Exo de Primitives, le noir complet

[invitec1a69dfa]

Bonjour, je viens de débuter les primitives, et je ne comprend rien aux exercices. Pouvez vous m'aider, me dire comment faire, m'expliquer le premeir pour que je fasse les autres ?

ex1:
f(x) = (8x²-2x²)/(x-2)²

a) pour quels valeurs de x f est elle positive ou nulle ?
b) Et ca commence a mal aller...
Déterminer 2 réels a et b tels que sur ]2;+oo[

f(x) = a + (b)/(x-2)² [ b étant sur la ligne de fraction et pas a ]
c) en déduire la primitive de F sur cet intervalle telle que F(3)=1 !!!!!!! je comprend rien!!!!!!!!!!



merci d'avance!
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[Romain-des-Bois]

Salut,

tu veux exprimer f d'une différente façon qui va dépendre de 2 constantes : a et b.
Si tu as f(x) = a + (b)/(x-2)²

cette égalité sera vraie pour par exemple x=4 et x=29.

tu auras donc : f(4) = a + b/ (4-2)²

et f(29) = a + b/ (29-2)²

en plus, tu sais explicitement calculer f(4) et f(29)

tu obtiens donc un SL à 2 éq./2inc. très facile à résoudre !

Romain

[erik]

Salut,

Tu as du faire une faute de frappe dans la définition de ta fonction, ce doit être surement f(x) = (8x²-2x)/(x-2)²
(pas de carré sur le 2x)

Bon j'imagine que la question a/ n'a pas posée de problème.

Voyons le b/
met l'expression au même dénominateur, développe(le numérateur), réduit et essaye de trouver a et b pour que ton expression soit égale à f(x).

La suite au prochain numéro

[Romain-des-Bois]

Je précise que 4 et 29 ne sont pas à choisir. C'était pour l'exemple. D'autres choix seraient beaucoup plus judicieux !

Erik, tu n'apportes pas grand chose

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1a69dfa]

jai tt mis au meme denominateur et je tombe sur :

[ a (x² -4x+4) + b )]/(x-2)²
( ax² - 4ax + 4a + b )/ ( x-2 )²

c ca ?
et apres je fais quoi ?

[erik]

Quelles conditions sur a et b dois tu avoir pour que
( ax² - 4ax + 4a + b )/ ( x-2 )² = (8x²-2x)/(x-2)² ?

??? tiens y'a un bug ?

Peux tu vérifier ta définition de f(x)

[invitec1a69dfa]

a = 2 et b = -8 non ?

( j'espere que je me suis pas planté dans les calculs...vous confirmez que c'est ca ? )

[invitec1a69dfa]

jai du mal lol! si c'est ca comment faut il s'y prendre pour la dernière question ?

[erik]

J'ai du mal avec ton énoncé.

Tu as écrit f(x) = (8x²-2x²)/(x-2)²
c'est à dire f(x) = 6x²/(x-2)² est ce ça ? ou as tu fait une faute de frappe ?

[invitec1a69dfa]

jai fais une faute de frappe, c'est

f(x)= (8x-2x²)/(x-2)²

dans ce cas ma si calculs sont ils bons ?

que dois je faire pour la derniere question ?

[Romain-des-Bois]

Calcule f(3) et f(4)

ensuite tu écris : f(3) = a+b (en remplaçant x par 3)

puis f(4) = a + b/4 (en remplaçant x par 4)

tu as 2 équations 2 inconnues. C'est le plus rigoureux pour trouver a et b.

ensuite, pour primitiver, tu dois bien voir que c'est plus facile de primitiver ta nouvelle forme de f que l'ancienne !

quelle est la primitive de 1/u² ? (ou u est une fonction) si tu sais répondre, tu vas pouvoir trouver ta primitive.

[invitec1a69dfa]

Jai fais ce que tu as dis et je trouve encore 2 et -8 et vous ? maintenant, comment fais - je pour la derniere question ?

[erik]

Ah oui forcément ça va mieux,

Dans ce cas a=-2 et b=8 (et non pas l'inverse comme tu l'indiquait sur ton message #7)

Bon maintenant tu sais que


une primitive de f sera donnée par une primitive de -2 + une primitive de 8/(x-2)².

Quelle fonction donne -2 quand on la dérive ?
Quelle fonction donne 8/(x-2)² quand on la dérive ?

[erik]

Au passage:

C'est le plus rigoureux pour trouver a et b.

Ecrire ( ax² - 4ax + 4a + b )/ ( x-2 )² = (8x-2x²)/(x-2)²
si et seulement si a=-2, -4a=8 et 4a+b=0
est parfaitement rigoureux, on ne fait que dire que deux polynomes sont égaus si leurs coefficient sont égaux.

