Intersection de deux droites parallèles !!!

[invite778609db]

Bonjour,
A ce que j'ai entendu, dans R u {-inf; +inf } deux droites parallèles ont un point d' intersection !!

J'en reste septique. Est ce que quelqu'un a de la documentation à apporter ou simplement des connaisances à ce sujet.
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[invite88ef51f0]

Premièrement, les droites, c'est plutôt dans (R u {-inf; +inf })²
Deuxièmement, comment tu définis le terme "paralléle"?
Troisièmement, tout physicien te dira que les droites se coupent à l'infini, mais je ne sais pas ce que te dira un mathématicien (c'est comme de dire que 1/x=0 quand x est infini...)

[invite67d96d45]

salut !

Excusez moi d'intervenir dans vos propos trés mathématiques, mais je serai tenté de vous dire "revenez sur terre", il faut être réaliste:

> Prends deux bouts de bois
> Tu les mets parralléles tous les deux
> Tu te rends compte qui ne se rencontreront pas
> Donc si tu va vers l'infini il ne se rencontrerons toujours pas

Détachons nous un peu des maths, pour réfléchir un peu !
Deux droites parralléles ne se rencontreront jamais !
Amitiés

[inviteab2b41c6]

> Prends deux bouts de bois
> Tu les mets parralléles tous les deux
> Tu te rends compte qui ne se rencontreront pas
> Donc si tu va vers l'infini il ne se rencontrerons toujours pas

Qu'est ce que t'en sais, t'es allé voir?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Cependant ce n'est pas vrai, la distance entre les droites est non nulle.

Si la distance est non nulle, alors il est impossible que les parties aient un élément en commun puisque par définition de la distance on a
d(A,B)=min(d(x,y)) avec x dans A y dans B
Ce qui nous dit donc que si 2 parties A et B sont non disjointes, alors d(A,B)=0 puisque les parties étant non disjointes, il existe au moins un x dans A et B, or d(x,x)=0 par définition de distance:
(d(x,y)=0 <-> x=y
d(x,y)>=0
d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y))

En prenant la contraposée, si la distance est non nulle, alors les parties sont forcément disjointes...

Ce qui est le cas ici...

Cependant ce n'est pas forcément parce que 2parties fermées de R² ont une distance nulle qu'elles ont une intersection non vide, c'est en revanche le cas de 2compacts de R²...

[invite88ef51f0]

Euh... si je suis bien, t'as pas plutôt d(A,B)= inf(d(x,y)) ? Ca chipote, ça chipote...
En clair, tu dis que 2 droites sont parallèles ssi elles ne se coupent pas...
Je sentais bien qu'aucun matheux n'aurait dit que les droites se coupaient à l'infini, déjà que quand les physiciens le disent c'est quasiment synonyme de "les droites ne se coupent pas"...

[invitea29d1598]

en fait, la définition mathématique usuel du truc dont tu parles, c'est le plan complexe + le point infini. Tout ça forme un compact que l'on identifie par difféomorphisme (en fait la structure est un peu plus riche que ça) à une sphère (dite sphère de Riemann qui n'est qu'un exemple de surface de Riemann).

Et en visualisant ça comme ça, on "voit bien" que l'on peut définir des parallèles de manière locale (comme les méridiens) mais qui se coupent à l'infini (puisque ce dernier est le pôle Nord où se croisent les méridiens).

donc des droites parallèles peuvent se croiser à l'infini, même pour les mathématiciens...

[invite88ef51f0]

Dans ce cas, juste une petite question: existe-t-il une définition de "parallèle" qui ne soit pas locale?

[inviteb0df2270]

Deux droites parallèles se coupent en l'infini.

Lol, ça a fait l'objet d'une pluie de questions en cours de physique hier dans ma classe.

Je sais pas pour vous mais moi ça me semble logique !!! o_O

[inviteab2b41c6]

en fait, la définition mathématique usuel du truc dont tu parles, c'est le plan complexe + le point infini. Tout ça forme un compact que l'on identifie par difféomorphisme (en fait la structure est un peu plus riche que ça) à une sphère (dite sphère de Riemann qui n'est qu'un exemple de surface de Riemann).

Et en visualisant ça comme ça, on "voit bien" que l'on peut définir des parallèles de manière locale (comme les méridiens) mais qui se coupent à l'infini (puisque ce dernier est le pôle Nord où se croisent les méridiens).

donc des droites parallèles peuvent se croiser à l'infini, même pour les mathématiciens...

Mais sur une surface de Riemann ce ne sont plus vraiment des droites.
Enfin si, lol mais je crois que c'était des droites euclidiennes dont il s'agissaient, non?

