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intersection 2 droites dans l'espace



  1. #1
    scientist

    intersection 2 droites dans l'espace


    ------

    Bonjour,

    JE suis face à un problème de triangulation et je m'arrache les cheveux :

    1 point physique MX,Y,Z) est perçu par 2 caméras et pour simplifer, chacune parallèle à un plan principal d'un repère orthonormal (donc chaque caméra est à X0i,Y0i,Z0i de ce repère). [à 90° entre elle donc].

    Ce point M est projeté linéairement sur le capteur de la caméra en visant le point focal(Fi) de chaque caméra. [cf figure...]. Il s'agit du Modèle Sténopé.

    Par la suite, (u,v) : point centré sur le capteur de la caméra. [en réalité, [(u-u0)/fk , (v-v0)/fk]... pour les connaisseurs]

    On peut donc déterminer 2 eq de droite qui se croisent en X,Y,Z (M).soit les équations de (Fi_M).
    On peut aussi écrire que ces droites sont (Fi_Mprojeté).

    Cela donne pour Caméra1 parallèle à (X0Y) et F1_Caméra1 dans l'axe Z : X01+(v1)*X+Y01+(u1)*Y+Z01+f*Z= 0

    demême pour Caméra face à (X0Z) : X02+(v2)*X+Y02+f*Y-Z02+u2*Z=0

    Cela donne 2 eq pour 3 inconnus... or je sais qu'il n'existe qu'une et une seule solution... qu'est-ce qui me manque pour résoudre?
    Merci d'avance!

    -----
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  4. #2
    Taar

    Re : intersection 2 droites dans l'espace

    Salut !

    Citation Envoyé par scientist Voir le message
    Cela donne pour Caméra1 parallèle à (X0Y) et F1_Caméra1 dans l'axe Z : X01+(v1)*X+Y01+(u1)*Y+Z01+f*Z= 0

    demême pour Caméra face à (X0Z) : X02+(v2)*X+Y02+f*Y-Z02+u2*Z=0
    Ce sont des équations de plans. Si tu veux vraiment des équations cartésiennes il faut deux équations de plan par droite.

    On obtient un système de quatre équations à trois inconnues. Mathématiquement, il n'a pas de solution en général (les deux droites "se ratent"). Mais si c'est le même point qui est repéré dans l'image cam1 et dans l'image cam2, les deux droites s'intersectent et on trouve bien une solution unique.

    Taar.

  5. #3
    scientist

    Re : intersection 2 droites dans l'espace

    Euh, j'vais demandé qq chose de simple mais comment on obtient ces équations de droites si l'on ne connait que les 2 points de passages?

  6. #4
    Jean_Luc

    Re : intersection 2 droites dans l'espace

    Citation Envoyé par scientist Voir le message
    Euh, j'vais demandé qq chose de simple mais comment on obtient ces équations de droites si l'on ne connait que les 2 points de passages?
    Salut,

    Tu peux créer une équation de droite passant par P1 et P2 en intégrant un paramètre t:



    Pour calculer l'intersection de deux droites, tu développes l'équation vectorielle et normalement tu devrais tomber sur un système de 3 équations à 2 inconnus (t1 et t2).
    L'Univers est fini. Ah bon déjà ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Taar

    Re : intersection 2 droites dans l'espace

    Citation Envoyé par scientist Voir le message
    Euh, j'vais demandé qq chose de simple mais comment on obtient ces équations de droites si l'on ne connait que les 2 points de passages?
    Avec ta figure tu as deux points par droite :
    La première droite est la droite (C1m1)
    La deuxième est la droite (C2m2)

    Méthode 1. en paramétriques :
    C1(X01,Y01,Z01)
    m1(u1,v1,a)
    Attention, j'ai pris les coordonnées de m1 dans le repère de l'espace.
    Alors (u1-X01,v1-Y01,a-Z01)
    Un point M(X,Y,Z) de la droite vérifie
    C'est-à-dire :
    (X-X01,Y-Y01,Z-Z01)=(u1-X01,v1-Y01,a-Z01)
    Ou encore :
    X=X01+(u1-X01)
    Y=Y01+(v1-Y01)
    Z=Z01+(a-Z01)

    De même un point de (C2m2) vérifie :
    X=X02+(u2-X02)
    Y=Y02+(b-Y01)
    Z=Z02+(v2-Z01)

    où on a pris
    C2(X02,Y02,Z02)
    m2(u2,b,v2)

    Comme l'a dit Jean-Luc, tu n'as plus qu'à égaliser pour trouver et (trois équations, deux inconnues) ; ensuite on trouve X, Y, Z en injectant le trouvé, par exemple, dans les équations paramétriques de la première droite.

    Méthode 2. en cartésiennes :
    On cherche une paire d'équations pour (C1m1).
    Elle est l'intersection de deux plans "naturels", à savoir :
    • le plan (C1m1n1) où n1(u1+1,v1,a)
    • le plan (C1m1p1) où p1(u1,v1+1,a)
    Je te fais grâce des calculs, on trouve comme équations :
    • (v1-Y01)Z-(a-Z01)Y=v1Z01-aY01 pour le premier plan
    • (u1-X01)Z-(a-Z01)X=u1Z01-aX01 pour le deuxième plan
    Ceci donne un système pour la droite (C1m1) (tu pourras contrôler qu'il est vérifié par C1 et par m1).

    On fait pareil avec la droite (C2m2) pour obtenir, au final, le système suivant (4 équations, 3 inconnues) :
    (v1-Y01)Z-(a-Z01)Y=v1Z01-aY01
    (u1-X01)Z-(a-Z01)X=u1Z01-aX01
    (v2-Z02)Y-(b-Y02)Z=v2Y02-bZ02
    (u2-X02)Y-(b-Y02)X=u2Y02-bX02

    Problème :
    Aucune de ces deux méthodes ne donnera de résultat parce qu'en pratique, à cause des erreurs de mesure, les droites mathématiques ne se coupent pas ; chaque système sera sans solution.

    Adaptation 1 :
    Tu triches et tu enlèves une équation (une sur les trois du système "paramétriques", ou bien une sur les quatre du système "cartésiennes").

    Adaptation 2 :
    Tu cherches le point K de (C1m1) le plus proche de (C2m2).

    Adaptation 3 :
    Tu cherches le point K de (C1m1) le plus proche de (C2m2), le point L de (C2m2) le plus proche de (C1m1), et tu prends le milieu de [KL].

  9. #6
    scientist

    Re : intersection 2 droites dans l'espace

    Merci pour les équations, ça va me faire gagner du temps!

    Pour les adaptations... j'y avait pensé mais pas en aussi court, je vais voir ce qui est mieux dans mon cas. Je pensais dans un premier temps rajouté un paramêtre Epsilon pour l'incertitude ce qui aurait fait une sphère de solutions puis j'aurais pris le barycentre.

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