Calcul de parallèles à la surface de la Terre

[inviteaae92066]

Bonjour à tous ,
Je suis nouveau ici et je me permets de solliciter votre aide pour parvenir à résoudre un problème sur lequel j’ai déjà pas mal planché mais qui est toujours sans réponse, du moins pas complète.

Le problème est le suivant :
Je connais les coordonnées de deux points à la surface de la Terre (Latitude et Longitude, on suppose que l’altitude est constante). Ces deux points n=sont relativement proches (maximum 2 ou 3 kms, plutot quelques centaines de mètres)
Je désire d’abord connaître l’équation reliant ces deux points.
Puis je souhaite trouver l’équation d’une droite parallèle à celle reliant ces deux points (C’est moi qui choisit la distance entre les parallèles)
Finalement je voudrais trouver les coordonnées des points extrêmes de cette droite parallèle.

Je me suis aperçu qu’il y avait de nombreux paramètres à prendre en compte, notamment le fait qu’une distance exprimée à une certaine longitude n’est pas constante pour n’importe quelle longitude. Une distance s’exprime ainsi : Distance à longitude (X) = Distance à longitude 0* cos (latitude(X)).
En revanche quelque soit la latitude une distance est constante sur l’axe de la latitude.


Voir les explications sur le schéma suivant :
A et B sont les deux points connus

http://img216.imageshack.us/img216/7...cations6to.png

Si on complique une peu le sujet et que l’on utilise plusieurs points qui forment une parcelle par exemple.

http://img233.imageshack.us/img233/2936/parcelle2wk.png

Comment calculer des parallèles au coté 3-4 tous les X mètres (avec X distance normale entre 3-4 et la parallèle) et obtenir les coordonnées des points d’intersection de ces parallèles avec les cotés 2-3 et 4-1.
Si quelqu’un se sent l’âme d’un matheux, j’ai mis les coordonnées des points que j’ai utilisés, comme ça je pourrais comparer avec les résultats que j’obtiens. La précision à 7 chiffres n’est pas un luxe, elle me permet d’être le plus juste possible dans tous mes calculs.
Je voudrais réaliser cette application sous Excel de manière à ce que tout se trace et se calcule automatiquement. En fait je suis parvenu à obtenir des parallèles mais les distances entre chaque parallèle sont différentes de la distance X initialement choisie. Je suis un peu perdu dans mes calculs.

Merci par avance

Edit : Si le topic n'est pas dans le forum le plus adéquat, veuillez m'excuser et n'hésitez pas à le déplacer.
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[invité576543]

En revanche quelque soit la latitude une distance est constante sur l’axe de la latitude.

Bonjour,

Avant de proposer des solutions, le problème demande à être clarifié. La citation ci-dessus est vraie sur sphère, mais pas sur un ellipsoïde, et encore moins sur le géoïde.

Problème lié, la notion de "altitude constante". Quelle notion d'altitude est utilisée?

Sur la sphère, la formule est simple, elle peut se faire par un calcul assez simple de trigo sphérique. Sur l'ellipsoïde, c'est autre chose!

Cordialement,

[inviteaae92066]

mmy,
Tout d'abord merci pour votre réponse,
Ensuite je me doutais bien que j'étais dans le flou , pour moi qui suis un novice dans ce domaine c'est dur de réfléchir à un tel sujet.

Pour clarifier le sujet, peut être est il nécessaire de considérer que je travaille à la surface de la Terre, approximée comme étant une sphère (donc sans variation d'altitude). A vrai dire je n'ai pas trop compris votre remarque quant aux différentes notions d'altitude .
Pensez vous que ces approximations vont fausser le résultat de manière importante ? Tout en sachant que les distances entre 2 points (quelques centaines de mètres) restent faibles par rapport aux grandeurs mises en jeu (rayon de la terre par exemple).

