Calcul de surface de revolution

[invite0234c510]

Bonjour,

Un probleme de calcul de surface apparement simple se revele plus complique qu'il n'y parait.
Je voudrais calculer une surface qui est generee par le rotation d'une courbe autour d'un axe.
Par exemple pour une droite definie par un fonction affine on aurait un tronc de cone.

Si je cherche une formule en integrant un element de surface je retombe sur la formule : pi*(rayon1 + rayon2)*hauteur. rayon1 et rayon2 etant les rayons aux extremitees du tronc de cone.

Or cette forule est fausse en general, et je dirais qu'elle est encore plus fausse pour les petites hauteurs.
En effet si la hauteur tends vers 0 l'air de la surface tend aussi vers 0 selon cette formule.
Or l'air reelle tend vers pi*(rayon1²-rayon2²).
(si rayon1>rayon2).

La bonne formule pour le cone est pi*(rayon1 + rayon2)*"longeur du projete de la hauteur sur la surface", non ?

Si quelqu'un peut m'eclairer...
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[inviteaa436d0c]

tu cherche koi exactement?
parce que si tu cherche la surface de ton cone (l'enveloppe du cone) qd la hauteur tend vers 0 l'enveloppe du cone tend aussi vers 0!

[invite4793db90]

Salut,

disons que ta courbe est dans le plan (xy) : y=f(x) avec et que tu fais tourner cette dernière autour de x. L'équation de la surface de révolution est alors

(compare avec l'équation d'un cercle du plan).

Le volume chreché est alors l'intégrale


Prenons l'exemple d'un cône : :



En posant naturellement , , et :



Cette formule peut se retrouver directement sachant que le volume d'un cône est


Cordialement.

[invite06179cfd]

Bonjour,

Bonjour,

Un probleme de calcul de surface apparement simple se revele plus complique qu'il n'y parait.
Je voudrais calculer une surface qui est generee par le rotation d'une courbe autour d'un axe.
Par exemple pour une droite definie par un fonction affine on aurait un tronc de cone

Si j'ai bien compris vous voulez calculer la surface d'une forme semblable à un abat-jour ?

Or cette forule est fausse en general, et je dirais qu'elle est encore plus fausse pour les petites hauteurs.
En effet si la hauteur tends vers 0 l'air de la surface tend aussi vers 0 selon cette formule.
Or l'air reelle tend vers pi*(rayon1²-rayon2²).
(si rayon1>rayon2).

La formule est effectivement fausse mais il est normal que l'aire soit nulle si la hauteur est nulle car dans ce cas, on a plus qu'un cercle.

La bonne formule pour le cone est pi*(rayon1 + rayon2)*"longeur du projete de la hauteur sur la surface", non ?

La formule est pi*(rayon1-rayon2)*longueur du projeté de la hauteur sur la surface ( rayon1>rayon2).
Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06179cfd]

Bonjour,


La formule est pi*(rayon1-rayon2)*longueur du projeté de la hauteur sur la surface ( rayon1>rayon2).
Bon courage

Oups ! La formule est fausse !
La bonne est S=pi*(R1 + R2)*longueur du projeté de la hauteur sur la surface, avec R1=rayon1 et R2= rayon2. Si R1=R2, on obtient la surface d'un cylindre S=2*pi*r*hauteur, le projeté étant égal à la hauteur dans ce cas. J'ai ratrappé mon erreur...

[invite4793db90]

Argh, je n'avais pas compris qu'il s'agissait du calcul de la surface latérale.

Bon ben il faut travailler avec des coordonnées cylindriques et l'intégrale est, avec les mêmes notations que précédemment :



Pour un cône , on obtient bien



Cordialement.

[inviteaa436d0c]

oui moi aussi j'avais du mal a comprendre au début j'ai aussi cru qu'"il voulais calculer le volume du cone mais ca se fait en enseignement sup !!! ca va venir t'inquiète pas c'est pas pour décourager que je dit ca

[invitec314d025]

Pour un cône , on obtient bien

Tu obtiens une surface nulle pour h1 = h2, c'est génant.

Personnellement le théorème de Guldin me donne sans intégrer :



Ce qui donne bien pour h1 = h2.

[invite4793db90]

Tu obtiens une surface nulle pour h1 = h2, c'est génant.

Salut,

En effet, ce que j'ai écrit plus haut est faux.

L'aire latérale s'obtient plutôt par cette intégrale :



Cordialement.