Probleme de mécanique, potentiel et systemes de coordonnées

[arbolis87]

Bonjour,
je bute sur un probleme simple de mécanique. Le voici:
Considérez une particule de masse m qui se déplace sous l'action du potentiel suivant: ou K et C sont >0 et le vecteur A est constant.

1)Calculez le vecteur accélération de la particule.
2)Considérez un systeme de coordonnées dont l'axe z est parallèle au vecteur A.
i)Calculez les composantes cartésiennes de la force qui s'exerce sur la particule.
ii)Refaire les calculs en i) mais dans la base de coordonnées sphérique et cylindrique.

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Ok donc je bloque au point 1).
Je sais que . Donc il faut que je dérive par rapport a r.
Mon probleme c'est la dérivée de "". Je remarque que ce produit est un scalaire, disons . Mais je doute s'il dépend explicitement de r. Autrement dit, que vaut ? J'ai envi de répondre 0 et je pense que c'est bon, mais je ne suis pas sur.
Que pensez-vous?
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[vaincent]

Bonsoir,

on peut appliquer la règle de dérivation (uv)'=u'v+uv' à un produit scalaire.

Donc

or , donc

au final

mieux vaut le laisser comme ça vu les questions suivantes, et ne pas oublier de multiplier par puisque nabla est un vecteur.

[arbolis87]

Ah merci Vaincent.
2 petites questions:
1)Je me suis rendu compte que . Et donc . J'avoue que c'est moins beau que ton expression.
2)Si j'ai bien compris, . Est-ce vrai?

[arbolis87]

Hmm maintenant que j'y pense, tu as montré que . Mais conclure que cela vaut (ou .) revient a dire que et la je ne comprends pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62e1e8a6]

Un problême simple . Bon courage...



ps: j'ai pas le niveau pour t'aider

[arbolis87]

Hmm maintenant que j'y pense, tu as montré que . Mais conclure que cela vaut (ou .) revient a dire que et la je ne comprends pas.

Ah je suis étourdit. Bien sur que ca vaut 0! Le vecteur A est constant... ok parfait. Je vais essayer le continuer.

[arbolis87]

Ok ca me donne:
et .
Je passe au point 2)i)
C'est bon j'ai fais un schéma. Quoique peut pointer vers n'importe quelle direction. Mais le sens, toujours "fuyant" l'origine du repere du systeme de coordonnée (cartésienne dans mon cas).
Analytiquement, j'hésite. Je remplace "r" dans ma formule de par... comme si r était en coordonnées sphériques?
Je suis encore perdu.
Merci pour toute aide.

[vaincent]

Que l'on soit en coordonnées sphériques ou pas, habituellement représente les vecteur position . A toi maintenant de trouver comment s'écrit le vecteur dans la base catésienne.

[arbolis87]

Que l'on soit en coordonnées sphériques ou pas, habituellement représente les vecteur position . A toi maintenant de trouver comment s'écrit le vecteur dans la base catésienne.

Ah zut, je n'avais pas vu ce message. J'ai considéré . Je tiens aussi a dire que je crois que j'ai fais une erreur de signe pour F et a.
J'ai . Et bien sur .
Donc pour 2)i) ca devient vraiment "horrible".
J'imagine que par "r" ils considerent le module de . Autrement dit, et donc .
J'obtiens donc . Maintenant il ne me reste plus qu'a remplacer "r" par dans la formule de . Ca terminerait 2)i). C'est bon ce que j'ai fait?

[vaincent]

Pour le signe, c'est bon.

Tu n'es pas obligé de noter , un suffit puisque est le vecteur position de la particule.

D'autre part, on dit bien dans l'énoncé que est parallèle à l'axe Oz, ce qui va simplifier l'expression du produit scalaire

Et, après avoir spécifié l'expression de , tu peux le laisser sous la forme , cela simplifiera encore l'expression finale.

[arbolis87]

Encore merci pour ton aide Vaincent!

Pour le signe, c'est bon.

Dans mon dernier post tu veux dire?

Tu n'es pas obligé de noter , un suffit puisque est le vecteur position de la particule.

Ok.

D'autre part, on dit bien dans l'énoncé que est parallèle à l'axe Oz, ce qui va simplifier l'expression du produit scalaire

Ah oui donc et dans ce cas. En gros, la projection orthogonale de sur les axes Ox et Oy est nulle. Donc dans ce cas . Alors on a . J'espere que c'est bon.

Et, après avoir spécifié l'expression de , tu peux le laisser sous la forme , cela simplifiera encore l'expression finale.

Ah génial. Mais comme le tout est multiplié par , l'expression qu'on me demande resterait quand meme longue de 3 lignes dans mon cahier de brouillon.

[vaincent]

Dans mon dernier post tu veux dire?

oui c'est ça

Donc dans ce cas . Alors on a . J'espere que c'est bon.

Je noterais plutôt puisque le vecteur A est parallèle à Oz et que du coup, sa composante suivant z est égale à son module.

Ah génial. Mais comme le tout est multiplié par , l'expression qu'on me demande resterait quand meme longue de 3 lignes dans mon cahier de brouillon.

Non si tu prends quelques petites initiatives. La grosse fraction dans le crochet avec les et tout, je la noterais simplement .

Au final, ça donnerait :

[vaincent]

après tu n'as plus qu'à exprimer x, y et z en coordonnées sphériques et cylindriques dans l'expression précédente pour répondre à la ii). Tu peux aussi écrire le vecteur F dans la base sphérique ou cylindrique, ce qui va encore simplifier le truc. En sphérique par exemple, le vecteur unitaire de r restera lui même et z= r cos(theta)/ pour la cylindrique j'te laisse faire

[arbolis87]

après tu n'as plus qu'à exprimer x, y et z en coordonnées sphériques et cylindriques dans l'expression précédente pour répondre à la ii). Tu peux aussi écrire le vecteur F dans la base sphérique ou cylindrique, ce qui va encore simplifier le truc. En sphérique par exemple, le vecteur unitaire de r restera lui même et z= r cos(theta)/ pour la cylindrique j'te laisse faire

Merci une fois de plus, ça m'aide vraiment.
Si j'ai bien compris, en sphérique j'obtiens .
Je me suis quand même pris la tête en calculant , j et k en sphériques (ce dernier est ; les 2 autres sont plus long à écrire). Je comprends que le vecteur unitaire r ne change pas si je transforme tout en coordonnées sphériques.
Donc si je ne me trompe pas, je pourrais me casser la tête en remplaçant par dans l'expression de . En remplaçant aussi y et z toujours dans l'expression de , puis remplaçant les vecteurs unitaires cartésiens en vecteurs unitaires sphériques, je devrais retrouver .

[vaincent]

Si j'ai bien compris, en sphérique j'obtiens .

C'est ça. Vu la forme du potentiel, il était clair dès le départ que s'était les coordonnées sphériques qui étaient les plus judicieuses à choisir.

Donc si je ne me trompe pas, je pourrais me casser la tête en remplaçant par dans l'expression de . En remplaçant aussi y et z toujours dans l'expression de , puis remplaçant les vecteurs unitaires cartésiens en vecteurs unitaires sphériques, je devrais retrouver .

oui en toute logique.