Merci de votre aide

[inviteaae92066]

Un petit Up pour un sujet qui est super important pour moi et pour éviter que ça ne finisse de la sorte
Merci de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bonsoir,

Sur une surface aussi petite que quleques centaines de mètres, l'erreur de l'approximation plane n'est pas très grande. Il suffit de convertir en km, avec la correction de cos(latitude) pour la conversion degré de longitude en km, et d'appliquer Pythagore...

Cordialement,

[invite3a5f9129]

Bonjour,
1. pour clarifier la notion d'altitude : c'est la longueur, mesurée le long d'un ligne de force du champ de pesanteur, entre une surface de référence, appelée géoïde, et le point considéré. Le géoïde est l'équipotentielle du champ de pesanteur qui correspond le mieux au niveau moyen des mers.
2. On parle de hauteur à propos de la distance entre le point considéré et l'ellipsoïde.
3. ton premier schéma est faux : il n'y a pas un axe des latitudes et un axe des longitudes, mais des plans définissant un méridien origine des longitude (le méridien de Greenwich), et un plan définissant l'origine des latitudes (l'équateur). Sur ton schéma, on dirait que tu es déjà en projection plane, ce qui entraine forcément des déformations par rapport à la figure sur la Terre.
4. par ailleurs, la ligne liant tes deux points est-elle effectivement une ligne droite qui passe "à l'intérieur" de la Terre, ou la ligne sur la surface de celle-ci? Dans un cas comme dans l'autre, ta parallèle à celle-ci ne pourra vraisemblablement jamais relier deux autres points sur la Terre.
5. Un conseil : si tu travailles sur une sphère, travaille d'abord en coordonnées cartésiennes X Y Z géocentriques, et passe ensuite en coordonnées géographiques par des relations de trigo.
6. Peut-être trouveras-tu des informations intéressantes sur le site de l'Institut Géographique National (où je travaille), sur la page consacrée à la géodésie (c'est le nom, peu connu, de la science s'occupant des dimensions de la Terre et de son champ de pesanteur) :
http://www.ign.fr/affiche_rubrique.a...1646&lng_id=FR
http://www.ign.fr/affiche_rubrique.a...FR&rbr_id=1597
http://www.ign.fr/affiche_rubrique.a...FR&rbr_id=1598
Bon courage...

[inviteaae92066]

Bonjour à tous,

Merci Indiana pour cette réponse complète et rapide, qui n'est cependant pas sans m'effrayer En effet je suis en train de m'apercevoir que tout ce que j'ai fais jusqu'ici est probablement faux, alors qu'il ne me reste plus beaucoup de temps.
1. Je vais d'abord reclarifier mon sujet :
Mes données de base sont des coordonnées type Latitude / Longitude exprimées en décimal, correspondant a des points constituant le pourtour d’une parcelle à la surface de la Terre. Cette parcelle, dont on peut avoir un exemple dans le second lien du premier message, a par exemple 4 cotés. Je connais donc les points « extrêmes », ceux qui forment les 4 coins de la parcelle. En calculant la distance de chaque coté de la parcelle à l’aide de la formule suivante je sélectionne le coté le plus long :
Dist = Rayon Terre * ACOS(SIN(Lat A) * SIN(Lat B) + COS(Lat A) * COS(Lat B) *COS(Lon B –Lon A) avec les latitudes et longitudes converties en radians.
Connaissant le coté le plus long et ses deux extrémités, je souhaiterais calculer les parallèles à ce coté et trouver chaque point d’intersection entre ces parallèles et les autres cotés de la parcelle.
2. En ce qui concerne la latitude, ok pour ta définition, ainsi si je considère travailler à la surface de la Terre approximée comme étant une sphère, je n’ai pas d’altitude qui entre en jeu n’est ce pas ?
3. Pour mon premier graphique, en effet j’ai raisonné sur une projection plane, à vrai dire je ne savais pas comment faire autrement. Est ce que les erreurs qui découlent de cette projection plane sont conséquentes étant données les faibles distances séparant les points ?
4. Ma ligne reliant les deux points serait idéalement celle qui suit la surface de la Terre, mais il me semble qu’une telle considération va fortement compliquer les calculs, pour cela il serait sûrement préférable de considérer la droite « tunnel » entre ces deux points. D’ailleurs il me semble que c’est ce que j’ai fais à travers mes différents calculs. Là encore pensez vous que l’erreur induite sera importante ?
5. Etant donné que mes données de base sont exprimées en décimal, il faudrait pour toi que je les convertisse en cartésiennes X Y Z géocentriques (il faut que je trouve la conversion), ensuite que je fasse les calculs puis que je reconvertisse les résultats en Décimal ?

