Equation du mouvement et statique des fluides

[invite92ca969b]

Bonjour,

J'ai une question toute bête à poser mais qui me perturbe. L'exercice met en jeu un réservoir rempli de gaz parfait à la pression P (qui varie en fonction du temps), la pression atmosphérique Po à l'extérieur du réservoir est constante.

On "bouche" le réservoir avec une bille (masse m) en la lâchant dans le goulot (elle oscille donc autour d'une position d'équilibre), sans frottements. La bille assure l'étanchéité, et on note x la position de la bille au cours du temps.

C'est là que ça se gâte, ils nous demandent de trouver l'équation du mouvement de la bille (à partir de la 2nde loi de Newton) et de préciser la pression à l'équilibre.

Pour l'équation du mouvement je projette verticalement et j'obtiens :

mx''=-mg+rho(air)V(bille)g

mais je n'arrive pas à trouver un lien entre la poussée d'Archimède, le poids, et x (ou ses dérivées successives) et je ne suis pas sûre du volume que je dois prendre (le volume total de la bille ou une moitié de volume ???).

De plus, ils demandent la pression à l'équilibre, logiquement, c'est la même de chaque "côté" de la bille c'est à dire P(éq)=Po, mais doit on dans ce cas faire un bilan de forces avec la poussée d'Archimède ou les forces de pression ? (et dans ce cas avec une sphère avec une moitié immergée dans le gaz, et l'autre dans l'air bonjour les dégâts quand on n'a pas vu les intégrales doubles ... ).

Merci d'avance si vou pouvez m'aider, bonne fin d'après midi.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Oubliez la poussée d'Archimède.
La force sur la bille est P.S, Où S est la section de la bille (pi.r²).
Quand la bille s'enfonce elle augmente la pression et quand elle remonte, la pression diminue.
Mais l'astuce est que la compression et l'expansion du gaz est adiabatique. Donc, vous ne pouvez pas utiliser la loi de gaz parfaits seule, mais il faut que vous ajoutiez celle des processus adiabatiques. PV^gamma = Cte.
Au revoir.

[invite92ca969b]

Merci de m'avoir remise sur le bon chemin à propos des forces de pression/poussée d'Archimède, mais dans ce cas, j'assimile la bille à un petit cube pour que ce soit plus simple ? On a pour donnée la taille du goulot (donc le diamètre de la bille), est ce que je peux prendre un cube (ou un cylindre), histoire d'avoir des faces planes de chaque côté (atmosphére/gaz dans la bouteille) ?

De plus à partir de là, j'ai la relation :

mx"=-mg+s*Po-s*P

Mais comment la relier à x ? Je suis sûre que c'est un truc tout bête de méca, mais impossible de retrouver un exemple (en exercice ou dans mon cours) qui illustre ce cas de figure. Je n'ai que des relations avec l'élongation d'un ressort où il faut bidouiller les relations avec les données à l'équilibre et les données en mouvement. Seulement là, pas de ressort...

Merci pour ta réponse, bonne soirée.

[invite92ca969b]

Et pour ce qui est des équations à partir d'une transformation adiabatique, ça vient plus tard dans les questions, mais merci de me l'avoir précisé, sans quoi j'aurai pu batailler un moment .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
La forme de la bille ou cylindre ou cube, ne change rien.
Pour n'importe quelle forme, la force due à la pression est égale à la section S du goulot multipliée par la pression (de chaque côté).
Le changement de volume dépend du changement de position dV = S.dx (attention aux signes qui dépendent de si V augmente ou diminue avec x.
Et finalement, les changements de pression dépendent des changements de volume. Et la relation entre les deux est donnée par d(P.V ^gamma) = 0 si on est en adiabatique ou par d(P.V) = 0 si on est en isotherme.
Au revoir.

[invite92ca969b]

D'accord, merci tout s'éclaire. Et je m'explique pour mon histoire de forme du "bouchon", notre prof nous a montré en cours comment débuter un bilan de forces de pression s'appliquant sur une sphère non assimilée à un point matériel et ... comment dire ... C'est un peu le bazar. Y a t'il une méthode "simple" pour traiter ce genre de cas ? (là ça ne rentre plus dans le cas de mon problème mais je suis curieuse).

Merci beaucoup en tout cas, je vais pouvoir avancer maintenant , bonne journée.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne sais pas s'il y a une méthode "simple". Il faut analyser et comprendre quelles sont les surfaces et combien valent des forces dues à la pression et leur direction.
Les forces de pression sont toujours perpendiculaires aux surfaces sur lesquelles elles agissent. Si les surface ne sont pas plates, il faut les décomposer et morceau plats. Et si le surfaces sont courbes, ces morceaux plats sont des différentiels de surface. Dans ce cas il faut calculer les composantes de la force (différentielle) dans la direction des axes, et faire la somme (intégrale) pour chaque direction.
On peut montrer très facilement avec le calcul sur une surface inclinée, que la force dans une direction ne dépend pas de l'inclinaison mais uniquement de la surface projetée dans la direction du calcul. C'est comme cela que l'on démontre que la force sur votre bouchon ne dépend que de la section du goulot et de la pression de chaque côté.
Au revoir.

[invite92ca969b]

Oui et c'est bien ça le problème, il y a une infinité d'éléments de surface à prendre en compte et sur chacun d'eux s'exercent une force de pression avec une norme et une orientation différentes ...

Et pour en revenir à la formule que vous m'avez donnée (dV=s*dx), est il faux de dire que :

V=s*x ?

Merci encore, bonne journée.

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. Totalement faux.
Imaginez que 'x' soit zéro. Où avez-vous placé l'origine des 'x' ?
A+

[invite92ca969b]

On place x=0 lorsque la bille est à l'extrémité haute du goulot, quand on la lâche en fait. La relation est totalement logique mais je la voudrais sans les différentielles :s car j'ai besoin de P et V en fonction de x (et des autres données)... Désolée d'abuser de votre temps et merci pour votre aide.

[invite6dffde4c]

Re.
Faites un dessin.
Si le volume total de la bouteille plus son goulot est Vo, le volume qui reste quand la bille est rentrée d'une distance x sera:
Vo - S.x
Je n'irai pas plus loin. C'est à vous de faire le problème et là, c'est moi que le fait.
A+

[invite92ca969b]

Il restait pas mal de calculs surtout avec mon habitude de faire des erreurs de calculs idiotes ^^ . En tout cas ça marche tout bien j'ai fini cette partie de problème. Merci beaucoup ça m'a permis de comprendre pas mal de choses et surtout de ne pas partir dans n'importe quelle direction.

Bonne après midi.