droites de l'espace + nombres premiers

[dans.le.mistral]

Bonjours , j'ai 2 questions à vous poser , une sur les nombres premiers , et l'autres sur les plans et les droites de l'espace.

1)soit p un nombre premier >7.
on pose n = p^4 -1
*montrer que p est congru à -1 ou 1 modulo 3 et en déduire que n est divisible par 3
* en remarquant que n est impair , prouver que p²-1 = 4k(k+1)
puis que n est divisible par 16


Je n'arrrive pas à pouver que n est divible par 16.
pour prouver p²-1 = 4k(k+1) , j'avais fait p=2k+1 soit p² =...
mais pour n = p^4 -1 , j'y arrive pas. j'ai vu que
p^4 -1 = (p²-1)*(p²+1) , mais ca ne m'avance pas.



2)Soient les plans P et P' d'équation respectives 2x-y+5=0 et
3x+y-z=0 . Comment trouver la représentation paramétrique dont la droite formée par leur intersection ?

je fais 2x-y+5=3x+y-z=0 , mais apres , ca me donne x+2y-z-5=0 , mais ca , il me semble que c'et l'équation d'un plan et pas d'une droite.


Merci d'avance de votre aide
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[invite43f8e83d]

Bonsoir, pour n div.par 16:
on a p²-1=4k(k+1) soit p²+1=4k(k+1) + 2
soit n=p4-1=4k(k+1)[4k(k+1) + 2]
soit n=8[2k²(k+1)² + k(k+1)]
ensuite on étudie la parité de k.(k+1) pour k entier
on trouve que k(k+1) est toujours pair qque soit k entier
on pose donc k(k+1)=2u u entier qque
soit n=8(2u²+2u)=16(u²+u) multiple de 16

[invitebf65f07b]

salut
au sujet de tes équations de plans et de droite. il faut commencer par comprendre un certain nombre de choses:
-dis toi qu'une équation(ax+by+cz=0) te fais perdre une dimension et que donc oui ce que tu trouves donne un plan.
-sinon il est très utile de savoir (je passe l'explication...) que pour le plan correspondant à ax+by+cz=0, le vecteur (a,b,c) est orthogonal à ce plan. il parfois plus simple de considérer un vecteur qu'un plan ou une équation.
-pour résumer, tu as 2 vecteurs dont tu sais que la droite recherchée est orthogonale

reste à savoir si tu connais le produit vectoriel (apparemment tu as au moins le niveau TS, alors on va dire que oui) grâce auquel tu obtiens un troisieme vecteur normal au deux précédents et qui est donc un vecteur directeur de la droite que tu cherches.
je te laisses en déduire une expréssion paramétrique de ta droite...
évidemment il y a moyen de faire plus "simple" en tripatouillant les équations et en faisant apparaitre un paramètre comme on peut, mais la méthode au-dessus à le mérite de mieux montrer ce qui ce passe et reste valable en toute généralité.

[dans.le.mistral]

pour l'exo sur les droites , pour trouver les coordonnées d'un point de la droite , peut on fixer un x au hasard ( 2 par exemple ) et trouver le y et le z correspondant à partir des équations des plans ?

et merci à duduc et robert et ses amis de leurs réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf65f07b]

pour l'exo sur les droites , pour trouver les coordonnées d'un point de la droite , peut on fixer un x au hasard ( 2 par exemple ) et trouver le y et le z correspondant à partir des équations des plans ?

oui, tu peux : tu fixes une coordonnée -> tu obtiens la valeur du paramètre pour ce point -> tu obtiens la valeur de chacune des coordonnées.
mais si tu veux un point quelconque de ta droite, fixes directement la valeur de ton paramètre.

voilà bon courage ...