle a eu son ispiration géniale : "C'est pas beaucoups de modes, c'est un petit attracteur étrange... Si trois modes sont couplés entre eux, alors ça ressemble plus à trois modes, ça ressemble à une infinités de modes..."

[obi76]

Au lieu de parler de turbulence, on peut aussi visualiser le versement du lait depuis la bouteille jusque dans son bol le matin au petit-dej. Si vous êtes assez réveillé le matin, vous pouvez constater que si l'écoulement est faible, il est filaire, s'il est un peu plus fort on voit apparaitre deux/trois ondulations (Modes) enchevétrées et si vous y allez franchement, l'écoulement est turbulent (multimodes ou beaucoup beaucoup de modes d'après Landau) mais surtout vous avez du lait partout dans votre cuisine. Le petit mu représente ses divers comportements.

Bonjour,

ce n'est pas de la turbulence initialement, mais des instabilités de (je me rappelle plus du nom) dont un mode particulier entre en résonance. Cela créé des filaments, puis une atomisation locale de l'écoulement qui conduit ensuite à une phase disperse si la vitesse d'injection est significative (ce n'est pas le cas pour du lait ). Des écoulements comme ça sont laminaires en région proche injection, puis deviennent fluctuant et s'atomisent, je n'appelle pas ça de la turbulence, et en plus il n'y a qu'un mode

[invitef17c7c8d]

Merci de rectifier obi76. Ma comparaison était peut-être mal choisie.
En fait ce que je voulais décrire c'était la transition vers une évolution chaotique... Si quelqu'un connaissait un meilleur example de description d'évolution chaotique, je suis preneur!

[obi76]

La turbulence

[invitef17c7c8d]

Pour conclure peut-être cette discussion sur l'exposant de Lyapunov. C'est la seule manière (à mon sens) de définir et de comprendre ce qu'est le HASARD (avec peut -être aussi le théorème de Godel).

[gatsu]

Pour conclure peut-être cette discussion sur l'exposant de Lyapunov. C'est la seule manière (à mon sens) de définir et de comprendre ce qu'est le HASARD (avec peut -être aussi le théorème de Godel).

Cela me semble un peu réducteur. La théorie du hasard a été grandement développée pour/par la théorie des jeux et clairement son utilisation pour savoir la chance qu'on a de tirer une paire de rois dans un jeu de 32 cartes n'a rien de spécialement chaotique...

[invitef17c7c8d]

Je ne conteste pas du tout la théorie du hasard.
Simplement, qu'est ce qui fait qu'un dé va tomber sur le 6 plutot que sur le 1 si ce n'est la sensibilité aux conditions initiales ?...(idée géniale de Poincaré). Physiquement, je ne vois pas d'autre explication.

[phuphus]

Simplement, qu'est ce qui fait qu'un dé va tomber sur le 6 plutot que sur le 1 si ce n'est la sensibilité aux conditions initiales ?

Je pense que vous avez connaissance de tout cela, mais comme le mot hasard est ambigu, je profite juste de l'exemple du dé pour essayer de clarifier un peu le vocabulaire. Pour le dé, on parle de chaos, donc de phénomène déterministe. Le hors-série Pour la science "Hasard et incertitude" parlait à ce sujet d'un moyen assez élégant de se rendre compte que le phénomène était chaotique, avec l'obtention d'un figure fractale dans l'espace des phases.

Pour les phénomènes dont l'incertitude du résultat ne découle pas d'une incapacité de notre part à en connaître tous les mécanismes, on parlera donc d'indéterminisme.

Il y a de très belles expérimentations concernant l'effectivité de cet indéterminisme, notamment le test des inégalités de Bell (existance d'un théorie réaliste locale) ou encore de Leggett ("sacrifier la localité pour sauver le réalisme"). Mais là, il faudrait plutôt s'adresser aux spécialistes de la MQ. Je n'ai pas lu le fil récent "L'intrication cache notre ignorance", on peut se douter que les inégalités de Bell et de Leggett y ont été évoquées.

[invitef17c7c8d]

Merci pour l'info sur le hors-série.

Je crois qu'un phénomène peut-être fractal sans être chaotique.
Seule la sensibilité aux conditions initiales signifie qu'il y a du chaos.


En tant que dynamicien des structures, phuphus, et familiarisé avec la notion de modes, vous êtes surement mieux à même de comprendre l'intrication que quiconque: L'intrication, franchement, c'est pas très compliqué! Vous avez un système hamiltonien, vous le résolvez et du coup vous avez la réponse sous forme d'une série modale. Eh bien, l'intrication dit que parmis tous ces modes, le système en choisit qu'un seul.

Vous voyez, on n'en sort pas de ces histoires de modes ...

[gatsu]

Je ne conteste pas du tout la théorie du hasard.
Simplement, qu'est ce qui fait qu'un dé va tomber sur le 6 plutot que sur le 1 si ce n'est la sensibilité aux conditions initiales ?...(idée géniale de Poincaré). Physiquement, je ne vois pas d'autre explication.

C'est un exemple parmi d'autres qui s'avère être sensible aux conditions initiales mais encore une fois réduire le hasard au chaos est une erreur en général (il suffit de prendre l'exemple d'un jeu de cartes).

[invitef17c7c8d]

Et si je vous propose la fonction Entropie pour mesurer la quantité de hasard. Vous l'achetez ??

[gatsu]

Et si je vous propose la fonction Entropie pour mesurer la quantité de hasard. Vous l'achetez ??

Oui a priori j'achète même si je n'approuve pas le terme "hasard".