[invitea29d1598]

>Mais sur une surface de Riemann ce ne sont plus vraiment des droites.

tout-à-fait, j'aurais dû dire que ce sont des géodésiques, généralisations de la notion de droite. ops:

> Enfin si, lol mais je crois que c'était des droites euclidiennes dont il s'agissaient, non?

à partir du moment où tu mets le point infini dans l'espace géométrique, tu sors de la géométrie euclidienne.

> Dans ce cas, juste une petite question: existe-t-il une définition de "parallèle" qui ne soit pas locale?

si tu penses à la géométrie euclidienne, pas de problème, c'est pareil. Tu peux même définir le parallélisme chez Euclide comme: "dans un plan, sont parallèles deux droites qui n'ont aucun point commun". Mais en fait c'est une définition qui marche bien uniquement chez lui. Je veux dire par là que tu as le droit de définir le parallélisme comme ça même dans les surfaces non-euclidiennes. Mais si tu le fais, tu rates plein de choses. Il vaut donc mieux affiner la définition en considérant que la géométrie euclidienne est un cas particulier: chez lui, tout couple de "droites" qui sont localement parallèles est tel que les droites sont parallèles en tous points, ce qui n'est pas vrai dans le cas général.

Reste à définir proprement le "localement parallèles"... mais quand tu le fais (et pas besoin d'aller jusqu'aux surfaces de Riemann et à l'analyse complexe), tu peux étudier plein de choses dans les géométries non-euclidiennes (cf Lobatchevski, Riemann, Poincaré, etc...).

[inviteab2b41c6]

Oui mais chez Lobatchevski c'est horrible parce que 2 droites parallèles à une 3e peuvent passer par le même point et etre distinctes ops:

[invite67d96d45]

salut !

####

Faites donc l'expréience: prenez deux tubes de cuivre, et mettez les en parralléles.
Est-ce que les tubes vont se rejoindre ??? NON

Refaite mainteannt l'expérience avec des tubes 10x plus grands. Est-ce que les tubes vont se toucher ? NON

Nul besoin d'être mathématicien, pour savoir cela, et eviter de vous cacher derrière des pseudo-loi mathématiques, et ne vous écartez pas trop de la réalité...

Vive la science "raisonné", et non pas "mathématiphier"

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Yoyo
Responsable du forum.

[invite88ef51f0]

Mais il faut quand même reconnaitre que la science "mathématiphiée" a fait ses preuves... Le bon sens est malheureusement trop limité

"La nature est écrite en langage mathématique" (Galilée)

[inviteb0df2270]

Dire que 2 droites ne se touchent jamais revient à dire qu'elle se touche à l'infini.
Dire qu'une fonction tend vers une valeur mais ne la touche jamais revient à dire qu'elle l'atteint à l'infini.

Prenez une lampe, et placez là devant un écran. Les rayons lumineux ne seront pas parallèles à la normale de l'écran. Eloignez la lampe de 10m, de 1000000m, de 100 milliards d'années-lumières, puis placez là à l'infini... Les rayons lumineux seront de plus en plus parallèles, et le seront quand la lampe sera placé à l'infini. On en déduit donc que 2 droites parallèles sont sécantes à l'infini !

L'infini n'existant pas, on peut dire que ce n'est qu'une question de vocabulaire pour permettre de comprendre un phénomène.

[invitea29d1598]

####

Faites donc l'expréience: prenez deux tubes de cuivre, et mettez les en parralléles.
Est-ce que les tubes vont se rejoindre ??? NON

Refaite mainteannt l'expérience avec des tubes 10x plus grands. Est-ce que les tubes vont se toucher ? NON

####

tu dis ça car tu as une idée préconçue du monde en tête. Pour toi le monde est ce que les mathématiciens appelle un espace euclidien. La seule différence étant que eux savent donner un nom à ça. Mais vois-tu, les mathématiciens savent très bien que lorsqu'ils raisonnent sur un espace mathématique, il ne raisonne pas sur le monde réel. Le monde réel, on ne connaît pas ses propriétés. La science se contente de faire des modèles et n'affirme jamais "c'est comme ça". Au mieux, elle dit: "apparemment, cette explication n'est pas bonne mais cet autre modèle semble marcher".

il n'y a que les "messies" dans ton genre (ou les médias) qui affirment "le monde est ainsi fait, écoutez-moi, je suis le détenteur de La Vérité"...