Je suis vraiment dans le flou, en train de m’emmêler les crayons entre toutes les relations, je ne suis déjà pas très calé en maths/géométrie mais c’est compliqué par le fait que je suis tout seul sur cette étude, dans un pays étranger, avec un accès au net limité et sans personne pour m’aider ici.

Merci de votre précieuse aide

[invite3a5f9129]

Salut,

Le premier conseil que je pourrais te donner en ce qui concerne la paramétrisation et la vision de ton problème est de faire un premier schéma "sphérique" de ce dont tu disposes et de ce que tu cherches à calculer, en faisant apparaître clairement les angles (latitude, longitude) connus et inconnus. Ne travaille en projection que sur des plans pour lesquels la projection est facilement dessinable et interprétable (genre xy (équateur), xz (méridien de greenwich)). Certaines projection ne portent pas à de grosses déformations, mais seulement sur certaines régions. Exemple : un plan tangent à une sphère ne déforme pas trop la zone tangente, mais énormément dès qu'on s'en éloigne (projection appelée stéréographique). Mais il y en a d'autres : Mercator (un cylindre tangent à la sphère), Lambert (un cône tangent sur la sphère), etc... et chaque projection entraîne inévitablement des déformations.
OK pour ne travailler que sur la sphère, sans altitude ou autre...
Par ailleurs, quand tu dis "parallèle", je ne vois pas bien ce dont tu parles. Il peut y avoir un problème, par exemple si tes points initiaux sont sur le même méridien (de même longitude) : ce que tu appelles parallèle sera-t-il à une autre longitude et sur le même méridien (auquel cas il n'y a pas parallélisme, puis ces lignes à la surface de la Terre se recoupent aux pôles), un cercle de rayon plus petit que celui de la Terre ne coupant jamais celui engendré par tes deux premiers points, ou une ligne droite effectivement parallèle à la ligne droite définie par tes deux premiers points?
Si tu te destines à travailler sur la ligne droite "tunnel", alors tu dois impérativement travailler en X Y Z, sinon tu n'utilises pas les paramètres te permettant de calculer une droite parallèle. Ce n'est pas dur : il suffit de projeter sur chaque axe. En revanche, en trois dimension, il n'y a pas une équation pour définir une droite, mais deux équations de plans dont l'intersection est la droite ainsi définie. Trois points suffisent pour trouver l'équation du plan : tes deux points initiaux, plus un point que tu peux prendre arbitrairement (l'origine du repère par exemple...).
Voilà ce que je peux faire pour t'aider pour l'instant. N'hésite pas à me contacter pour plus d'infos.

Bon courage.

[GillesH38a]

Attention, les "droites" à la surface de la Terre sont en fait des géodésiques: à l'approximation sphérique, ce sont des grands cercles (cercles coupant la sphère en deux moitiés égales (pléonasme)), comme l'équateur ou les méridiens. En revanche les "parallèles" ne sont PAS des géodésiques. En allant vers l'Est ou vers l'Ouest, on ne prend pas la route la plus courte ! problème bien connu des navigateurs et des avions, on doit piquer vers le Nord Ouest, puis le Sud Ouest pour traverser l'Atlantique "en ligne droite" (le Titanic le savait bien , hélas).

Une propriété de lagéométrie sphérique est qu'il n'existe AUCUN couple de géodésiques parallèles (qui ne se rencontrent jamais). Deux grands cercles se coupent toujours. Autrement dit, si vous tracez un grand cercle, puis que vous partiez d'un point extérieur à ce cercle, en allant "tout droit" dans n'importe quelle direction, vous le rencontrez toujours. Ou alors il faudra "tourner" pour l'éviter, comme les parallèles Est-Ouest , qui ne sont en fait pas "droits".

