Intégrer en coordonnées sphériques.

[invited5346723]

Bonsoir,

j'ai un problème avec un Pi "en rab" lorsque je tente d'intégrer en coordonnées sphériques (r,thêta,phi).
En fait mon problème revient à déterminer l'aire ou le volume d'une sphère avec la méthode intégrale.
Je pars de l'élément de surface r².dphi.dthêta (éventuellement l'élément de volume r².dphi.dthêta.dr) et j'intègre suivant thêta de 0 à 2*Pi, suivant phi de 0 à 2*Pi (suivant r de 0 à R, rayon de ma sphère)
et là, j'ai beau savoir que V(sphère)=4/3*Pi*R^3 ou que S(sphère)=4*Pi*R², je tombe à chaque fois sur : V=4/3*Pi²*R^3 et S=4*Pi²*R², ayant "récupéré" un Pi avec l'intégration suivant thêta et un avec celle suivant phi.
Je voudrais savoir où est mon erreur.
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[invite88ef51f0]

Salut,

Je voudrais savoir où est mon erreur.

Et s'il y en a plusieurs ?

r².dphi.dthêta

Perdu... en sphérique, c'est r² sin(theta) dphi dtheta ! (et hop, un Pi en moins !)

suivant phi de 0 à 2*Pi

Perdu... c'est de 0 à Pi. Comme theta varie déjà de 0 à 2Pi, il ne faut pas faire deux fois le tour de la sphère !

[invited5346723]

Merci bien

sinon j'ai quand même encore une question : pour les bornes ça y est j'ai compris mais le sin suivant thêta, il vient d'où ?

[invite88ef51f0]

Ben... il vient des formules. Si tu as du temps à perdre, tu peux essayer de le retrouver à partir des équations permettant des coordonnée cartésiennes aux coordonnées sphériques, mais le mieux est de l'apprendre.
Et puis d'abord, ton r², il venait d'où ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

Merci bien sinon j'ai quand même encore une question : pour les bornes ça y est j'ai compris mais le sin suivant thêta, il vient d'où ?

Le sin, il vient du fait que phi est l'angle que fait la projection du vecteur position sur le plan Oxy. Sa longueur n'est donc par r mais r.sin(theta)

[invited5346723]

merci zoup !
mon r² venait de ce qu'intuitivement (mais c'était pas ça ) je voyais comme élément de surface un de rectangle posé sur une surface cylindrique qui aurait eu comme côtés r*dthêta et r*dphi, d'où le r²*dthêta*dphi qui était faux mais perso
(de la même façon qu'en sylindro-polaires, dans r*dr*dthêta*dz, le r vient de dthêta -en espérant avoir fait compréhensible-)