tu affirmes que si tu vas à pieds jusqu'au bout de l'univers tes tuyaux de cuivre ne se seront toujours pas rejoints. Absolument rien ne te permet de dire cela. Seuls tes préjugés #### te le permettent. Et d'ailleurs, sans vouloir t'offenser, les observations cosmologiques ont depuis longtemps "montré" que l'univers n'est pas plat et que la théorie d'Einstein est valable au moins dans les principes.

avec des gens comme toi, on en serait encore à croire que c'est le Soleil qui tourne autour de la Terre... c'est évident: on le voit au premier coup d'oeil. Seul des imbéciles comme Copernic et Kepler auraient pu se lancer dans la confrontation entre les maths et les observations astronomiques pour déduire que le Soleil est au centre du système solaire.

au fait: tu savais que c'est pas le Soleil qui tourne autour de la Terre?

et une dernière remarque: tu prétends que les maths n'ont rien à faire avec la connaissance du monde, mais ta façon de "montrer" que deux droites ne se rencontreront jamais repose sur le principe de récurrence mathématique (à part que tu l'appliques faussement #### ): tu fais tendre à l'infini un truc que tu n'as montré que deux fois...

une autre dernière remarque: dans les années 20-30, Dirac a cherché à obtenir une équation qui généralise l'équation de Schroedinger mais soit compatible avec la relativité restreinte. Son cheminement a uniquement été sur des considérations de symétrie et de "beauté" d'équations. Il a finalement obtenu un truc qui lui plaisait, mais il y avait une caractéristique étrange: une des solutions semblait être l'électron déjà connu, mais il y avait une autre solution de charge électrique opposée et avec des propriétés étranges. Cette découverte mathématique l'a amené à prédire l'existence de l'anti-particule de l'électron, le positron (qui était cette autre solution).

est-il nécessaire de te rappeler ( ####) que cette prédiction purement théorique et mathématique a été confirmée par expérience quelques années plus tard mais surtout qu'aujourd'hui des médecins du monde entier utilisent la "tomographie par positrons" qui a déjà permis de sauver des milliers de vies (probablement plus, mais je ne connais pas les nombres)?

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Yoyo
Responsable du forum.

[inviteb865367f]

En gros tout dépend de la courbure

[inviteab2b41c6]

est-il nécessaire de te rappeler (car puisque tu sais tout tu dois déjà le savoir) que cette prédiction purement théorique et mathématique a été confirmée par expérience quelques années plus tard mais surtout qu'aujourd'hui des médecins du monde entier utilisent la "tomographie par positrons" qui a déjà permis de sauver des milliers de vies (probablement plus, mais je ne connais pas les nombres)?

Moi je ne savais pas, mais à la fac, à Lyon1, là où j'étudie, il y'a un projet de hadron-thérapie, donc un truc avec des noyaux lourds, qui serait apparement miraculeux en cancero pour soigner les gens, ca aurait un rapport?
Bon mais là je m'éloigne un peu du débat...

[inviteab2b41c6]

je qualifie de stupide, et qui ne font vraiment pas évoluer le monde

La théorie des espaces courbes: Minkowski/Riemann/Einstein/Poincaré ....
qui sont les pères de la théorie de la relativité, théorie sans laquelle tu serais privé de beaucoup d'objets de la vie quotidienne...

Ce sur quoi tu te base pour tenir ce genre de propos s'appelle 2e/5e postulat d'Euclide, et comme tout postulat n'ont jamais été démontrés (pour la bonne raison que tu ne pourras pas le démontrer pour toutes les géométries).

Et le plus troublant, c'est que ca a été formulé vers -250 avant JC, donc si tu penses que les 2000 dernières années de mathématiques n'ont pas fait avancer le monde, libre à toi...

[invitea29d1598]

En gros tout dépend de la courbure

pas uniquement en fait: la topologie est très importante aussi. Quand tu dis que tu travailles sur {R2 U le point infini} (ou C à la place de R2, c'est pareil) au lieu de R2 seul tu passes d'un truc non-compact à un truc compact. C'est pas anodin. D'ailleurs, la question de la topologie de l'univers est un truc que ne traite pas le relativité: c'est une théorie qui parle de choses uniquement locales. Par exemple, en supposant que l'espace est complètement plat (un bon vieux R3), on peut sans le courber dire qu'au bout d'une certaine distance on se retrouve à l'autre bout de l'univers (on le rend multi-connexe).

dans cette image, l'univers est un hypercube: un cube dont les faces opposées ont été deux à deux identifiées. Un exemple d'hyper-carré (deux dimensions) est le tore (le beignet avec un trou). En effet, le tore est (malgré les apparences) un truc plat mais pas simplement connexe. Ce qui nous pousse à dire que le tore est pas plat est le fait que l'on confond courbure intrinsèque et extrinsèque. La première est une propriété de "l'objet" lui-même et la deuxième dépend de la façon dont on "plonge" l'objet dans un espace de dimension supérieure. En clair, pour quelqu'un qui vie en deux dimensions sur un tore, il est plat: la somme des 3 angles d'un triangle fait toujours 180 degrés, etc... mais il ne nous parait pas plat car on pense à ce qu'on voit en 3 d.