[invite3a5f9129]

Nous utilisions "parallèle" comme un adjectif, pas comme un nom. Merci de lire les messages précédents avant d'envoyer un message qui ne nous avance pas.
Notre camarade Damien cherche à tracer une ligne parallèle à celle définie par deux points situés sur la Terre, et à aucun moment nous n'avons parlé de parallèle au sens de la ligne située à latitude constante.

[GillesH38a]

d'accord, mais s'agit-il de la ligne située à distance constante (qui n'est pas un grand cercle, et est analogue à un parallèle à latitude constante), ou du grand cercle "localement parallèle" (au point considéré), qui lui est géodésique mais finit par recouper la première ligne en deux points (et n'est donc pas à distance constante).
Contrairement à la géométrie plane, les deux conditions sont incompatibles.

Sinon pour l'équation d'une "ligne droite" quelconque (géodésique sur une sphère), elle est du type
où et sont deux paramètres représentant géométriquement la position du "pôle" si la géodésique considérée était "l'équateur".
Si on a deux points sur la sphère et , on peut trouver et en écrivant que ces deux points doivent vérifier l'équation géodésique.

AVec un peu de calculs fastidieux que je vous recommande de vérifier (pas vérifié sur un bouquin), je trouve personnellement


et

et sont la vraie latitude (pas la colatitude) et la longitude.

[invité576543]

Nous utilisions "parallèle" comme un adjectif, pas comme un nom. Merci de lire les messages précédents avant d'envoyer un message qui ne nous avance pas.
Notre camarade Damien cherche à tracer une ligne parallèle à celle définie par deux points situés sur la Terre, et à aucun moment nous n'avons parlé de parallèle au sens de la ligne située à latitude constante.

Bonjour,

Il y a un problème, là! Répétons que la notion de "tracer une ligne parallèle à [une autre]" est notion compliquée sur une surface telle que celle de la Terre ou d'une sphère.

Il y a beaucoup d'aspects mal posés dans le problème, en particulier à cause de cette notion de "parallèle à".

Cordialement,

[invite3a5f9129]

C'est pour cela que j'ai demandé à damien de préciser ce qu'il entendait quand il disait "ligne parallèle à", parce l'ensemble de son problème était au départ mal posé ou suffisamment flou pour que les termes qui ont d'habitude une signification claire la perdent dans ce contexte...

[inviteaae92066]

Tout d’abord merci à vous tous pour votre activité sur le sujet , malheureusement je peux me connecter principalement que le matin c’est pour cela que je ne réponds que maintenant.
Alors il est vrai que ma notion de parallèle porte à confusion … et que mon sujet est un peu flou , veuillez m’en excuser
Je ne parle pas en effet des parallèles au sens « la ligne située à latitude constante » mais plutôt au sens « ligne droite située à une distance constante d’une autre, et qui n’est pas un grand cercle ».
A partir de mes deux points connus, je veux connaître l’équation de la ligne qui les rejoint puis par exemple l’équation de toutes les autres lignes situées à une distance multiple de 12 mètres (dans la limite des 4 cotés de ma parcelle d’origine).
Vous allez peut être trouver ça totalement infondé mathématiquement parlant, mais voici une démarche que j’ai suivi lorsque j’ai commencé à chercher (j’ai aussi fait autre chose totalement différent mais celle ci me semble peut être la meilleure, même si je ne sais pas si elle est juste) :

- Je considère dans cet exemple la parcelle que je vous ai montrée dans le second lien du premier post
- J’ai donc assimilé le problème à un problème plan (X : Longitude ; Y : Latitude)
- Je connais Latitude et Longitude des points 3 et 4
- J’ai calculé le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine des droites 2-3 ; 3-4 et 4-1 pour avoir leur « équation »
- Je connais la distance souhaitée entre les deux droites (Work Width), ainsi que différents angles. Je vous invite à consulter les schémas suivant en même temps que les explications pour avoir une idée plus précise de ce que je tente d’expliquer.

