électromagnétisme tenseur et transformations

[Heimdall]

Salut,

J'ai quelques problèmes a comprendre les équations suivantes.

On se place dans référentiel R, et on note le 4-vecteur champ électrique
. Dans ce référentiel, on voit un second référentiel, R', se déplacer à la vitesse , on note la 4-vitesse .

On note le tenseur électromagnétique.

Je ne comprends ce que signifie :




Vu la définition du tenseur électromagnétique, de la 4-vitesse, je comprends que ce calcul donne :




Mais je ne vois pas d'où sort la première équation, pourquoi le 4-champ électrique dans R est-il égal au tenseur électromagnétique appliqué à la 4-vitesse ?


Merci...
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[invitea29d1598]

salut

tes notations et affirmations demanderaient un peu plus de rigueur... pour comprendre le principe, tu peux essayer de prendre le problème à l'envers :

1) Approche "pragmatique" :

Considère un référentiel dans lequel un observateur inertiel O est au repos. Dans ce ref, il mesure des champs E et B qui donnent le tenseur F usuel. En outre, sa quadrivitesse U (celle de O), a pour composante (1,0), où 0 est le vecteur nul.

En conclusion, tu peux écrire que le champ E que mesure O est la partie spatiale du 4-vecteur F.U où le point est le produit scalaire minkowskien (en fait tout ça marche pareil en RG). Or, le produit scalaire ainsi formé est un 4-vecteur et son "sens physique" est donc indépendant du référentiel.

En clair, si te places maintenant dans un autre référentiel inertiel dans lequel O est en déplacement, ce 4-vecteur F.U sera toujours tel que sa partie spatiale est le champ E mesuré par O. Simplement, si tu l'exprimes en fonction de ce qu'un observateur O' immobile dans le second référentiel appelle champs E' et B', la partie spatiale de F.U ne sera pas E' mais une combinaison de E' et B' qui fera également intervenir les composantes de la 4-vitesse de O qui n'est plus (1,0).

Dans ton cas, (la partie spatiale de) e est donc le champ électrique mesuré par un observateur de 4-vitesse u alors que E et B sont les champs dans le référentiel dans lequel la vitesse de cet observateur est v, autrement dit ce sont les champs pour un observateur dont la 4-vitesse est (1,0) dans la base associée au référentiel où tu exprimes F sous la forme "usuelle".

2) Approche plus géométrique :
la façon usuelle de former le tenseur F est une sorte de "guess" (sauf si tu le définis comme la dérivée extérieure de la 1-forme quadripotentiel A) mais quand tu cherches une approche/définition plus géométrique, dans l'esprit minkowskien donc, tu t'aperçois que le champ électrique que mesure un observateur inertiel est la projection du tenseur F le long de sa ligne d'univers alors que le champ B est le pseudo-vecteur associé au tenseur 3x3 antisymétrique qui en est la projection sur une hypersurface du genre espace orthogonale à la ligne d'univers.

Ça marche d'ailleurs pareil pour tout : par exemple, si tu prends le 4-vecteur densité de courant, la composante du genre temps dans une base donnée est la projection du 4-vecteur le long de la ligne d'univers d'un observateur de 4-vitesse (1,0) dans cette même base, alors que le 3-vecteur j est la projection sur le 3-espace orthogonal à cette ligne. Cette "définition" étant géométrique, elle est valable indépendamment du choix d'une base ou d'un référentiel : J.U te donnera toujours la densité de charge mesurée par l'observateur de 4-vitesse U et la projection de J sur le 3-espace sera toujours le vecteur densité de courant qu'il mesure.

Si tu reprends tes cours de géométrie de quand tu étais plus jeune, tu réussiras d'ailleurs à montrer que l'opérateur de projection sur le 3-espace a une expression simple à l'aide de U et de la métrique alors que la projection "le long d'un vecteur" est bien donnée par le produit scalaire avec celui-ci.

[Heimdall]

Ooooook merci beaucoup de ta réponse. En gros mon problème était que je n'avais pas compris (et pourtant ça ne pouvait etre que ça, vu le résultat du calcul) que était le 4-vecteur dont la partie spatiale donne le champ électrique mesuré dans R' (selon mes notations) exprimé en fonction des 3-vecteurs E et B, qui sont les champs mesurés dans R (où l'on voit R' avancer à u).

