droites parallèles sur la surface d'une sphère

[invite348ff59e]

salut! est-ce possible que deux droites parallèles se coupent en deux points sur la surface d'une sphère??qu'en est-il des meridiens?? Merci.
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Ca dépend de ce que tu appelles droites parallèles sur une sphère ?

Si tu dis que c'est des "droites" qui se coupent en deux points diamétralement opposées, alors oui, bien sûr c'est possible. En fait, c'est toujours le cas.

Il faudrait reformuler la question : Mettre des guillemets sur les notions que tu écris, ou dire que tu travailles en géométrie sphérique, sinon, ce n'est pas très clair.

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rvz

[invite4793db90]

Salut,

les droites sur une sphère sont les géodésiques, donc les grands cercles et il me semble bien qu'ils ne sont jamais parallèles (sauf s'ils sont confondus) : c'est d'ailleurs la négation du cinquième postulat d'Euclide « étant donné une droite D et un point P hors de D, il n'existe pas de parallèle à D passant par P » qui définit la géométrie sphérique, non ?

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Ah, tu es sûr ?

Pour moi, c'est l'inverse. Effectivement, les droites correspondent aux grands cercles, mais toutes les droites sont parallèles.

Enfin, de toute façon, ce qui est clair, c'est qu'il faut définir proprement la notion de droites parallèles sur une sphère.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

C'est ce que dit wikipedia en tout cas.

Ca semble plus logique que deux droites parallèles ne se rencontrent pas, non ?

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Beuarf !
Désolé pour ce grognement issu d'un long processus de rejets des géométries non euclidiennes.

En fait, oui, c'est plus logique, mais les géométries non euclidiennes, je m'en méfie toujours beaucoup, parce que tant qu'on n'a pas défini ce qu'étaient deux droites parallèles, beaucoup de choses peuvent arriver.

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rvz

[invite6f25a1fe]

Salut,

les droites sur une sphère sont les géodésiques, donc les grands cercles et il me semble bien qu'ils ne sont jamais parallèles (sauf s'ils sont confondus) : c'est d'ailleurs la négation du cinquième postulat d'Euclide « étant donné une droite D et un point P hors de D, il n'existe pas de parallèle à D passant par P » qui définit la géométrie sphérique, non ?

Cordialement.

C'est la cas de la géométrie non-euclidienne elliptique en général. A l'inverse, dans les géométries hyperboliques, il existe une infinité de droites parallèles à une droite donnée et passant par un même point.
Mais il me semble que l'on peut également définir ces géométrie avec la somme des angles d'un triangle :
- =180° euclidienne
- <180° non-euclidienne hyperbolique
- >180° non-euclidienne elliptique
Mais bon, j'avais étudié ca en .... philosophie (et oui^^), donc ca date un peu et on ne peut pas dire qu'on est eu droit à beaucoup de démonstration et notion mathématique sur les géométrie non-euclidienne (=> donc à vérifier)
P.S : il me semble qu'on avait quand même donné une définission de deux droite parallèles valables dans les géométries euclidienne et non-euclidienne, mais je ne m'en souviens plus (en tout cas, deux droites parallèles ne sont pas forcément deux droites qui ne se coupent jamais [ca doit plutôt être une conséquence du cinquième postulat lorsqu'on est dans une géométrie euclidienne, non ?])

[invite4793db90]

C'est la cas de la géométrie non-euclidienne elliptique en général. A l'inverse, dans les géométries hyperboliques, il existe une infinité de droites parallèles à une droite donnée et passant par un même point.
Mais il me semble que l'on peut également définir ces géométrie avec la somme des angles d'un triangle :
- =180° euclidienne
- <180° non-euclidienne hyperbolique
- >180° non-euclidienne elliptique
Mais bon, j'avais étudié ca en .... philosophie (et oui^^), donc ca date un peu et on ne peut pas dire qu'on est eu droit à beaucoup de démonstration et notion mathématique sur les géométrie non-euclidienne (=> donc à vérifier)

C'est tout à fait juste.

(en tout cas, deux droites parallèles ne sont pas forcément deux droites qui ne se coupent jamais [ca doit plutôt être une conséquence du cinquième postulat lorsqu'on est dans une géométrie euclidienne, non ?])

Comme rvz le dit, il faut se méfier mais il me semble que deux droites parallèles non confondues n'ont pas de points communs, par définition (c'est à vérifier toutefois, je n'ai pas retrouvé de source). En revanche, il n'y a plus transitivité du parallèlisme (étant donné deux droites parallèles, une droite parallèle à l'une n'est plus nécessairement parallèle à l'autre).

Cordialement.

[inviteab2b41c6]

En fait, oui, c'est plus logique, mais les géométries non euclidiennes, je m'en méfie toujours beaucoup, parce que tant qu'on n'a pas défini ce qu'étaient deux droites parallèles, beaucoup de choses peuvent arriver.

Effectivement, et pour avoir travaillé sur des géométries hyperboliques, je peux vous dire que les définitions qui varient d'un livre à l'autre, sont souvent contradictoire.
Par exemple, certains auteurs définissent sur le disque de poincaré (i.e. le disque unité ouvert où les droites sont des arcs de cercles euclidiens perpendiculaires au cercle unité, cercle que l'on appelle "infini") des droites parallèles comme des droites qui ont un point d'intersection à l'infini.
D'autres définissent les droites parallèles comme des droites non concourante, même en l'infini et finalement d'autres définissent les droites parallèles comme deux droites étant à la même distance l'une de l'autre (est ce qu'elles existent toujours?)
Attention donc à ce que l'on veut exprimer...