Potentiel et coordonnées sphériques

[invite8a95617d]

Bonjour,

Ma question est la suivante :

Dans un exercice un sphère chargé est placée dans un champs électrique uniforme E₀, celui ci induit sur la sphère une

distribution de charge o.

On demande d'exprimer, en coordonnée sphériques le potentiel V(M) dont dérive le champs E₀, puis de résoudre l'équation.
On nous donne l'expression du gradient d'une fonction en cordonnée sphérique.

Je sais pas vraiment comment commencer :
Je part de E₀ = -grad(V₀) = -[ dV/dr x u_r + 1/rsin(to) x dV/d(téta) x u_(téta) + 1/r x dV/d(to) u_(to) ]

...

Je suis bloqué là, je n'arrive pas à intégré pour trouver V₀ = ...

PS : on nous dis que la solution est de la forme V(M) = Arcos(to) + Bcos(to)/r²

Merci!
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[invite60be3959]

Bonjour,

Ma question est la suivante :

Dans un exercice un sphère chargé est placée dans un champs électrique uniforme E₀, celui ci induit sur la sphère une

distribution de charge o.

On demande d'exprimer, en coordonnée sphériques le potentiel V(M) dont dérive le champs E₀, puis de résoudre l'équation.
On nous donne l'expression du gradient d'une fonction en cordonnée sphérique.

Je sais pas vraiment comment commencer :
Je part de E₀ = -grad(V₀) = -[ dV/dr x u_r + 1/rsin(to) x dV/d(téta) x u_(téta) + 1/r x dV/d(to) u_(to) ]

...

Je suis bloqué là, je n'arrive pas à intégré pour trouver V₀ = ...

PS : on nous dis que la solution est de la forme V(M) = Arcos(to) + Bcos(to)/r²

Merci!

Une relation vectorielle dans l'espace équivaut à trois équations. En coordonnées sphérique on a donc :







Le tout est d'exprimer les composantes du champs électrique et ensuite d'intégrer.

[invite60be3959]

Une relation vectorielle dans l'espace équivaut à trois équations. En coordonnées sphérique on a donc :







Le tout est d'exprimer les composantes du champs électrique et ensuite d'intégrer.

il faut mettre un signe - devant les composantes en tau et theta bien sûr.

[invite8a95617d]

Ok, c'est ce que j'ai fait, mais je ne trouve rien de la forme donnée.















en sommant je suis loin de




Je pense faire grosse erreur, mais je vois pas où... peut-être sur les borne de l'intégration, ou sur l'intégration elle même...

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60be3959]

Je pense faire grosse erreur, mais je vois pas où... peut-être sur les borne de l'intégration, ou sur l'intégration elle même...

Merci

En effet, tout dépend de ce que valent les composantes du champs électriques. Peut-être qu'elles dépendent de r, theta ou phi, et cela aura une incidence sur l'intégration. En plus il ne faut pas sommer les 3 résultats. V est la primitive de E_r et de E_phir, et de E_theta r sin(phi). De ces 3 conditions on doit en déduire la forme de V. La polarisation de la sphère va également créer un potentiel dont il faudra tenir compte dans l'expression finale de V.

[invite8a95617d]

voici le schéma :


Je projette donc sur le repère E0 :

Er=E0 cos (téta)

E(téta)=E0 cos (pi/2 - téta) = E0 sin (téta)

Mais la est-ce que je doit intégré en utilisant le scalaire ou le laplacien ?
Les deux m'étant donné dans l'exercice.