Pour revenir à l'univers, récemment, des chercheurs ont dit avoir réussi à expliquer un truc que l'on comprenait pas dans le rayonnement de fond cosmologique en supposant que l'univers est un "hyper-dodécahèdre" (de Poincaré). Les médias ont rapporté ça en disant que nous vivions dans un ballon de foot... (pour ceux que ça intéresse, y'a un article dans Nature du 9 octobre)

et quand tu autorises des topologies "exotiques", tu peux avoir même pour un truc sans courbure intrinsèque des "droites parallèles" qui se rencontrent...

[invite072b030b]

Juste une réponse à 14cbs je ne sais pas trop quoi : lisez Homo Aestheticus de Luc Ferry. A moment donné il est dit que les géométries non euclidiennes ont suscité chez certains artistes un certain enthousiasme voire un enthousiasme certain et les ont confortés dans leur abandon de l'espace plastique conventionnel : naissance du cubisme.

C'est juste un exemple. La pensée n'est jamais gratuite, a fortiori les mathématiques ne sont jamais inutiles, il suffit juste d'être suffisament au-dessus des revendications de son estomac pour savoir que l'utilité est toujours un a posteriori, qu'elle se fixe avec le temps, les moeurs, voire pire, les modes.

D'ailleurs les mathématiques sont la première des sciences. Sans elles, pas de physique, pas de chimie, moins directement, pas de biologie moderne, pas de sociologie. C'est vrai aussi bien du point de vue historique/épistémologique (on parle de "mathématisation du monde" pour la naissance de la science moderne) que du point de vue du présent de la science.

Tout ce qui paraît un peu trop abstrait pour un histrion (pour être poli) se rélève un jour fondamental, surtout avec notre physique contemporaine très friande de mathématiques. exemples :
- Ne pas oublier que l'informatique est née dans la science logique la plus abstraite (Russell, etc.)
- Le produit scalaire peut paraître inutile à un jeune glandu qui sort de seconde (vécu), mais une fois arrivé en fac de médecine, avec une biophysique très appliquée, très "utile" (mieux vaut parler d'appliqué que d'utile : l'utile est un concept de l'estomac, comme dirait Platon : de l'âme des désirs inférieurs correspondant socialement à la plèbe), il constate que c'est une notion utilisée dans pratiquement tous les développements de mécanique.
- Idem pour la "fonction dont la dérivée est elle-même" (que c'est abstrait donc inutile!) utilisée pour décrire tous les phénomènes de croissance/décroissances linéaires!
- Le livre de Newton qui a "lancé" une vision physique du monde s'appellait les "principes mathématiques" et est riche en démonstrations incompréhensibles même pour un prof de physique de lycée.

Voilà. Mon opinion est que la science, étant acte de raison, n'a aucun ordre à recevoir d'esprits "pragmatiques" (pour rester polis). Les scientifiques sont au dessus des estomacs gueulards de certains. La connaissance est une fin en soi, on peut objecter sur les moyens de l'atteindre (Ethique) mais certainement pas lui fixer des contraintes, des cadres de recherche et des fins extérieurs à elle-même, conformes aux intérêts de certains, ou pire, à leur idéologie. La science est utile quoiqu'elle fasse.

Cordialement.

[invitea29d1598]

Moi je ne savais pas, mais à la fac, à Lyon1, là où j'étudie, il y'a un projet de hadron-thérapie, donc un truc avec des noyaux lourds, qui serait apparement miraculeux en cancero pour soigner les gens, ca aurait un rapport?

je connais pas très bien les détails techniques, mais c'est fort possible que ça soit la même chose en effet: l'idée de la tomographie positronique est (si je me souviens bien) de rendre temporairement faiblement radioactifs des noyaux (s'ils sont lourds c'est justement plus facile) pour qu'ils se désexcitent en émettant un positron qui va interagir avec un électron du malade pour produire une paire de photons assez simples à repérer... et il parait que c'est bien pour repérer les tumeurs et autres trucs du genre...

m'enfin, pour moi ça reste encore un peu mystérieux la façon dont on fait ça et comment on réussit à trouver des tumeurs comme ça... si quelqu'un connait les détails et veut m'expliquer, je suis preneur... même si comme tu dis, on sort un peu du thème math...

d'ailleurs, je vais aller mettre la question directement ailleurs, ça sera plus simple...