- Pour déterminer la longitude du point cherché, représenté par la croix, je calcule la distance projetée sur la ligne rouge à l’aide de Work Width , de l’angle et du sinus puis extrait de cette distance uniquement la composante longitude (à l’aide d’un autre angle), puis corrige cette distance en tenant compte du facteur cos(latitude), puis convertit ce résultat en degré, puis soustrait cette valeur en degré à la longitude du point d’origine connu (3 ou 4) ce qui me donne alors la longitude du point représenté par la croix. Je fais ça pour les deux points connus, j’obtiens ainsi les longitudes des deux croix, le calcul de leur latitude se fait en utilisant l’équation de la droite sur laquelle ils se trouvent respectivement.
- En répétant cette démarche aux nouveaux points trouvés, je peux ainsi calculer les parallèles suivantes.

C‘est une démarche assez basique, avec beaucoup de simplifications mais c’est un début. Les résultats que je trouve ne sont cependant pas exactement ceux que je souhaiterais trouver.

Merci à vous

[inviteaae92066]

Petit remonte topic

Pensez vous que la démarche détaillée précedemment est correcte ou à proscrire ?

Si je raisonne en coordonnées sphériques, est ce bien de la manière suivante que je dois m'y prendre :
x = R*cos(Lat)cos(Lon)
y = R*cos(Lat)sin(Lon)
z = R*sin(Lon)

Je calcule ces coordonnées pour chacun des points et ensuite je peux calculer les vecteurs définissant chaque "droite" reliant deux points.
Comment pourrais - je m'y prendre pour calculer l'angle entre deux droites ?

Merci de votre aide

[invité576543]

Petit remonte topic

Pensez vous que la démarche détaillée précedemment est correcte ou à proscrire ?

Si je raisonne en coordonnées sphériques, est ce bien de la manière suivante que je dois m'y prendre :
x = R*cos(Lat)cos(Lon)
y = R*cos(Lat)sin(Lon)
z = R*sin(Lon)

Je calcule ces coordonnées pour chacun des points et ensuite je peux calculer les vecteurs définissant chaque "droite" reliant deux points.
Comment pourrais - je m'y prendre pour calculer l'angle entre deux droites ?

Merci de votre aide

Tu proposes de te mettre en 3D. Pourquoi pas. L'angle de deux droites en 3D n'est pas nécessairement la bonne approche si tu ne cherches que la notion de parallèle.

La condition pour que deux segments P1P2 et P3P4 sont parallèles est assez simple, la formule est:

(x1-x2)/(x3-x4) = (y1-y2)/(y3-y4) = (z1-z2)/(z3-z4)

Si tu est toujours intéressé par l'angle, indiques-le...


Cordialement,

[inviteaae92066]

En fait si j'ai pensé à passer en 3D alors que je sais que j'avais fait l'approximation plane, c'est parce que l'on me l'avait suggéré plus haut et comme je n'arrivais pas à obtenir des résultats exacts, je me suis dit que peut être qu'en essayant en 3D ça irait mieux.
Ce qui me pose problème dans mon approximation plane, c'est la chose suivante :
On m'a donné une parcelle carrée, tous les angles entre les 4 cotés sont donc de 90°. Or, quand je calcule les "coefficients directeurs" des cotés à l'aide des coordonnées Lat/Lon des 4 points définissant le carré, je ne trouve pas qu'ils sont perpendiculaires (le produit des deux ne donne pas -1). Du coup ça fausse le reste des calculs.