Je suis pas du tout familier avec ce vocabulaire des tenseurs

Je continue un peu. Donc est le 4-vecteur champ électrique dans R', mesuré dans R.

Je peux noter le 4-vecteur champ électrique de R', mesuré dans R'. alors ce 4-vecteur sera : , oui ?


Encore une dernière question :

Si j'apelle le '4-vecteur densité de courant mesuré dans R, où est la densité de charge mesurée dans R et est la densité de courant aussi mesurée dans R.

Alors je lis que je peux décomposer ce 4-vecteur courant en une partie conduction et une partie convection :




Je crois comprendre qu'on appelle "conduction" la partie spatiale du 4-vecteur J et "convection" la partie temporelle du 4-vecteur J.

Le hic, c'est que d'après la définition de J, j'aurais eu tendance à écrire :



Où est la densité de charge mesurée dans R'. Manifestement je me trompe sinon en reprenant l'équation précédente ça voudrait dire que ....


en reprenant l'équation précédente :



Le calcul continue ainsi :



Il est dit que cette séparation conduction/convection de J est faite de sorte à ce que

Ok je vois pas pourquoi on remplace la charge par ?


Pour finir, le calcul cherche a établir ce que vaut la perte "joule" mesuré dans R' exprimée dans R.

La perte d'énergie électromagnétique dans R' est

Etant donné que le 4-vecteur est purement spatial (on l'a vu plus haut) et que le courant l'est aussi (pas sûr d'avoir compris si c'est un choix ou un fait) alors ce produit scalaire des deux 3-vecteurs est égal au produit scalaire des deux 4-vecteurs:



qui par définition est un invariant de Lorentz, donc égal au produit scalaire :




La ligne d'après égale l'équation précédente à :



là je vois qu'on se sert de ce qu'on a trouvé précédemment, mais je suis pas sûr de bien comprendre d'où vient F ici... et comment on arrive simplement a JFu.

Enfin le calcul de cette dernière ligne donne :




Quel sens physique peut-on donner au dernier terme ?

Merci d'avance

PS : Si vous avez une bonne référence de livre (anglais ou français) présentant le formalisme des tenseurs pour la relativité ne particulier je suis preneur. Je suis plutôt pas trop matheux donc j'aime bien quand c'est présenté de façon imagée (genre j'aimerais bien arriver aux interprétations intuitives géométriques dont tu parlais). Je galère un peu avec les notations en fait

PS2 : Si vous avez une bonne référence de livre présentant l'électromagnétisme relativiste ça m'intéresse aussi. Encore une fois je suis un peu repoussé par les ouvrages trop mathématiques

[invite2b505b01]

PS : Si vous avez une bonne référence de livre (anglais ou français) présentant le formalisme des tenseurs pour la relativité ne particulier je suis preneur. Je suis plutôt pas trop matheux donc j'aime bien quand c'est présenté de façon imagée (genre j'aimerais bien arriver aux interprétations intuitives géométriques dont tu parlais). Je galère un peu avec les notations en fait

PS2 : Si vous avez une bonne référence de livre présentant l'électromagnétisme relativiste ça m'intéresse aussi. Encore une fois je suis un peu repoussé par les ouvrages trop mathématiques

Je l'indiquais à l'instant dans un autre fil de conversation :
Électromagnétisme à partir des équations locales,
Gérard Fournet chez MASSON

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

Je continue un peu. Donc est le 4-vecteur champ électrique dans R', mesuré dans R.

Je peux noter le 4-vecteur champ électrique de R', mesuré dans R'. alors ce 4-vecteur sera : , oui ?

attention : un vecteur est le même dans tous les référentiels. Ce qui change ce sont ses composantes si chaque référentiel est équipé d'une base différente. Ce que tu appelles c'est la même chose que : le 4v dont la partie spatiale est le champ électrique mesuré par R'. Ses composantes dans la base associée à R sont celles que tu avais données avant alors que celles dans la base associée à R' sont effectivement .