Et l'avantage de cette méthode est que si il y'a une faute dans l'énoncé (c'est à dire si l'on cherche une forme impossible) on peut s'en apercevoir (voir mon post #6)

[invitec1a69dfa]

alors pour le -2 ca fé -2x

je pense qu'on est dans ce cas:
f(x) = -2x + 8 X [ 1/(x-2)²]

Or, 1/(x-2)² est de la forme de la dérivée u'/u²
et la primitive de cette dérivée est -1/u

d'ou F(x) = -2 - 8/(x-2)

[erik]

Tu te mélanges un peu les pinceaux mais quand on remet tout dans l'ordre on y est.

f(x)=-2+8/(x-2)²

Donc

F(x)=-2x-8/(x-2) (et on a bien F'(x)=f(x))

[Romain-des-Bois]

Au passage:


Ecrire ( ax² - 4ax + 4a + b )/ ( x-2 )² = (8x-2x²)/(x-2)²
si et seulement si a=-2, -4a=8 et 4a+b=0
est parfaitement rigoureux, on ne fait que dire que deux polynomes sont égaus si leurs coefficient sont égaux.

Et l'avantage de cette méthode est que si il y'a une faute dans l'énoncé (c'est à dire si l'on cherche une forme impossible) on peut s'en apercevoir (voir mon post #6)

Je suis tout à fait d'accord. Mais la méthode d'identification (que tu proposes) est un peu floue niveau lycée.

Bon, très bien, tu as trouvé !!!

[erik]

Mais la méthode d'identification (que tu proposes) est un peu floue niveau lycée

Oui en effet, c'est pas faux.

[invitec1a69dfa]

f(x) = (2x+6)/(x+1)(x-3)

je dois trouver a et b tel que:

f(x) = a/(x-3) + b/(x+1)

et je trouve pas ....

[erik]

T'exagères

Bon pour résumer, tu as deux méthodes :

1/La méthode de Romain29 :
tu prend une valeur pour x, par exemple x=0 cela te donne une équation : f(0)=a/(0-3)+b/(0+1)

Tu prend une deuxième valeur pour x, tu as une deuxième équation.
Tu te retrouve avec deux équations, et deux inconnues (a et b) : tu résoud. tu obtiens a et b

Sinon
2/ La mienne (pas forcément la meilleure au lycée)
Tu réduit au même dénominateur, tu développe puis réduit le numérateur, et tu te "débrouille" (en trouvant le bon a et le bon b) pour que le numérateur que tu trouve soit bien égal au numérateur de f(x)

[invitec1a69dfa]

derniere question apres je vous laisse!

admettons que j'ai

2/(x+1) + 4/(x-3)

je fais comment pour trouver la primitive ? quelle formule ?

[erik]

Quelle est la dérivée de ln(x) ?

[invitec1a69dfa]

c bon jai terminé mon exercice. Il y a la méthode de romain que je ne comprend toujours pas, pourtant.
tu prend une valeur pour x, par exemple x=0 cela te donne une équation : f(0)=a/(0-3)+b/(0+1)
Tu prend une deuxième valeur pour x, tu as une deuxième équation.

Je veux bien mais il faut mettre a/(0-3)+b/(0+1) égal a quoi dans les systeme ?

[invitead065b7f]

à f(0) non ?

Qui'l faut que tu calcule par ta première formule.

[erik]

Je veux bien mais il faut mettre a/(0-3)+b/(0+1) égal a quoi dans les systeme ?

ben à f(0),

f(x) = (2x+6)/(x+1)(x-3) donc
f(0)=(2*0+6)/(0+1)(0-3)=-6/3=-2 et
comme on suppose qu'on a f(x) = a/(x-3) + b/(x+1)
on a f(0)=-2=-a/3+b

première équation -a/3+b=-2

En prenant par exemple x=-3 on a aussi
f(-3)=0 et f(-3)=a/(-3-3) + b/(-3+1)
soit 0=-a/6-b/2

Deuxième équation -a/6-b/2=0

Deux équations, deus inconnues, on résoud sans problèmes.

[invitec1a69dfa]

ouais c'est ca lol, je suis dans les vapes je suis désolé...pour revenir a ce que ma dit erik, sa méthode n'est pas évidente vu que j'arrive à:

ax+ a+ bx -3b

pour retrouver 2x+6...

[invitec1a69dfa]

jai honte de moi j'arrive pas a résoudre ton systeme avec toutes les fractions...olalala je me demande ckil marrive

ton -a/6 s'annule !

[erik]

olalala je me demande ckil marrive

L'usage de cannabis,d'alcool ou de tf1 nuit gravement aux facultés de concentration.


1: Méthode Erik :
Pour que ax+ a+ bx -3b (c'est à dire (a+b)x+(a-3b) ) soit égale à 2x+6 il faut et il suffit que a+b=2 et a-3b=6.

Donc a=2-b et a=6+3b
Soit 2-b=6+3b
d'ou -4=4b
Soit b=-1 et donc a=3

2: Methode Romain29 :

-a/3+b=-2 (1)
-a/6-b/2=0 (2)

On multiplie (1) par 1/2 on a -a/6+b/2=-1 on ajoute à (2)

on obtient -a/6-a/6=-1
soit -a/3=-1
soit a=3

on reprend (1) avec a=3 -3/3+b=-2 soit b=-1

[lolouki]

je pense que la methode d'identification ( mettre au mm denominateur etc..) est bcp mieux vu par les profs ... je vais pas dire que c'est de la bidouille ... mais pas loin lol