[GillesH38a]

Salut Damien

résumons nous
si tu te places dans l'approximation ou la surface de la Terre est plane, il n'y a pas de problème, tu poses


(avec et la latitude et la longitude de ton origine, par exemple d'un coin du carré; que je suppose donnés en degrés décimaux.


et tu fais de la géométrie euclidienne.
(ce ne sont pas les formules que tu donnes pour X et Y qui sont les coordonnées cartésiennes avec origine au centre de la Terre).
Mais il faut savoir que ce n'est qu'une approximation : en réalité la surface est sphérique. Donc tu auras des problèmes si ta surface est un peu grande: soit tes droites calculées avec x et y ci-dessus ne sont pas droites, soit tes angles ne seront pas de 90 °.
Si tu te places dans l'espace à trois dimensions (X,Y,Z) tel que tu te le définis, tu définiras des droites qui couperont la sphère, en pratique ça veut dire qu'elles s'enfoncent dans le sol avant de ressortir par l'autre point ! ce n'est pas exactement ce qu'on fait quand on trace les limites d'un terrain !

Donc si tu tiens compte de la rotondité de la Terre, il est impossible de faire de la géométrie euclidienne en "restant à la surface" : la somme des angles d'un triangle ne sera pas 180 °, les carrés n'auront pas des angles de 90 ° , le rapport entre le périmètre d'un cercle et d'un rayon ne sera pas de 2 pi , etc;...

donc il faut que tu choisisses de sacrifier quelque chose ! j'avoue que je n'ai pas clairement compris le problème que tu dois résoudre....

[inviteaae92066]

Bonjour à tous

Je me permets de faire un Up de ce topic car je n'ai toujours pas réussi à avancer et j'aimerais vous demander de l'aide.
Un petit récapitulatif pour que vous ne soyez pas obligé de relire tout.
Je dispose de coordonnées GPS (Latitude et Longitude exprimées en valeurs décimales) représentant les extrémités d'une parcelle, et simulées en approximant la Terre à un plan, comme le montre le schéma suivant.



Je cherche à calculer des droites parallèles au coté le plus long. Ici il s'agit du coté 3-4.
Le schéma suivant présente la situation :



- En vert le pourtour de la parcelle et les 4 points connus.
- Les points rouges sont les points dont je dois trouver les coordonnées, c'est ce que je cherche. Dans cet exemple j'ai tracé 7 parallèles, mais en réalité je ne parviens pas à obtenir ce résultat.
- La seule donnée dont je dispose en plus des coordonnées des 4 points verts est la distance séparant chaque parallèle (20m dans cet exemple).

Il s'agit surement plus de maths que d'astrophysique mais je suis bloqué, j'ai essayé différentes méthodes et à chaque fois je m'enlise dans les calculs.
Si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce je lui serais grandement reconnaissant

Merci par avance

Damien

[inviteced62578]

d'accord, mais s'agit-il de la ligne située à distance constante (qui n'est pas un grand cercle, et est analogue à un parallèle à latitude constante), ou du grand cercle "localement parallèle" (au point considéré), qui lui est géodésique mais finit par recouper la première ligne en deux points (et n'est donc pas à distance constante).
Contrairement à la géométrie plane, les deux conditions sont incompatibles.

Sinon pour l'équation d'une "ligne droite" quelconque (géodésique sur une sphère), elle est du type
où et sont deux paramètres représentant géométriquement la position du "pôle" si la géodésique considérée était "l'équateur".
Si on a deux points sur la sphère et , on peut trouver et en écrivant que ces deux points doivent vérifier l'équation géodésique.

AVec un peu de calculs fastidieux que je vous recommande de vérifier (pas vérifié sur un bouquin), je trouve personnellement


et

et sont la vraie latitude (pas la colatitude) et la longitude.

Bonjour,

j'ai essayé d'utiliser ces relations mais j'avais des erreurs sur quelques couples de points à la surface de la terre. J'ai recalculé de mon côté et je trouve des résultats plus satisfaisants avec :

phi0 = atan((tan(lda2).cos(phi1) - tan(lda1).cos(phi2)) / (tan(lda1).sin(phi2) - tan(lda2).sin(phi1)))

et

lda0 = atan(-cos(phi1-phi0)/tan(lda1))

Si jamais ça peut resservir à quelqu'un...