explications pour la convergence d'une série

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je viens d' aborder le chapître: "séries numériques" et je peine à comprendre une démonstration pourtant élémentaire:celle qui démontre la divergence de la série harmonique.

la série harmonique est définie par:
Somme de 1 jusqu' à oo des 1/n

En effet on on en vient à faire la différence de deux sommes partielles: S(2n) et S(n)

S(2n)-S(n)>1/2

Mais pourquoi avoir choisi S(2n) et S(n) pour en faire la différence? N'aurait-t'on pas pu choisir d'autres sommes partielles pour conclure la démonstration?

Merci de m'éclairer

Cordialement le fouineur
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Il y a beaucoup de méthodes pour démontrer cela.
Une parmi tant d'autres : Comparer la fonction f(x) = 1/x avec les élements, et sommer.
Tu obtiens un truc du type
U(n) < ln(n) < U(n+1) , ce qui te permet de conclure à la convergence. En encadrant bien à chaque fois, tu devrais même pouvoir trouver que U(n) - ln(n) est convergente. Sa limite est la constante d'Euler.
Du coup, tu obtiens
U(n) = ln(n) + gamma + o(1)
Et tu en déduis des résultats du type U(2n)-U(n) tend vers ln(2) etc...

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rvz

[invite4793db90]

Salut,

un fil qui traitait du problème avec (encore) une autre démonstration au message #9 par Gwyddon.

Cordialement.

[le fouineur]

Bonjour rvz et martini_bird,

Merci pour vos réponses rapides et en particulier pour le fil que tu m'as indiqué martini_bird

Toutefois, je n'arrives pas à tirer profit de cette démonstration car les expressions en tex sont invalides sur mon ordinateur.Elles sont en effet remplacées par des croix.Est-ce que cela provient de mon ordinateur ou du serveur du forum?
Pendant que j' y suis,pourrais-tu martini_bird jeter un coup d'oeil à un ancien topic que j' ai édité le 06/08/2006 et intitulé: "système d'équations non linaires (bis)",si tu en as le temps....

Cordialement le fouineur

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Toutefois, je n'arrives pas à tirer profit de cette démonstration car les expressions en tex sont invalides sur mon ordinateur.Elles sont en effet remplacées par des croix.Est-ce que cela provient de mon ordinateur ou du serveur du forum?

Tu n'es pas le seul concerné : celà doit venir de la mise à jour du forum : ce sera certainement bientôt résolu.

Pendant que j' y suis,pourrais-tu martini_bird jeter un coup d'oeil à un ancien topic que j' ai édité le 06/08/2006 et intitulé: "système d'équations non linaires (bis)",si tu en as le temps....

Volontiers, j'ai été absent un moment et je n'ai pas lu tous les fils qui étaient passés.

Cordialement.

[invite6f25a1fe]

Bonjour à tous,

Je viens d' aborder le chapître: "séries numériques" et je peine à comprendre une démonstration pourtant élémentaire:celle qui démontre la divergence de la série harmonique.

la série harmonique est définie par:
Somme de 1 jusqu' à oo des 1/n

En effet on on en vient à faire la différence de deux sommes partielles: S(2n) et S(n)

S(2n)-S(n)>1/2

Mais pourquoi avoir choisi S(2n) et S(n) pour en faire la différence? N'aurait-t'on pas pu choisir d'autres sommes partielles pour conclure la démonstration?

Merci de m'éclairer

Cordialement le fouineur

On choisit juste S(n) et S(2n) parce que ca se simplifie bien, le but étant juste de trouver une grandeur qu ne tende pas vers 0 quand n tend vers l'infini (on utilise le critère de Cauchy) . En prenant S(n) et S(8n), ca marche aussi, tu arrive à S(8n)-S(n)>7/8

[le fouineur]

merci Scorp pour avoir répondu exactement à ma question,

Je suis tout à fait d'accord avec tes arguments, à savoir que l'on a choisi précisément S(2n) et S(n) pour qu'on otienne l'expression de la limite la plus simple possible.
Je me suis aperçu par ailleurs que l'on pouvait modifier l'écriture de S(2n)-S(n) en S(2n)-S(2n-n) puis en:
S(n)-S(n-1)....Ouf on retombe bien sur une formule du cours et il ne reste plus qu'a montrer que cette expression ne tend pas vers 0 quand n tend vers +oo.
Quand au critère de Cauchy,il figure bien dans mon livre
d'analyse MP et sous trois formulations différentes (et difficiles à appréhender car l'indice de la somme est aussi fonction des termes extrèmes de cette mème somme)....Bref la mème difficulté que pour se représenter une intégrale fonction d'une ou de ses bornes...
Heureusement,dans le cours j' ai une formulation plus intuitive du critère de Cauchy mais que je ne comprends toujours pas:
elle s'énonce ainsi: si la racine Nième du terme général
U(n) tend vers une limite l quand n tend vers +oo
si l >1 alors la série diverge
si l <1 alors la série converge
si l =1 alors ce critère ne permet pas de conclure....
J' aimerais voir une application de ce critère avec un exemple de série concret.En d'autres termes j'aimerais savoir à quel type de terme général ce critère peut s' appliquer...

Merci de me répondre....

Cordialement le fouineur

[invite6f25a1fe]

Tu parle de 3 formulations différentes, mais est ce qu'il s'agit bien des 3 même convergence. Moi j'en ai également trois, 1 pour les cvge simple, 1 pour la cvge uniforme et 1 pour la cvge normale. Pour la convergence simple, on a le critère suivant :
La série des converge simplement si et seulement si (oula, un peu dur d'écrire tout ca en TEX )
Tu peux bien sûr changer la série de p à p+k par la différence de deux sommes partielles S(p+k)-S(p).
Pour notre série harmonique, on a montré justement qu'il existait un coupke (p=n,k=n) tel qu'il n'existe pas un certain rang à partir duquel la différence des S(p+k)-S(p) n'est pas aussi petite que l'on veut (inférieur à un certain epsilon) . On en déduit que la série ne converge pas.
Par contre, si tu utilise ce critère pour une suite (ou une série), tu montre uniquement que tu as une suite de Cauchy. Il faut que ton espace soit complet pour que tu puisse en déduire la convergence : toute suite convergente est de Cauchy, mais toute suite de Cauchy n'est pas convergente (sauf dans un espace complet)
Intuitivement, on peut considérer que le fait qu'une suite soit de Cauchy, ses termes se rapprochent de plus en plus les uns des autres, ce qui suggère que la suite converge vers une certaine limite.
Pour un exemple, tu peux essayer de chercher à montrer que la série est convergente uniformément en utilisant le critère de Cauchy, avec avec :
- si k inférieur ou égale à n
- sinon
C'est pas forcément facile comme exemple, mais j'ai pas trouvé mieux.
Sinon, je ne connais pas cette vairante avec la racine Nième. Ca me fait penser un peu à la règle de D'alembert (pour les séries à termes positifs et en prenant la limite de ). En tout cas ca m'interresse si quelqu'un a des infos la dessus.