[invite072b030b]

En plus j'ai oublié de mettre en avant l'inconsistance du "raisonnement" de 14cbs...:
- Vous essayez de monter une "expérience" alors que par droite on entend pas "tige" mais longueur sans largeur, objet purement intellectuel qui n'existe pas dans le monde que vos yeux perçoivent (pas de largeur = pas d'atomes ayant une largeur! pour réfléchir la lumière = impossible à voir!).
- Votre définition est celle d'une droite infinie en longueur! aucun infini n'est accessible à l'expérience, et l'infini est une notion dangereuse : songez aux limites de fonctions qui amènent à des formes indéterminées parfois insolubles!
- Vous associer le parallélisme au parallélisme euclidien : deux droites qui sont perpendiculaires à une troisième. Or les parallèles de Riemann (ne se rencontrant jamais) n'obéissent pas à cette définition : ce sont des cordes d'un cercle FINI dont la surface représente le plan, qui remplace le plan infini de la géo. euclidienne! dans cette géométrie les droites qui ont une perpendiculaires communes sont également parallèles, mais sont également parallèles les paires de droite qui ne peuvent pas se toucher à l'intérieur du cercle (sur la feuille de papier elles le peuvent).

Personnellement, la géométrie riemanienne me semble plus "évidente" que l'euclidienne, parce que je suis trop humble surement pour me sentir apte à raisonner sans cesse en m'assayant sur le concept d'infini comme sur ma chaise! Tout est une question d'opinion. Et les opinions ne valent rien.

Cordialement.

[inviteb6d767d2]

Salut
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Pour détendre l'atmosphère , deux droites qui ont 2 points communs sont-elles également des droites parallèles non disjointes?

Dans ce cas, elles ont également une infinité de points communs.

Comme quoi

A+
Bigonoff

[invite072b030b]

non, pas plus que deux droites non coplanaires sont parallèles dans l'espace. Parallèle au sens strict c'est être dans un même plan et n'avoir aucun point commun!

[inviteab2b41c6]

Non pas chez Lobatchewski, il me semble...
A confirmer...

[invite03f54461]

S'lu
En tous cas, si tu vois qu'un objet rapetisse en s'éloignant,
il s'ensuit que les parallèles se rejoignent à l'horizon défini comme "infini"
Quand tu prends une photo, ou quand un peintre calcule une perspective,
sur la photo, ou sur la toile, il y a un horizon à une distance finie,
le rapprochement de cet horizon est en rapport avec la distance focale.
Pour voir un univers euclidien, il nous faudrait des yeux d'une longueur infinie.

[inviteb47fe896]

Le premier but de la géométrie (éthymologiquement , mesure de la terre ) a été de justifier rationnellement les méthodes et les résultats utilisés par les "harpédonaptes".
Riemmann dans "Analysis Situs" rend compte de l'importance de la Topologie comme instrument de la logique pour justifier les choses.
Les modèles de géométries non euclidiennes pressentis pour valider la théorie utilisent, pour aboutir, les propriétés du plan euclidien ; il y a là un parasitage invalidant.
Lobatchevski, lui, ne procède pas de même mais son étude conduit à l'existence de l'horicycle qui, au terme d'une étude poussée au delà des limites qu'il avait atteintes, conduit à son identification avec la droite. D'où ...?...

[invite6b1e2c2e]

lol ! Merci eitermoeg de nous le ressortir, même si je suppose que les participants n'attendaient plus d'évolution.
Il est rigolo ce thread ! Personne ne parle d'espaces projectifs ! Comme quoi, on doit être devenu meilleur avec le temps quoi qu'en dise nos profs.
En plus, le ton polémique est particulièrement drôlatique. Je me suis pris un gros fou rire devant mon ordi, et les gens dans mon bureau ont commencé à me regarder bizarrement, mais bon...

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rvz, que c'est marrant aussi quand ça dégénère

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Eh les gars... Avant de vous rendre sourds, vous avez relu les axiomes d'Euclide?
Des fois, une bonne douche froide, ça évite de confondre les droites et les géodésiques (comme ce week-end quand je suis sorti du restau, le plus court chemin n'était pas du tout la ligne droite, il y en avait même des plein de approximativement parallèles, re- ).


À bon entendru, Salers...

-- françois

P.S. Poirur eirtermoeg: on écrit "étymologiquement", sans "h" ni "y" superfétatoire, qui ferait inévitablement penser à "éthylisme", mais comme ce WE je fêtais mes 46 balais au moins j'avais une excuse...