nombres premiers
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nombres premiers



  1. #1
    invite34c9857f

    nombres premiers


    ------

    j'ai un probleme à résoudre car n'ayant pas fait de cour sur les nombres 1ers(programme de spé maths de Tale S)j'ai quelques difficultées.
    mais j'aimerai avoir seulement des indications pour le resoudre et non des reponses si possible
    merci
    voici l'intitulé
    pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

    =(x^(4n)-1)/x-1
    (apres simplification)

    en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2
    en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux
    en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers
    merci encore

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : nombres premiers

    Ca a l'air interessant comme démonstration du fait qu'il y a une infinité de nombres premiers. Seulement l'énoncé est mal posé (ou plutôt mal recopié!). Tu pourrais être plus précise stp?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    invite3d7be5ae

    Re : nombres premiers

    Tu simplifie comment?

    Le produit est forcément entier.

    Et dans ta simplification, x^(4n) est forcément divisible par x donc si tu enlève 1 et que x est différent de 1 alors ton nombre n'est pas divisible par x. Et comme tu le divises, ton nombre n'est pas entier (il est même rationnel).

    Tu as dû oublier des parenthèses à x-1. (Dans ce cas là, le résultat est juste).

    Pour une infinité de nb premier, fais le produit de tous les nombres premiers que l'on croit connaître et ajoute 1. Regarde ce qui ce passe.

  4. #4
    invite34c9857f

    Re : nombres premiers

    voici l'enoncé exact que j'avais simplifier car j'avais deja fait les deux premières question
    désolé pour les parenthèses il y en a bien

    pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

    *a* simplifier(x-1)Pn(x)
    (ce qui me donne (x-1)Pn(x)=(x^(4n)-1)

    *b* en deduire la forme develloppée de Pn(x)
    ce qui me donne Pn(x)=(x^(4n)-1)/(x-1)

    *c* en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2

    *d*en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux

    *e*en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers

    merci encore

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite34c9857f

    Re : nombres premiers

    encore une rectification dans la *d*il faut deduire que deux nombre Fn et Fp distinc sont premiers entre eux

  7. #6
    invite3d7be5ae

    Re : nombres premiers

    *c* F0=2 (2^0+1) F1=5 F0*F1+2=12 alors que F2=17.
    Donc c'est faux.

  8. #7
    invitebbdbf477

    Re : nombres premiers

    Pour une preuve de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers par les nombres de Fermat, on pourra consulter ce fil sur un autre forum.

    Cordialement.

  9. #8
    invite34c9857f

    Re : nombres premiers

    Citation Envoyé par Pole
    *c* F0=2 (2^0+1) F1=5 F0*F1+2=12 alors que F2=17.
    Donc c'est faux.
    je n'ai pas compris comment tu trouvais cela
    car Fo=2^(2*0) +1=2
    et F1=2^(2*1)+1=5
    F2=9

    F2=Fo*F1+2=2+5+2=9
    ce qui n'est pas faux

    de plus l'enonce dit qu'il faut déduire donc il n'y a pas a dire si c'est vrai ou faux?
    a moins que j'ai mal compris ce que tu voulais dire en disant "c'est faux"

    merci en tous cas

  10. #9
    invite3d7be5ae

    Re : nombres premiers

    F2=2^(2*2)+1=2^4+1=16+1=17 et non pas 2^(2+1)+1.


    Citation Envoyé par ojenny7787
    F2=Fo*F1+2=2+5+2=9
    Les * ne veulent pas dirent multiplier?

  11. #10
    invite34c9857f

    Re : nombres premiers

    si si
    je me suis plantée
    bref cela ne resoud pas mon problème

  12. #11
    invite48d4167a

    Re : nombres premiers

    Ton problème n'est pas trop difficile a résoudre je crois qu'une demonstration par recurrence fera l affaire essaye de nous donner seulement le bon enoncé

  13. #12
    invite34c9857f

    Re : nombres premiers

    voici le vrai énoncé

    pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

    *a* simplifier(x-1)Pn(x)

    *b* en deduire la forme develloppée de Pn(x)

    *c* en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2

    *d*en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux

    *e*en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers

  14. #13
    inviteea0d596d

    Re : nombres premiers

    (c)
    en fait, il y a bien une errreur sur l'énoncé de la question (c)

    voici la formule exacte qu'il faut démontrer :

    Fn=2^(2n)+1, F2n=F0*F1*....*F(n-1)+2


    penser à utiliser Pn(2)

  15. #14
    invite3d7be5ae

    Re : nombres premiers

    F2n=F0*F1*....*F(n-1)+2
    Encore faux : F4=2^8+1=257, F0=2, F1=5
    F1*F0+2=12.
    Fn=2^n-1+2.
    Ton produit factorise les M(2*n), donc il doit y avoir 3 comme facteur et il n'y ait pas!!!