Je crois comprendre qu'on appelle "conduction" la partie spatiale du 4-vecteur J et "convection" la partie temporelle du 4-vecteur J.

les expressions "partie spatiale" et "partie temporelle" sont imprécises. Il est plus correct de dire "partie orthogonale à U" ou du genre espace et "partie parallèle à U" ou du genre temps.

Le hic, c'est que d'après la définition de J, j'aurais eu tendance à écrire (...)

reprends tout ça en physique newtonienne pour comprendre ce qui se passe... quand tu as de la "convection", tu peux avoir un vecteur densité de courant même si la densité de charge électrique moyenne est nulle... c'est à ça que correspondent ces deux termes. Le premier traduit le fait qu'un courant peut exister même si la densité de charge électrique est nulle (par exemple dans un référentiel donné un fil électrique pourra être électriquement neutre tout en véhiculant un courant).

Ok je vois pas pourquoi on remplace la charge par ?

parce que comme je te le disais dans le message précédent, ce qu'on appelle charge électrique dans un référentiel donné est la projection du 4v J le long de la 4-vitesse d'un observateur immobile dans le référentiel en question, ce qui géométriquement (= de manière covariante) s''écrit par ce produit scalaire... prends le cas simple de deux fluides de densité +rho et -rho dont un seul se déplace... tu vois bien que tu as un J non nul mais un rho total nul.

et que le courant l'est aussi (pas sûr d'avoir compris si c'est un choix ou un fait)

les deux tu as décomposé J en sa projection de long de U et sa projection orthogonalement à U (et ce dernier truc est du genre espace).

je suis pas sûr de bien comprendre d'où vient F ici...

le premier F qui apparaît (membre de gauche) est juste une réécriture de e sous la forme F.u. Mais le terme qu'on obtient ainsi, (u.F)u est nul car tu contractes un truc antisymétrique (F) avec un truc symétrique (uu).

et comment on arrive simplement a JFu.

c'est une réécriture du premier terme du membre de gauche (le seul terme non nul de ce membre), J.e, en utilisant le fait que e=F.u

Quel sens physique peut-on donner au dernier terme ?

c'est grossièrement l'effet Joule associé au déplacement global de ton "milieu conducteur". Regarde le chapitre 5 de ce cours pour la situation newtonienne.

pour ce qui est des interprétations géométriques, malheureusement je ne sais pas où trouver ça sans que ce soit dans des trucs assez mathématiques et plutôt de RG...

[Heimdall]

Ok encore merci, j'avance... mais c'est pas encore ça.

Je me place dans R, je vois R' bouger à la vitesse v. Dans R je mesure une densité de charge et une densité de courant . Le quadrivecteur densité de courant que je vois, exprimé dans le référentiel R se note :



La quadrivitesse du référentiel R', dans R se note :



Si maintenant je projette le quadri-courant sur la quadri-vitesse j'obtiens :





Ce qui correspond, à un facteur c près, à la densité de charge mesurée dans R, et pas dans R' comme tu le disais. Ou est l'erreur ?

D'après moi, rho et rho', c'est pas pareil il y a bien un gamma entre les deux non ?



(si rho' est la densité mesurée dans R', bougeant à v dans R, le nombre de particules dans un volume dv étant le même dans R et R', et par contraction des longueurs de R' vers R, la densité volumique rho doit être plus grande que rho'... gamma>1 donc ma formule semble bonne)


donc moi, pour séparer le quadri courant en composantes alignées et perp à la quadrivitesse je ferais :




ce qui me donne, en remplaçant le produit scalaire parce que je j'ai trouvé plus haut :



et non pas

[invitea29d1598]

Si maintenant je projette le quadri-courant sur la quadri-vitesse j'obtiens :

tu as perdu un 1/(gamma) dans la bataille le résultat auquel tu parviens est (je travaille en unités c=1 qui évitent de s'embrouiller avec des c dans les calculs intermédiaires):



ce qui est exactement le résultat auquel tu t'attends...

donc moi, pour séparer le quadri courant en composantes alignées et perp à la quadrivitesse je ferais :

sans l'erreur précédente tu seras donc d'accord...