nombres premiers

[invite34c9857f]

j'ai un probleme à résoudre car n'ayant pas fait de cour sur les nombres 1ers(programme de spé maths de Tale S)j'ai quelques difficultées.
mais j'aimerai avoir seulement des indications pour le resoudre et non des reponses si possible
merci
voici l'intitulé
pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

=(x^(4n)-1)/x-1
(apres simplification)

en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2
en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux
en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers
merci encore
-----

[invitedf667161]

Ca a l'air interessant comme démonstration du fait qu'il y a une infinité de nombres premiers. Seulement l'énoncé est mal posé (ou plutôt mal recopié!). Tu pourrais être plus précise stp?

[invite3d7be5ae]

Tu simplifie comment?

Le produit est forcément entier.

Et dans ta simplification, x^(4n) est forcément divisible par x donc si tu enlève 1 et que x est différent de 1 alors ton nombre n'est pas divisible par x. Et comme tu le divises, ton nombre n'est pas entier (il est même rationnel).

Tu as dû oublier des parenthèses à x-1. (Dans ce cas là, le résultat est juste).

Pour une infinité de nb premier, fais le produit de tous les nombres premiers que l'on croit connaître et ajoute 1. Regarde ce qui ce passe.

[invite34c9857f]

voici l'enoncé exact que j'avais simplifier car j'avais deja fait les deux premières question
désolé pour les parenthèses il y en a bien

pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

*a* simplifier(x-1)Pn(x)
(ce qui me donne (x-1)Pn(x)=(x^(4n)-1)

*b* en deduire la forme develloppée de Pn(x)
ce qui me donne Pn(x)=(x^(4n)-1)/(x-1)

*c* en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2

*d*en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux

*e*en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers

merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34c9857f]

encore une rectification dans la *d*il faut deduire que deux nombre Fn et Fp distinc sont premiers entre eux

[invite3d7be5ae]

*c* F0=2 (2^0+1) F1=5 F0*F1+2=12 alors que F2=17.
Donc c'est faux.

[invitebbdbf477]

Pour une preuve de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers par les nombres de Fermat, on pourra consulter ce fil sur un autre forum.

Cordialement.

[invite34c9857f]

*c* F0=2 (2^0+1) F1=5 F0*F1+2=12 alors que F2=17.
Donc c'est faux.

je n'ai pas compris comment tu trouvais cela
car Fo=2^(2*0) +1=2
et F1=2^(2*1)+1=5
F2=9

F2=Fo*F1+2=2+5+2=9
ce qui n'est pas faux

de plus l'enonce dit qu'il faut déduire donc il n'y a pas a dire si c'est vrai ou faux?
a moins que j'ai mal compris ce que tu voulais dire en disant "c'est faux"

merci en tous cas

[invite3d7be5ae]

F2=2^(2*2)+1=2^4+1=16+1=17 et non pas 2^(2+1)+1.

F2=Fo*F1+2=2+5+2=9

Les * ne veulent pas dirent multiplier?

[invite34c9857f]

si si
je me suis plantée
bref cela ne resoud pas mon problème

[invite48d4167a]

Ton problème n'est pas trop difficile a résoudre je crois qu'une demonstration par recurrence fera l affaire essaye de nous donner seulement le bon enoncé

[invite34c9857f]

voici le vrai énoncé

pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

*a* simplifier(x-1)Pn(x)

*b* en deduire la forme develloppée de Pn(x)

*c* en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2

*d*en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux

*e*en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers

[inviteea0d596d]

(c)
en fait, il y a bien une errreur sur l'énoncé de la question (c)

voici la formule exacte qu'il faut démontrer :

Fn=2^(2n)+1, F2n=F0*F1*....*F(n-1)+2


penser à utiliser Pn(2)

[invite3d7be5ae]

F2n=F0*F1*....*F(n-1)+2

Encore faux : F4=2^8+1=257, F0=2, F1=5
F1*F0+2=12.
Fn=2^n-1+2.
Ton produit factorise les M(2*n), donc il doit y avoir 3 comme facteur et il n'y ait pas!!!

[Duke Alchemist]

Bonjour.

voici le vrai énoncé

pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

*a* simplifier(x-1)Pn(x)

*b* en deduire la forme develloppée de Pn(x)

*c* en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2

*d*en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux

*e*en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers

*a* (x-1)p_n(x) = x⁴ⁿ-1 (après des simplifications par récurrence)

*b* (Sais-tu ce qu'est une forme développée ?? )
en sachant que (aⁿ-bⁿ)/(a-b) = a^n-1 + a^n-2.b + a^n-3.b² + ... + a².b^n-3 + a.b^n-2 + b^n-1, on trouve :
p_n(x) = x^4n-1 + x^4n-2 + x^4n-3 + ... + x + 1

*c* Là, j'ai un sérieux problème !
En partant de ta définition de F_n = 2²ⁿ+1, je trouve :
p_n(2) = (3/2)_*F_0*F_1*F_2*..._* F_n (à partir de la définition de p_n(x))
p_n(2) = 2⁴ⁿ-1 = (2²ⁿ-1)(2²ⁿ+1) = F_n*(F_n-2).
De cette double égalité, on déduit :
F_n=(3/2)F_0*F_1*F_2*..._*F_n-1
Mon souci arrive maintenant !! :
- Avec la formule, nous avons :
F₀=2
F₁=5
F₂=17
F₃=65
F₄=257
- Avec la relation trouvée ci-dessus :
F₁=(3/2)_*F₀+2=5
F₂=(3/2)_*F_0*F₁+2=3_*5+2=17
F₃=(3/2)_*F_0*F_1*F₂+2=3_*5_*17=257=F₄ !!...
...J'ai du me planté quelquepart...

Du coup, pour *c* et *d*...

See ya.
Duke.

[inviteea0d596d]

pour (c) la formule exacte est :

F2n=(3*F0*F1*....*Fn) + 2

désolé pour le message précédent. Il y manquait le facteur 3.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je suis tout à fait d'accord avec la formule proposée pour F_2n (avec le 3 bien sûr !) mais comment calcule-t-on les F_2n+1 ??

See ya.
Duke.

P.S. : Quelqu'un aurait-il vu mon erreur pour ma proposition de F_n ?

[invite3d7be5ae]

G(n)=formule de Duke
Duke : ta formule donne 1.5*F0*F1*F2*F3...*F(n-1)+2. Or, c'est plutôt proche de la formule F2n=3*F0*F1*F2*...*Fn+2. Il y a une petit air de ressemblance : F2n=(G(n)-2)*2*Fn. Impossible.

Petites remarques :
si F(i) i impair : aucun produit de F(x)+2
si F(i) i=2 mod 4 : alors F(i) est divisible par 5 et par F(i/2).

la formule est fausse : F0=2 F1=5 3*F0*F1+2=3*2*5+2=32 est différent de F(2)=17.
En enlevant F0 du produit, ça donne quelque chose mais pour F(6)=...+2, c'est faux.

Mais je n'ai vu aucun produit de F(x) +2 égal à un F(y).

[inviteea0d596d]

F_n =(3/2)*(F₀ *F₁ *....*F_n-1 ) + 2

[invite3d7be5ae]

Là, ça marche.