  16. #15
    Duke Alchemist

    Re : nombres premiers

    Bonjour.
    Citation Envoyé par ojenny7787
    voici le vrai énoncé

    pn(x)=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)...(x ^(2n)+1)

    *a* simplifier(x-1)Pn(x)

    *b* en deduire la forme develloppée de Pn(x)

    *c* en deduire que si Fn=2^(2n)+1, Fn=F0*F1*....*F(n-1)+2

    *d*en deduire que 2 nb Fn et Pn st 1er entre eux

    *e*en deduire qu'il ya un nombre infini de nombres 1ers
    *a* (x-1)pn(x) = x4n-1 (après des simplifications par récurrence)

    *b* (Sais-tu ce qu'est une forme développée ?? )
    en sachant que (an-bn)/(a-b) = an-1 + an-2.b + an-3.b² + ... + a².bn-3 + a.bn-2 + bn-1, on trouve :
    pn(x) = x4n-1 + x4n-2 + x4n-3 + ... + x + 1

    *c* Là, j'ai un sérieux problème !
    En partant de ta définition de Fn = 22n+1, je trouve :
    pn(2) = (3/2)*F0*F1*F2*...* Fn (à partir de la définition de pn(x))
    pn(2) = 24n-1 = (22n-1)(22n+1) = Fn*(Fn-2).
    De cette double égalité, on déduit :
    Fn=(3/2)F0*F1*F2*...*Fn-1
    Mon souci arrive maintenant !! :
    - Avec la formule, nous avons :
    F0=2
    F1=5
    F2=17
    F3=65
    F4=257
    - Avec la relation trouvée ci-dessus :
    F1=(3/2)*F0+2=5
    F2=(3/2)*F0*F1+2=3*5+2=17
    F3=(3/2)*F0*F1*F2+2=3*5*17=257=F4 !!...
    ...J'ai du me planté quelquepart...

    Du coup, pour *c* et *d*...

    See ya.
    Duke.

  17. #16
    inviteea0d596d

    Re : nombres premiers

    pour (c) la formule exacte est :

    F2n=(3*F0*F1*....*Fn) + 2

    désolé pour le message précédent. Il y manquait le facteur 3.

  18. #17
    Duke Alchemist

    Re : nombres premiers

    Bonjour.

    Je suis tout à fait d'accord avec la formule proposée pour F2n (avec le 3 bien sûr !) mais comment calcule-t-on les F2n+1 ??

    See ya.
    Duke.

    P.S. : Quelqu'un aurait-il vu mon erreur pour ma proposition de Fn ?

  19. #18
    invite3d7be5ae

    Re : nombres premiers

    G(n)=formule de Duke
    Duke : ta formule donne 1.5*F0*F1*F2*F3...*F(n-1)+2. Or, c'est plutôt proche de la formule F2n=3*F0*F1*F2*...*Fn+2. Il y a une petit air de ressemblance : F2n=(G(n)-2)*2*Fn. Impossible.

    Petites remarques :
    si F(i) i impair : aucun produit de F(x)+2
    si F(i) i=2 mod 4 : alors F(i) est divisible par 5 et par F(i/2).

    la formule est fausse : F0=2 F1=5 3*F0*F1+2=3*2*5+2=32 est différent de F(2)=17.
    En enlevant F0 du produit, ça donne quelque chose mais pour F(6)=...+2, c'est faux.

    Mais je n'ai vu aucun produit de F(x) +2 égal à un F(y).

  20. #19
    inviteea0d596d

    Re : nombres premiers

    Fn =(3/2)*(F0 *F1 *....*Fn-1 ) + 2

  21. #20
    invite3d7be5ae

    Re : nombres premiers

    Là, ça marche.

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